【導讀】集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；（補充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線；；外切（圖2）?弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。恢腥我?個條件推出其他3個結論。此定理也稱1推3定理，即上述四個結論中，是弧AB所對的圓心角和圓周角。都是所對的圓周角，∴CD???推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對弧是半圓，所對弦是直徑?！唷鰽BC是直角三角形或。中線等于斜邊的一半的逆定理。在⊙O中△ABC是正三角形，有關計算在RtBOD?同理，六邊形的有關計算在RtOAB?

　　

【正文】 ∵ BE⊥ CD，又 ∵∠ ECB＝ 45176。， ∴∠ CBE＝ 45176。， ∴ CE＝ BE， ∵ 四邊形 ACDB 是圓 O 的內接四邊形， ∴∠ A+∠ BDC＝ 180176。， 又 ∵∠ BDE+∠ BDC＝ 180176。， ∴∠ A＝ ∠ BDE， 又 ∵∠ ACB＝ ∠ BED＝ 90176。， ∴△ ABC∽△ DBE， 5 分 ∴ DE： AC＝ BE： BC， ∴ DE： BE＝ AC： BC＝ 1： 2， 又 ∵ CE＝ BE， ∴ DE： CE＝ 1： 2， ∴ D 為 CE 的中點； 6 分 (3)解：連接 CO， ∵ CO＝ BO， CE＝ BE， ∴ OE 垂直平分 BC， 設 OE 交 BC 于 F,則 F 為 BC 中點，又 ∵ O 為 AB 中點， ∴ OF 為 △ ABC 的中位線， ∴ OF＝ 12AC， 7 分 ∵∠ BEC＝ 90176。， EF 為中線， ∴ EF＝ 12BC， 8 分 在 Rt△ ACB 中， AC2+BC2＝ AB2， ∵ AC： BC＝ 1： 2， AB＝ 10 ， ∴ AC＝ 2 ， BC＝ 2 2 ， ∴ OE＝ OF+EF＝ 322 ． 10 分 7． 【考點】直線與圓的位置關系；勾股定理；垂徑定理． 【分析】（ 1）由同弧所對的圓周角相等得到 ∠ AEC=∠ ABC，再由已知 ∠ ODB=∠ AEC，等量代換得到 ∠ABC=∠ ODB，在直角三角形 BDF 中，利用直角三角形兩銳角互余得到一對角互余，等量代換得到 ∠ OBD為直角，即可得到 BD 是圓 O 的切線； （ 2）證明 △ CEF∽△ ABF，得出對應邊成比例求出 CE，由勾股定理求出 BE 和 AE，得出 AF，求出 CF，得出 BC 的長，由垂徑定理得出 BH 的長． 【解答】解：（ 1） BD 是 ⊙ O 的切線；理由如下： ∵∠ AEC 與 ∠ ABC 都對 ， ∴∠ AEC=∠ ABC， ∵∠ ODB=∠ AEC， ∴∠ ABC=∠ ODB， 在 Rt△ BDF 中， ∠ ODB+∠ DBF=90176。， ∴∠ ABC+∠ DBF=90176。，即 ∠ OBD=90176。， ∴ BD⊥ OB， ∴ BD 是 ⊙ O 的切線； （ 2） ∵∠ A=∠ C， ∠ ABF=∠ CEF， ∴△ CEF∽△ ABF， ∴ = ， 即 ，解得： CE= ；連接 BE，如圖所示： ∵ AB 是 ⊙ O 的直徑， ∴∠ AEB=90176。， ∴ BE= = ， ∴ AE= = ， ∴ AF=AE﹣ EF= ﹣ = ， ∴ = ，解得： CF= ， ∴ BC=BF+CF= ， ∵ OE⊥ BC， ∴ BH=CH= BC= ． 【點評】此題考查了切線的判定、直角三角形的性質、圓周角定理、相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識； 本題綜合性強，有一定難度． 8． 【考點】圓的綜合題． 【分析】（ 1）結論：相切．作 CM⊥ AB 于 M．，只要證明 CM=4，即可解決問題； （ 2）由 CF=4， CD=2， CA=8，推出 CF2=CD?CA，推出 = ，由 ∠ FCD=∠ ACF，即可推出 △ FCD∽△ ACF； （ 3）作 AE′⊥ AB 于 E′，交 ⊙ C 于 F′．由 △ FCD∽△ ACF，可得 = = ，推出 DF= AC，推出EF+ AF=EF+DF，所以欲求 EF+ AF 的最小值，就是要求 EF+DF 的最小值； 【解答】（ 1）解：結論：相切． 理由 ：作 CM⊥ AB 于 M．在 Rt△ ACM 中， ∵∠ AMC=90176。， ∠ CAM=30176。， AC=8， ∴ CM= AC=4， ∵⊙ O 的半徑為 4， ∴ CM=r， ∴ AB 是 ⊙ C 的切線． （ 2）證明： ∵ CF=4， CD=2， CA=8， ∴ CF2=CD?CA， ∴ = ， ∵∠ FCD=∠ ACF， ∴△ FCD∽△ ACF． （ 3）解：作 AE′⊥ AB 于 E′，交 ⊙ C 于 F′． ∵△ FCD∽△ ACF， ∴ = = ， ∴ DF= AC， ∴ EF+ AF=EF+DF， ∴ 欲求 EF+ AF 的最小值，就是要求 EF+DF 的最小值， 當 E 與 E′， F 與 F′重合時， EF+DF 的 值最小，最小值 =DE′= AD=3． 【點評】本題考查圓綜合題、切線的判定和性質、相似三角形的判定和性質，垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，正確切線的證明方法，學會正確尋找相似三角形解決問題，學會利用垂線段最短解決問題，屬于中考壓軸題． 9． （ 1）證明：連接 AD，∵ AB 為直徑，∴ ∠ ACB＝ 90176。， ∴ AD⊥ BC. ∵ AB=AC，∴ BD=CD. ??????????????????????? 2 分 （ 2）解：連接 OD. ∵ GF 是切線， OD 是半徑， ∴ OD⊥ GF，∴ ∠ ODG＝ 90176。. ∵ ??? 40G ， ∴ ∠ GOD＝ 50176。 . ∵ OB=OD，∴ ∠ OBD＝ 65176。 . ??????????????? 5 分 ∵點 A、 B、 D、 E 都在 ⊙ O 上 ， ∴ ∠ ABD+∠ AED=180176。 ， ∴ ∠ AED=115176。 .????????????????????? 6 分 （ 3）解： ∵ AB=AC， ∴∠ ABC=∠ C， ∵ OB=OD， ∴∠ ABC=∠ ODB， ∴∠ ODB=∠ C， ∴ OD∥ AC， ?????????????????? 7 分 ∴△ GOD∽△ GAF， ?????????? ???????????? 8 分 ∴ GAGOAFOD? ，∴設⊙ O 的半徑是 r，則 AB=AC=2r ∴ AF=2r2， ∴ rrrr 26622 ???? , ∴ r=3， 即 ⊙ O 的半徑是 3． ???????????? 10 分 10． 解： (1) 連接 CO． ∵ D 為 BC 的中點 ， 且 OB=OC， ∴ OD⊥ BC． 1 分 ∵ OB=OC，∴∠ OBC=∠ OCB． 又 ∵∠ OBC=∠ OFC， ∴∠ OCB=∠ OFC． 2 分 ∵ OD⊥ BC，∴∠ DCF+∠ OFC=90?． ∴∠ DCF+∠ OCB=90?．即 OC⊥ CF，∴ CF 為 ⊙ O 的 切 線． 3 分 (2) ① 設⊙ O 的半徑為 r． ∵ OD⊥ BC 且 ∠ ABC=30?． ∴ OD=12 OB=12 r． 又 ∵ DE=1，且 OE=OD+DE． ∴ 11 2rr?? ，解得 ： r=2． 4 分 ② 作 DH⊥ AB 于 Ｈ ， 在 RT△ ODH 中 ， ∠ DOH=60?， OD=1． ∴ DH= 32， OH=12 ． 在 RT△ DAH 中 ， ∵ AH=AO+OH=52 ，∴ 由 勾股 定理 ： AD= 7 ． ∴ 3 2 1s in1427DHBAD AD? ? ? ?． 6 分 (3)設⊙ O 的半徑為 r． ∵ O、 D 分別 為 AB、 BC 中點 ， ∴ AC=2OD． 又 ∵ 四邊形 ACFD 是 平行四邊形 ， ∴ DF=AC=2OD． ∵ ∠ OBC=∠ OFC， ∠ CDF=∠ ODB=90?， ∴ △ ODB∽ △ CDF． ∴ OD BDCD DF? ， ∴ 2OD BDBD OD? ， 解得： 2BD OD? ． 8 分 HA BCDEFO∴在 Rt△ OBD 中， OB=r， ∴ 36,33O D r B D r??． ∴ 12,33O H r D H r??． ∴ 在 RT△ DAH 中 ， ∵ AH=AO+OH=43r，∴ 由 勾股 定理 ： AD= 2r ． ∴ 21s in332D H rBAD AD r? ? ? ?． 10 分