圓錐曲線解答題專題三：面積問題(解析版)-wenkub.com
2025-04-03 02:57 本頁面
【正文】 天津河北區(qū)）已知橢圓C：（）的兩個頂點分別為點，離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）點D為x軸上一點，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M，N，：與的面積之比為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）設(shè)橢圓方程，由根據(jù)橢圓的離心率公式可求得c，從而求出b，即可寫出橢圓方程；（2）根據(jù)直線的位置關(guān)系分別求出直線DE與直線BN的斜率及方程，聯(lián)立可求得點E的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式即可求得兩三角形面積之比.【詳解】（1）焦點在x軸上，兩個頂點分別為點， 橢圓C的方程為；（2）設(shè)，可得，直線AM的方程為：，直線DE的方程：，直線BN的方程：，直線DE與直線BN的方程聯(lián)立可得 ，整理為：，即，計算可得，代入直線DE的方程可得，則，又，所以與的面積之比為定值.37．【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，求得交點坐標(biāo)，再用直線的斜率公式，本題考查學(xué)生的計算能力，考查推理論證能力，屬于難題.6.（2021廣東揭陽市高三一模）已知橢圓的離心率為，、右焦點分別為、是橢圓上的一個動點（異于橢圓的左、右端點）.（1）求橢圓的方程；（2）過點作橢圓的切線，過點作的垂線，垂足為，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出，再將點的坐標(biāo)代入橢圓的方程，求出的值，即可得出橢圓的方程；（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線與橢圓的方程，由可得出，求出點的坐標(biāo)，可計算得出點的軌跡方程，進(jìn)而可求得面積的最大值.【詳解】（1）由橢圓的離心率，可得：，即有.再結(jié)合、三者的關(guān)系可得.橢圓的方程可化為，將點代入上述橢圓方程可得.求解得，所以，.橢圓的方程為；（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線與橢圓的方程可得.若直線與橢圓相切，可得上述方程只有一個解，即有，化簡可得，（*）.設(shè)點的坐標(biāo)為，過點作的垂線為，聯(lián)立與求得，.由上式可得，將（*）代入上式可得，故可知點的軌跡為以原點為圓心，以為半徑的圓.是橢圓上的異于端點的動點，故該軌跡應(yīng)去掉點.的面積為，即面積的最大值為.2.（2020湖南長沙市長沙一中高三月考）在圓上任取一點P，過點P作軸的垂線段PD，D為垂足，.當(dāng)點P在圓上運(yùn)動時，點M的軌跡為曲線E.（1）求曲線E的方程；（2）過點的兩條相互垂直的直線分別交曲線E于A，B和C?D，求四邊形ABCD面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）設(shè)點M的坐標(biāo)為，點P的坐標(biāo)為，∵，∴，∴，∴點P在上，∴，∴，∴曲線C的方程為.（2）①當(dāng)直線AB的傾斜角為0176。山東濰坊市山西運(yùn)城市高三期末（理））已知A，B是橢圓的左、右頂點，C為E的上頂點，．（1）求橢圓的方程；（2）若M，N，P是橢圓E上不同的三點，且坐標(biāo)原點O為的重心，試探究的面積是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由．【答案】（1）；（2）的面積為定值．【詳解】（1），則，因為，所以，得．所以橢圓的方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，則，因為為的重心，所以．由M，N，P在橢圓上，所以且，解得．易知，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程
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