(精華版)國(guó)家開(kāi)放大學(xué)電大本科社會(huì)政策常微分方程網(wǎng)絡(luò)課形考作業(yè)及答案(合集)-資料下載頁(yè)
2025-10-06 13:58本頁(yè)面
【正文】 穿越和，于是解的存在區(qū)間必是．四、應(yīng)用題1．求一曲線，具有如下性質(zhì)：曲線上任一點(diǎn)的切線，在軸上的截距之和為1．2．求一曲線，此曲線的任一切線在兩個(gè)坐標(biāo)軸間的線段長(zhǎng)等于常數(shù)．1．解首先,由解析幾何知識(shí)可知,滿足的直線(x,y)為所求曲線上的點(diǎn)，(X,Y)為其切線上的點(diǎn),則過(guò)(x,y)的切線方程為.顯然有此處a與b分別為切線在Ox軸與Oy.解出y,得到克萊洛方程,通解為所以,即．解設(shè)(x,y)為所求曲線上的點(diǎn),(X,Y)為其切線上的點(diǎn),則過(guò)(x,y)的切線方程為.顯然有此處a與b分別為切線在Ox軸與Oy,故曲線的方程為消去即的曲線方程為.形考任務(wù)5題目1方程過(guò)點(diǎn)（0,0）的積分曲線（）．選擇一項(xiàng)：題目2方程在xoy平面上任一點(diǎn)的解都（）．選擇一項(xiàng)：方程的所有常數(shù)解是（）．選擇一項(xiàng)：題目4方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是（）.選擇一項(xiàng)：題目5方程過(guò)點(diǎn)(0,0)的解為，此解的存在區(qū)間是（）.選擇一項(xiàng)：題目6若A(x),F(x)≠0在(∞,+∞)上連續(xù)，那么線性非齊次方程組，的任一非零解（）．選擇一項(xiàng)：題目7n維方程組的任一解的圖像是n+1維空間中的（）．選擇一項(xiàng)：題目8方程的任一非零解在平面上（）零點(diǎn)．選擇一項(xiàng)：題目9三階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個(gè)（）線性空間．選擇一項(xiàng)：題目10用待定系數(shù)法求方程的非齊次特解時(shí)，應(yīng)設(shè)為（）．選擇一項(xiàng)：形考任務(wù)6常微分方程學(xué)習(xí)活動(dòng)6第三章一階線性方程組、第四章n階線性方程的綜合練習(xí)本課程形成性考核綜合練習(xí)共3次，內(nèi)容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習(xí)、第二章基本定理的綜合練習(xí)、第三章和第四章的綜合練習(xí)，目的是通過(guò)綜合性練習(xí)作業(yè)，同學(xué)們可以檢驗(yàn)自己的學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄弱知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)復(fù)習(xí)，爭(zhēng)取盡快掌握．要求：首先請(qǐng)同學(xué)們下載作業(yè)附件文檔并進(jìn)行填寫，文檔填寫完成后請(qǐng)?jiān)诒敬巫鳂I(yè)頁(yè)面中點(diǎn)擊“去完成”按鈕進(jìn)入相應(yīng)網(wǎng)頁(yè)界面完成任務(wù)，然后請(qǐng)將所做完的作業(yè)文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會(huì)在課程中進(jìn)行評(píng)分。一、填空題1．若A(x)在(∞,+∞)上連續(xù)，那么線性齊次方程組，的任一非零解在空間不能與x軸相交．2．方程組的任何一個(gè)解的圖象是n+維空間中的一條積分曲線．3．向量函數(shù)組Y1(x),Y2(x),…,Yn(x)線性相關(guān)的必要條件是它們的朗斯期行列式W(x)=0．4．線性齊次微分方程組，的一個(gè)基本解組的個(gè)數(shù)不能多于n+個(gè)．5．若函數(shù)組在區(qū)間上線性相關(guān)，則它們的朗斯基行列式在區(qū)間上恒等于零．6．函數(shù)組的朗斯基行列式是．7．二階方程的等價(jià)方程組是．8．若和是二階線性齊次方程的基本解組，則它們沒(méi)有共同零點(diǎn)．9．二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解,成為其基本解組的充要條件是線性無(wú)關(guān)（或：它們的朗斯基行列式不等于零）．10．階線性齊次微分方程線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)最多為N個(gè)．11．在方程y″+p(x)y′+q(x)y=0中，p(x),q(x)在(∞,+∞)上連續(xù)，則它的任一非零解在xOy平面上可以與x軸橫截相交．12．二階線性方程的基本解組是 ?。?3．線性方程的基本解組是．14．方程的所有解構(gòu)成一個(gè)維線性空間．15．n階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個(gè)n維線性空間．二、計(jì)算題1．將下列方程式化為一階方程組（1）（2）1．（1）解，（2）解2．求解下列方程組：（1）（2）（1）解方程組的系數(shù)陣為特征方程為：det(AE)==，其特征根為.當(dāng)時(shí),，其中a,b滿足(AE)==0,則有a+b=0．取a=1,b=1,則得一特解同理,當(dāng)時(shí)，所以方程組的解為（2）解方程組的系數(shù)陣為.特征方程為:det(AE)==特征根為.當(dāng)時(shí),其中a,b滿足(AE)==0,故有即.取，于是方程組對(duì)應(yīng)于=故特征根所對(duì)應(yīng)的實(shí)解為=,=所以方程組的解為=3．求解下列方程組：（1）（2）（1）解方程組的系數(shù)陣為.特征方程為:det(AE)==特征根為當(dāng)時(shí),其中a,b滿足（=0,即第一個(gè)方程有令，則于是由解得通解=.（2）解系數(shù)陣為特征方程為:det(AE)==.特征根為.通解解為.4．求解下列方程組：（1）（2）4．解方程組的系數(shù)陣為，其特征方程為：det(AE)==.特征根為,方程組有如下形式的解:代入原方程組有消去得令,則令,則所以方程組的解為（2）解.其特征方程為：det(AE)==.特征根為當(dāng)時(shí)，其中a,b滿足(AE)==0,則有ab=0取a=b=1,則得一特解同理,當(dāng)時(shí)，所以對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的通解為，得解得.原方程組的特解為所以原方程組的通解為5．已知方程的一個(gè)解，求其通解．解：由通解公式，6．試求下列n階常系數(shù)線性齊次方程的通解（1）（2）6．（1）解特征方程為:特征根為:。它們對(duì)應(yīng)的解為:方程通解為:.（2）解特征方程為:特征根為:它們對(duì)應(yīng)的解為:方程通解為:.7．試求下述各方程滿足給定的初始條件的解：（1），（2），7．（1）解特征方程為:.特征根為:，方程通解為:由初始條件有:,:.（2）解特征方程為:.特征根為:，方程通解為:由初始條件有:,:.8．求下列n階常系數(shù)線性非齊次方程的通解：（1）（2）8．（1）解由于，故齊次方程的通解為.由于不是特征根，得,，所求通解為.（2）解由于，.因?yàn)椴皇翘卣鞲?，故已知方程有形如的特解．將上式代入原方程，可得，所求通解?三、證明題1．設(shè)矩陣函數(shù)，在（a,b）上連續(xù)，試證明，若方程組與有相同的基本解組，則186。．2．設(shè)在方程中，在區(qū)間上連續(xù)且恒不為零，試證它的任意兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解的朗斯基行列式是在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)．3．試證明：二階線性齊次方程的任意兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解組的朗斯基行列式之比是一個(gè)不為零的常數(shù)．1．證明設(shè)為基本解矩陣,因?yàn)榛窘饩仃囀强赡娴?故有．證明設(shè)w(x)是方程的任意兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解的朗斯基行列式，則且有，.又因?yàn)樵趨^(qū)間上連續(xù)且恒不為零,從而對(duì),或,所以,在上恒正或恒負(fù),即w(x)．證明設(shè)兩個(gè)線性的解組的朗斯基行列式分別為，且，、應(yīng)用題1．一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)由靜止開(kāi)始沉入液體中，當(dāng)下沉?xí)r，液體的反作用與下沉的速度成正比，求此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解設(shè)液體的反作用與質(zhì)點(diǎn)速度的比例系數(shù)為則指點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)滿足方程：即則(*)所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為：又是齊次方程的特征根,故特解形式為：代入(*)式得：所以由得故
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