【導(dǎo)讀】福建泉州，第7題3分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=mx+m與y=（m≠0）。廣西賀州，第10題3分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c. 新疆，第11題5分）若點(diǎn)A和點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=圖象上，溫州，第10題4分）如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A在。四川自貢，第9題4分）關(guān)于x的函數(shù)y=k（x+1）和y=（k≠0）在同一坐標(biāo)系中。廣西玉林市、防城港市，第18題3分）如圖，OABC是平行四邊形，對(duì)角線。②陰影部分面積是；③當(dāng)∠AOC=90°時(shí)，|k1|=|k2|；武漢，第15題3分）如圖，若雙曲線y=與邊長(zhǎng)為5的等邊△AOB的邊OA，AB. 菏澤，第13題3分）如圖，Rt△ABO中，∠AOB=90°，點(diǎn)A在第一象限、點(diǎn)B. 廣東，第23題9分）如圖，已知A（﹣4，），B是一次函數(shù)y=kx+b. 根據(jù)圖象直接回答：在第二象限內(nèi)，當(dāng)x取何值時(shí)，一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的值？25．如圖，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)P（﹣，0），求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；

　　

【正文】 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足兩函數(shù)解析式．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及觀察函數(shù)圖象的能力． 30．（ 2021?浙江湖州，第 20題分）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系 xOy中， O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A（ 2， 5）在反比例函數(shù) y=的圖象上，過(guò)點(diǎn)A的直線 y=x+b 交 x軸于點(diǎn) B． （ 1）求 k 和 b 的值； （ 2）求 △ OAB 的面積． 分析：（ 1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案； （ 2）根據(jù)三角形的面積公式，可得答案． 解：（ 1）把 A（ 2， 5）分別代入 y=和 y=x+b，得 ，解得 k=10b=3； （ 2）作 AC⊥ x軸與點(diǎn) C， 由（ 1）得直線 AB 的解析式為 y=x+3， ∴ 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（﹣ 3， 0）， OB=3， 點(diǎn) A的坐標(biāo)是（ 2， 5）， ∴ AC=5， ∴ = 5= ． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用了待定系數(shù)法，三角形的面積公式． 31．（ 2021?浙江寧波，第 22 題 10 分）如圖，點(diǎn) A、 B 分別在 x， y 軸上，點(diǎn) D 在第一象限內(nèi)， DC⊥ x軸于點(diǎn) C， AO=CD=2， AB=DA= ，反比例函數(shù) y=（ k＞ 0）的圖象過(guò) CD 的中點(diǎn) E． （ 1）求證： △ AOB≌△ DCA； （ 2）求 k 的值； （ 3） △ BFG 和 △ DCA關(guān)于某點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，其中點(diǎn) F 在 y 軸上，是判斷點(diǎn) G 是 否在反比例函數(shù)的圖象上，并說(shuō)明理由． 考點(diǎn)： 反比例函數(shù)綜合題． 專(zhuān)題： 綜合題． 分析： （ 1）利用 “HL”證明 △ AOB≌△ DCA； （ 2）先利用勾股定理計(jì)算出 AC=1，再確定 C點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn) E 為CD 的中點(diǎn)可得到點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（ 3， 1），則可根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征 求得 k=3； （ 3）根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得 △ BFG≌△ DCA，所以 FG=CA=1，BF=DC=2， ∠ BFG=∠ DCA=90176。，則可得到 G 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1， 3），然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征判斷 G 點(diǎn)是否在函數(shù) y=的圖象上． 解答： （ 1）證明： ∵ 點(diǎn) A、 B 分別在 x， y 軸上，點(diǎn) D 在第一象限內(nèi)， DC⊥ x軸， ∴∠ AOB=∠ DCA=90176。， 在 Rt△ AOB 和 Rt△ DCA中 ， ∴ Rt△ AOB≌ Rt△ DCA； （ 2）解：在 Rt△ ACD 中， CD=2， AD= ， ∴ AC= =1， ∴ OC=OA+AC=2+1=3， ∴ D 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 3， 2）， ∵ 點(diǎn) E 為 CD 的中點(diǎn)， ∴ 點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（ 3， 1）， ∴ k=31=3； x k b 1 . c o m （ 3）解：點(diǎn) G 是否在反比例函數(shù)的圖象上．理由如下： ∵△ BFG 和 △ DCA關(guān)于某點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)， ∴△ BFG≌△ DCA， ∴ FG=CA=1， BF=DC=2， ∠ BFG=∠ DCA=90176。， 而 OB=AC=1， ∴ OF=OB+BF=1+2=3， ∴ G 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1， 3）， ∵ 13=3， ∴ G（ 1， 3）在反比例函數(shù) y=的圖象上． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)；會(huì)利用勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算． 32. （ 2021?泰州，第 26 題， 14 分）平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) A、 B 分別在函數(shù) y1=（ x＞ 0）與 y2=﹣（ x＜ 0）的圖象上， A、 B 的橫坐標(biāo)分別為 a、 b． （第 1 題圖） （ 1）若 AB∥ x軸，求 △ OAB 的面積； （ 2）若 △ OAB 是以 AB 為底邊的等腰三角形，且 a+b≠0，求 ab 的值； （ 3）作邊長(zhǎng)為 3 的正方形 ACDE，使 AC∥ x軸，點(diǎn) D 在點(diǎn) A的左上方，那么，對(duì)大于或等于 4 的任意實(shí)數(shù) a， CD 邊與函數(shù) y1=（ x＞ 0）的圖象都有交點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由． 考點(diǎn)： 反比例函數(shù)綜合題． 分析： （ 1）如圖 1， AB 交 y軸于 P，由于 AB∥ x軸，根據(jù) k的幾何 意義得到 S△ OAC=2， S△ OBC=2，所以 S△ OAB=S△ OAC+S△ OBC=4； （ 2）根據(jù)分別函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得 A、 B 的縱坐標(biāo)分別為、﹣，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到 OA2=a2+（） 2， OB2=b2+（﹣） 2，則利用等腰三角形的性質(zhì)得到 a2+（） 2=b2+（﹣） 2，變形得到（ a+b）（ a﹣ b）（ 1﹣ ） =0，由于 a+b≠0， a＞ 0， b＜ 0，所以 1﹣ =0，易得 ab=﹣ 4； （ 3）由于 a≥4， AC=3，則可判斷直線 CD 在 y 軸的右側(cè)，直線 CD與函數(shù) y1=（ x＞ 0）的圖象一定有交點(diǎn)，設(shè)直線 CD 與函數(shù) y1=（ x＞ 0）的圖象交點(diǎn)為 F，由于 A點(diǎn)坐標(biāo)為（ a，），正方形 ACDE 的邊長(zhǎng)為 3，則得到 C 點(diǎn)坐標(biāo)為（ a﹣ 3，）， F 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ a﹣ 3， ），所以 FC= ﹣，然后比較 FC 與 3 的大小，由于 3﹣ FC=3﹣（﹣） = ，而 a≥4，所以 3﹣ FC≥0，于是可判斷點(diǎn) F 在線段 DC上． 解答： 解：（ 1）如圖 1， AB 交 y 軸于 P， ∵ AB∥ x軸， ∴ S△ OAC=|4|=2， S△ OBC=|﹣ 4|=2， ∴ S△ OAB=S△ OAC+S△ OBC=4； （ 2） ∵ A、 B 的橫坐標(biāo)分別為 a、 b， ∴ A、 B 的縱坐標(biāo)分別為、﹣， ∴ OA2=a2+（） 2， OB2=b2+（﹣） 2， ∵△ OAB 是以 AB 為底邊的等腰三角形， ∴ OA=OB， ∴ a2+（） 2=b2+（﹣） 2， ∴ a2﹣ b2+（） 2﹣（） 2=0， ∴ a2﹣ b2+ =0， ∴ （ a+b）（ a﹣ b）（ 1﹣ ） =0， ∵ a+b≠0， a＞ 0， b＜ 0， ∴ 1﹣ =0， ∴ ab=﹣ 4； （ 3） ∵ a≥4， 而 AC=3， ∴ 直線 CD 在 y 軸的右側(cè)，直線 CD 與函數(shù) y1=（ x＞ 0）的圖象一定有交點(diǎn)， 設(shè)直線 CD 與函數(shù) y1=（ x＞ 0）的圖象交點(diǎn)為 F，如圖 2， ∵ A點(diǎn)坐標(biāo)為（ a，），正方形 ACDE 的邊長(zhǎng)為 3， ∴ C 點(diǎn)坐 標(biāo)為（ a﹣ 3，）， ∴ F 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ a﹣ 3， ）， ∴ FC= ﹣， ∵ 3﹣ FC=3﹣（ ﹣） = ， 而 a≥4， ∴ 3﹣ FC≥0，即 FC≤3， ∵ CD=3， ∴ 點(diǎn) F 在線段 DC 上， 即對(duì)大于或等于 4 的任意實(shí)數(shù) a， CD 邊與函數(shù) y1=（ x＞ 0）的圖象都有交點(diǎn)． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義、圖形與坐標(biāo)和正方形的性質(zhì)；會(huì)利用求差法對(duì)代數(shù)式比較大?。? 33.（ 2021?呼和浩特，第 23 題 8 分）如圖，已知反比例函數(shù) y=（ x＞ 0， k 是常數(shù)）的圖 象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ 1， 4），點(diǎn) B（ m， n），其中 m＞ 1， AM⊥ x軸，垂足為 M， BN⊥ y 軸，垂足為N， AM 與 BN 的交點(diǎn)為 C． （ 1）寫(xiě)出反比例函數(shù)解析式； （ 2）求證： △ ACB∽△ NOM； （ 3）若 △ ACB 與 △ NOM 的相似比為 2，求出 B 點(diǎn)的坐標(biāo)及 AB 所在直線的解析式． 考點(diǎn)： 反比例函數(shù)綜合題． 分析： （ 1）把 A點(diǎn)坐標(biāo)代入 y=可得 k 的值，進(jìn)而得到函數(shù)解析式； （ 2）根據(jù) A、 B 兩點(diǎn)坐標(biāo)可得 AC=4﹣ n， BC=m﹣ 1， ON=n， OM=1，則 = ，再根據(jù)反比例函數(shù)解析式可得 =m，則 =m﹣ 1，而 = ，可得 = ，再由∠ ACB=∠ NOM=90176。，可得 △ ACB∽△ NOM； （ 3）根據(jù) △ ACB 與 △ NOM的相似比為 2可得 m﹣ 1=2，進(jìn)而得到 m的值，然后可得B 點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出 AB 的解析式即可． 解答： 解：（ 1） ∵ y=（ x＞ 0， k 是常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ 1， 4）， X K B O M ∴ k=4， ∴ 反比例函數(shù)解析式為 y=； （ 2） ∵ 點(diǎn) A（ 1， 4），點(diǎn) B（ m， n）， ∴ AC=4﹣ n， BC=m﹣ 1， ON=n， OM=1， ∴ = =﹣ 1， ∵ B（ m， n）在 y=上， ∴ =m， ∴ =m﹣ 1，而 = ， ∴ = ， ∵∠ ACB=∠ NOM=90176。， ∴△ ACB∽△ NOM； （ 3） ∵△ ACB 與 △ NOM 的相似比為 2， ∴ m﹣ 1=2， m=3， ∴ B（ 3，）， 設(shè) AB 所在直線解析式為 y=kx+b， ∴ ， 解得 ， ∴ 解析式為 y=﹣ x+ ． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，必然能使函數(shù)解析式左右相等． 34．（ 2021?德州，第 21 題 10 分）如圖，雙曲線 y=（ x＞ 0）經(jīng)過(guò) △ OAB 的頂點(diǎn) A和 OB 的中點(diǎn) C， AB∥ x軸，點(diǎn) A的坐標(biāo)為（ 2， 3）． （ 1）確定 k 的值； （ 2）若點(diǎn) D（ 3， m）在雙曲線上，求直線 AD 的解析式； （ 3）計(jì)算 △ OAB 的面積． 考點(diǎn)： 反比例函數(shù)綜合題． 專(zhuān)題： 綜合題． 分析： （ 1）將 A坐標(biāo)代入反比例解析式求出 k 的值即可； （ 2）將 D 坐標(biāo)代入反比例解析式求出 m的值，確定出 D坐標(biāo)，設(shè)直線 AD 解析式為y=kx+b，將 A與 D 坐標(biāo)代入求出 k 與 b 的值，即可確定出直線 AD 解析式； （ 3）過(guò)點(diǎn) C 作 CN⊥ y 軸，垂足為 N，延長(zhǎng) BA，交 y 軸于點(diǎn) M，得到 CN 與 BM 平行，進(jìn)而確定出三角形 OCN 與三角形 OBM 相似，根據(jù) C 為 OB 的中點(diǎn)，得到相似比為 1： 2，確定出三角形 OCN與三 角形 OBM 面積比為 1： 4，利用反比例函數(shù) k的意義確定出三角形 OCN 與三角形 AOM 面積，根據(jù)相似三角形面積之比為 1： 4，求出三角形 AOB 面積即可．新 *課 *標(biāo) *第 *一 *網(wǎng) ] 解答： 解：（ 1）將點(diǎn) A（ 2， 3）代入解析式 y=，得： k=6； （ 2）將 D（ 3， m）代入反比例解析式 y=，得： m==2， ∴ 點(diǎn) D 坐標(biāo)為（ 3， 2）， 設(shè)直線 AD 解析式為 y=kx+b， 將 A（ 2， 3）與 D（ 3， 2）代入得： ， 解得： k=﹣ 1， b=5， 則直線 AD 解析式為 y=﹣ x+5； （ 3）過(guò)點(diǎn) C 作 CN⊥ y 軸，垂足為 N，延長(zhǎng) BA，交 y 軸于點(diǎn) M， ∵ AB∥ x軸， ∴ BM⊥ y 軸， ∴ MB∥ CN， ∴△ OCN∽△ OBM， ∵ C 為 OB 的中點(diǎn)，即 =， ∴ =（） 2， ∵ A， C 都在雙曲線 y=上， ∴ S△ OCN=S△ AOM=3， 由 =，得到 S△ AOB=9， 則 △ AOB 面積為 9． 點(diǎn)評(píng)： 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及反比例函數(shù) k 的意義，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵． 35.（ 2021?菏 澤，第 17 題 7 分） （ 2）如圖，在平 面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知一次函數(shù) y=kx+b 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ 1， 0），與反比例函數(shù) y=（ x＞ 0）的圖象相交于點(diǎn) B（ 2， 1）． ① 求 m 的值和一次函數(shù)的解析式； ② 結(jié)合圖象直接寫(xiě)出：當(dāng) x＞ 0 時(shí)，不等式 kx+b＞的解集． 考點(diǎn)： 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題． 分析： （ 2） ① 將 B 點(diǎn)坐標(biāo)代入，求出 m 的值，將點(diǎn) A 和點(diǎn) B 的坐標(biāo)代入求出 k和 b 的值，繼而可求得解析式； ② 根據(jù)圖象，寫(xiě)出解集即可． 解答： 解：（ 1）設(shè) A飲料生產(chǎn)了 x瓶，則 B 飲料生產(chǎn)了（ 100﹣ x）瓶， 由題意得， 2x+3（ 100﹣ x） =270， X k b 1 . c o m 解得： x=30， 100﹣ x=70， 答： A飲料生產(chǎn)了 30 瓶，則 B 飲料生產(chǎn)了 70 瓶； （ 2） ①∵ 反比例函數(shù) y=（ x＞ 0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) B（ 2， 1）， ∴ m=12=2， ∵ 一次函數(shù) y=kx+b 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ 1， 0），點(diǎn) B（ 2， 1）， ∴ ， 解得： ， ∴ 一次函數(shù)的解析式為： y=x﹣ 1； ② 由圖象可得： x＞ 2． 點(diǎn) 評(píng)： 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出合適的等量關(guān)系，列方程組求解．