【導(dǎo)讀】多項式方程的求根，函數(shù)的多項式逼近等等問題是應(yīng)用數(shù)學(xué)，計算。位置變動的敏感性。我們從Chebyshev多項式入手，研究多項式的大小對多項。式根的位置的影響。本課題的主要內(nèi)容是對Chebyshev多項式和Bernstein多。項式做進一步深入分析，了解他們的有用的重要性質(zhì)。給出一些有意義新的問。本論文的創(chuàng)新點之一就是對多項式的數(shù)域的擴充到復(fù)數(shù)的情況。尤其在借鑒數(shù)值逼近中最小多項式的概念引出最大多項式的概念。后對多項式限制一定條件后逐步深入問題。事實上確實存在這樣的多項式：。，那么這兩個多項式在圖上。的巨大的區(qū)別是什么造成的呢？

　　

【正文】 n tg t t n t t n?? ? ? ?的最值。由于 ()gt 和 ln[ ()]gt 具有相同的增減性，他們有相同的臨界點。問題轉(zhuǎn)化 為 求 ( ) l n ( ) l n [ ( ) ] l n ( ) l n ( ) , [ 1 , 1 ]t n tf t g t t n t t t n t n t t n?? ? ? ? ? ? ? ? ?的最大值，以 及 臨 界 點 。( ) [ l n ( ) ] {l n [ ( ) ] } l n l n ( ) l n , [ 1 , 1 ]t n t tf t g t t n t t n t t nnt?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??。由()ft? =0? 2nt? （這是唯一的臨界點）， 2nt? 時， ( ) 0ft? ? ， 2nt? ， ( ) 0ft? ? 。故 ()ft 的 最 大 值 是 一 定 在 區(qū) 間 的 兩 端 點 之 一 處 取 得 ， 11max ( )tnft?? ?= m ax{ (1), ( 1)}f f n ?= 121() nn nnn????????，所以對任何的首一實多項式其根在區(qū)間 [1,1]? 且以 1,1 為其根的多 項式 p，其[ 1,1]p ?121( ) , 3nn n nnn?????????? 類似的我們就可以得到 1[ , ]1( ) , 3nnabb a npnnn ???????????，我們?nèi)菀子^察到如果 1ba??，則當 n?? 時， 1[ , ]1( ) 0nnabb a np nn ???????????。從這里我們知道了隨著多項式的次數(shù) n 很大時， p 幾乎為零。 其 圖像 在坐標軸上 顯 示為 幾乎貼著實數(shù)軸。 我們在緒論中的 7()Tx? 顯然就可以算這個例子。 上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計 (論文 ) 21 含 虛 根 的情況： 我們自然會想，如果放寬條件，即多項式有虛數(shù)根的情況（多項式本身還是實系數(shù)多項式），是否有與先前 相 類似的結(jié)論？當然，我們假定多項式的系數(shù)全部是實系數(shù)多項式 。所以，根據(jù)多項式的理論，這樣的多項式的虛根一定是成對出現(xiàn)的。我們還假定所有的根的模都不超過 1。我們這樣做的原因完全是為了對應(yīng)的 先前多項式其 根全是實根的情況。不過值得注意的是這里有一個關(guān)鍵的不同點：多項式根的拖動 的相應(yīng)結(jié)論都是針對實系數(shù)多項式其根全是實根的情況。對于有虛根的情況，不管是一個（對）根，還是許多個（對）虛根的情況顯然就不能包括在內(nèi)了。 假設(shè) p 是一個實系數(shù)多項式且 1， 1 都是其根。其他所有的根都在單位圓盤內(nèi)。這里的單位圓盤是 { : 1}D z C z? ? ?（顯然是不包括其邊界的）假定 p 至少有一個虛根 且他 虛部 是非零的 （即不是純虛數(shù)）。我們不妨設(shè)他為 w a ib?? 因此， w a ib?? 也是多項式 p 的一個 根。其他我們分別稱為 1 2 2, , ,nr r r? 這樣1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )wnp x p x x r x r x r x w x w?? ? ? ? ? ? ?，存在 [ 1, ]x??? 使得1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p x p x x r x r x r x w x w?? ? ? ? ? ? ?在 x? 處達到最大值。固定這個 x? ， 當 然 除 了 w 和 w 其 他 的 根 也 不 能 移 動 。 現(xiàn) 在 我 們 知 道[ 1,1]()wpx?= ()wpx? = 1xr?? 2xr?? 3xr?? 2nxr? ?? xw?? xw?? 。 這里()wpx? 被作為復(fù)數(shù)的模，但其實 ()wpx? 確是 一個無可辯駁的實數(shù)。用幾何的觀點來說， ()wpx? 完全是被 x? 到 w 和 w 的距離所決定的。我們移動 w （ 自然 w同時也被移動 ， w 和 w總是對稱的 ） ，使 w 與 x? 的距離增 大 ，（同時 w與 x? 的距離也在增 大 ） 則 ()wpx? 也隨之增大。 上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計 (論文 ) 22 上圖就是沿著 w 與 x? 連線方向移動的過程（向 圓盤的 邊界移動） 這個時候我們可以得到： [ 1 , 1 ] [ 1 , 1 ]( ) ( )ww wwp p x p x p????? ?? ? ? 這就是 說 對于這樣的多項式一定存在 另一個和他同類型的實多項式，他有更大的范數(shù)，此外當我們把在圓盤內(nèi)的復(fù)根向圓盤的邊界移動時范數(shù)會盡可能得大。最終導(dǎo)致所有的復(fù)根都在單位圓周上，所有的實根都在 1 或 1 上面。這就和我們當初 對全部是實根的情況很類似，那么 在 這 些 形式的多項式中 哪 個多項式的范 數(shù) 最 大 ？ 我 們 還 是 觀 察 根 的 位 置 。 從 幾 何 特 征 來 看 ，( ) / 2 ( ) / 211( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( )n j k n j kiiiijp x x x e x e x e x e???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?固定所有的根除了一對共軛的虛根， 我們可以再一次看見如何增大范數(shù)的。 ( ) / 2 ( ) / 211( ) 1 1 n j k n j kjk iiiip x x x x e x e x e x e???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? 我們不妨就考慮 1? 所對應(yīng)的一對共軛復(fù)根的拖動。很明顯我們 1? 從 :0 ?? 時。這對復(fù)根就變成 1 和 1 了。而這一過程中范數(shù)一 直在 增大。 上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計 (論文 ) 23 這個過程可以對其他的共軛的復(fù)根進行 , 使得多 項式最終變成如下形式： ( ) ( 1) ( 1)i n ip x x x ?? ? ?， ,2, 1in??現(xiàn)在已經(jīng)到極致了，不可能再拖動了。范數(shù)已經(jīng)最大了。并且問題回到了前面所出現(xiàn)的情況?，F(xiàn)在我們可以在更加廣泛的范圍內(nèi)說出我們的結(jié)論了： 結(jié)論 ： 對所有實系數(shù)包含 1 和 1 為多項式的 根 ， 且其余 的 根都在單位圓盤內(nèi)的高次（次數(shù)大于等于 2）多項式他們的范數(shù) 的“ 上確界 ”應(yīng) 為： 1[ 1 , 1 ]21 nn npnn?????????? 上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計 (論文 ) 24 所以在范數(shù)意 義下，我們完全可以說對所有實系數(shù)包含 1 和 1 為其根 ， 且其余根都在單位圓盤內(nèi)的高次（次數(shù)大于等于 2）多項式中他們的最大多項式為： 11, ( ) ( 1 ) ( 1 ) nnp x x x ?? ? ?，而同類中最小的多項式為：12 ( )n nTx? ，由于 ()nTx 在 1， 1 處沒有零點。所以多項式的范數(shù)還可以進一步控制其范圍。 11 [ 1 , 1 ]11 1 2 12 2 c os ( )2nnnnnnpnnn??? ?????? ? ????? 上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計 (論文 ) 25 致 謝 在完成本 論文的過程中 在此論 文撰寫過程中，要特別感謝我的導(dǎo)師 張建軍 的指導(dǎo)與督促，同時感謝 他 的諒解與包容。沒有 張建軍 老師的幫助也就沒有今天的這篇論文。求學(xué)歷程是艱苦的，但又是快樂的。感謝我的 輔導(dǎo)員 ，謝謝 她 在 這些 年中 對 我們所做的一切， 她 不求回報，無私奉獻的精神很讓我感動，再次向她 表示由衷的感謝 。 謝謝我的父母，沒有他們辛勤的付出也就沒有我的今天，在這一刻，將最崇高的敬意獻給你們！ 參考文獻 【 1】 B. Anderson, Polynomial Root Dragging, Amer. Math. Monthly 100 (1993), 864865. 【 2】 B. Anderson, Where the Inection Points of a Polynomial May Lie,Math Magazine 70 (1997), 3239. 【 3】 P. Andrews, Where Not to Find the Critical Points of a Polynomial Variation on a Putnam Theme, Amer. Math. Monthly 102 (1995), 155158. 【 4】 P. Borwein and T. Erd elyi, Polynomials and Polynomial Inequalities,Springer 1995. 【 5】 J. C. Mason and D. C. Handsb, Chebyshev Polynomials, CRC Press， 2020. 上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計 (論文 ) 26