【正文】 )(xn1yn1)xnyn① 當x0,y0時，(xnyn)(xn1yn1)≥ 0，(xy)n 0所以(xnyn)(xn1yn1)xnyn≥0故：yn1xn+xn1yn≥ 1x1y② 當x,y有一個是負值時，不妨設x0,y0，所以x|y|又n為偶數(shù)時,所以(xnyn)(xn1yn1)0 又(xy)n 0，所以(xnyn)(xn1yn1)xnyn ≥0即 yn1xn+xn1yn≥ 1x1y綜合①②知原不等式成立第五篇：立體幾何常見證明方法立體幾何方法歸納小結一、線線平行的證明方法根據(jù)公理4，證明兩直線都與第三條直線平行。根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，若直線a平行于平面A，過a的平面B與平面A相交于b，則 a//b。根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，若直線a與直線b都與平面A垂直，則a//b。根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，若平面A//平面B，平面C與平面A和平面B的交線分別為直線 a與直線 b，則a//b。uuuruuur由向量共線定理，若AB=xCD，且AB、CD不共線，則向量AB所在的直線a與向量cd所在的直線b平行，即a//b。二、線面平行的證明方法根據(jù)線面平行的定義，證直線與平面沒有公共點。根據(jù)線面平行的判定定理，若平面 A內(nèi)存在一條直線b與平面外的直線a平行，則a//A。(用相似三角形或平行四邊形)根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)定理，若兩平面平行，則一個平面內(nèi)的任一直線與另一個平面平行。向量法，向量c與平面A法向量垂直，且向量c所在直線c不在平面內(nèi)，則c//A。三、面面平行的證明方法根據(jù)定義，若兩平面沒有公共點，則兩平面平行。根據(jù)兩平面平行的判定定理，一個平面內(nèi)有兩相交直線與另一平面平行，則兩平面平行。或根據(jù)兩平面平行的判定定理的推論，一平面內(nèi)有兩相交直線與另一平面內(nèi)兩相交直線平行，則兩平面平行。垂直同一直線的兩平面平行。平行同一平面的兩平面平行。向量法，證明兩平面的法向量共線。四、兩直線垂直的證明方法根據(jù)定義,證明兩直線所成的角為90176。一直線垂直于兩平行直線中的一條,、一直線垂直于一個平面,、根據(jù)三垂線定理及逆定理,若平面內(nèi)的直線垂直于平面的一條斜線(或斜線在平面內(nèi)的射影),則它垂直于斜線在平面內(nèi)的射影(或平面的斜線).線面垂直的證明方法根據(jù)定義,證明一直線與平面內(nèi)的任一(所有)直線垂直,、根據(jù)判定定理,一直線垂直于平面內(nèi)的兩相交直線,、一直線垂直于兩平行平面中的一個,、兩平行直線中的一條垂直于一個平面,、根據(jù)兩平面垂直的性質(zhì)定理,兩平面垂直,、向量法,、面面垂直的證明方法根據(jù)面面垂直的定義，兩平面相交所成的二面角為直二面角，則兩平面垂直。根據(jù)面面垂直的判定定理，一平面經(jīng)過另一平面的一條垂線，則兩平面垂直。一平面垂直于兩平行平面中的一個，也垂直于另一個。向量法，證明兩平面的法向量垂直（即法向量的數(shù)量積為零）。七、兩異面直線所成角的求法根據(jù)定義，平移其中一條和另一條相交，然后在三角形中求角。利用中位線，將兩異面直線平移至一特殊點（中位線的交點）然后在三角形中求角。cosq=cosq1cosq2直線與平面所成角的求法根據(jù)定義，作出直線與平面所成角，然后在直角三角形中求角。轉(zhuǎn)化為距離(sinq=h/l)向量法，求出平面的法向量，然后求平面的斜線與法向量的夾角。（注意為正弦）注：對兩異面直線所成角和直線與平面所成角一定要注意角的范圍。九、二面角的求法定義法，從二面角的棱上的某一點分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，求兩條垂線所形成的角。根據(jù)三垂線定理，先作出二面角的平面角，再在直角三角形中求角。射影面積法，先作出一個半平面內(nèi)的某個多邊形，在另一個半平面內(nèi)的射影多邊形，然后由公式 cosθ=s39。/s（其中θ為二面角的平面角，s39。為射影多邊形的面積，s為多邊形的面積）求出二面角的平面角。向量法，求出兩個半平面的法向量，然后求兩法向量的夾角。（一般要先根據(jù)已知判斷二面角是銳角還是鈍角,否則要判斷指向，同內(nèi)同外為補角）(異面直線上點距離公式和三類角公式)十、點到平面的距離的求法根據(jù)定義，直接求垂線段的長度。向量法，利用公式uuurur|PAn|d=ur|n|（其中PA為平面的一條斜線，向量n 為平面的一個法向量。等體積法，主要用在四面體（三棱錐）中，根據(jù)四面體的體積等于1/3底面積高，選取不同的底面積，求出其中一條高長。十一、平面圖形翻折問題的處理方法先比較翻折前后的圖形，弄清哪些量和位置關系在翻折過程中不變，哪些已發(fā)生變化，然后將不變的條件集中到立體圖形中，將問題歸結為一個條件與結論都已知的立體幾何問題。有關翻折問題的計算，必須抓住在翻折過程中點、線、面之間的位置關系、數(shù)量關系中，哪些是變的，哪些沒變，尤其要抓住不變量。對計算幾何體上兩點之間的最短距離問題，要注意轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫鎴D形求兩點間的距離來計算。十二、要注意的問題對推理論證與計算相結合的題目的解題原則是一作、二證、三計算。(向量法可省略證角，但必須交代如何建系，右手系)。正方體中，兩個平行的正三角形截面把一條與它們垂直的體對角線三等分。已知三條射線兩兩夾角，會求線面角和二面角(課堂筆記，只需會推導方法，不需強記公式)適當時候，坐標法不方便時可以考慮基向量法，求向量模易出錯：ra=r2a。求異面直線間的距離，若公垂線找不到，除向量法外，可以考慮構造平行平面或平行線面，轉(zhuǎn)化為點面距離求。