【正文】 集合偏序關(guān)系的非概率可靠性準(zhǔn)則 問題的定義： 對不確定結(jié)構(gòu)，設(shè)mi tutu ))(()( ?是結(jié)構(gòu)的輸入，ni txtx ))(()( ?是結(jié)構(gòu)的輸出，而f t f ti n( ) ( ( ) )?是結(jié)構(gòu)的失效值。 按照不確定凸模型理論，用凸集合U t( )和F t( )分別對不確定變量u t( )和f t( )進(jìn)行定量化，則結(jié)構(gòu)的輸入集合U t( )所對應(yīng)的響應(yīng)集合為 )}()(:{)())(( tUtuxtXtUX u ??? 非概率凸模型可靠性的目的是：通過分析凸集合X t( )和F t( )間的數(shù)學(xué)關(guān)系來確定不確定結(jié)構(gòu)在什么條件下是安全的？在什么條件下是失效的？在什么條件下結(jié)構(gòu)由安全狀態(tài)過渡到失效狀態(tài)，即不確定結(jié)構(gòu)的可靠性準(zhǔn)則是什么？按照非概率凸模型可靠性理論的定義：結(jié)構(gòu)在失效之前所允許的不確定量如果比較大，則結(jié)構(gòu)是高可靠性的；如果比較小，則結(jié)構(gòu)的可靠性低。從這個(gè)意義上講，非概率凸模型可靠性是結(jié)構(gòu)對不確定魯棒性的度量，所以稱為魯棒可靠性。 B e n H ai m 魯棒可靠性準(zhǔn)則剖析： 首先讓我們從經(jīng)典的結(jié)構(gòu)安全與失效的關(guān)系談起。設(shè)mi tutu ))(()( 00 ?,ni txtx ))(()( 00 ?和ni tftf ))(()( 00 ?分別為結(jié)構(gòu)的輸入，輸出和失效值的標(biāo)稱值。 如果 )()( 00 tftx ? 則結(jié)構(gòu)是安全的。如果 )()( 00 tftx ? 則結(jié)構(gòu)是失效的。而條件 )()( 00 tftx ? 則是結(jié)構(gòu)由安全狀態(tài)過渡到失效狀態(tài)的臨界條件，也叫可靠性準(zhǔn)則。 注意到：對 n 維向量空間的兩個(gè)向量),( 21 n???? ??T 和),( 21 n???? ??T 的偏序關(guān)系?? ?，是指對兩個(gè)向量),( 21 n???? ??T 和),( 21 n???? ??T 的各個(gè)分量都有關(guān)系niii ,2,1, ??? ??。同樣對偏序關(guān)系 “ ? ” 和 “ ? ” 也有類似的含義。但是，對向量)4,3,2,1(T 和( 2 , 1 , 4 , 3 ) T則沒有上述的偏序 “ ? ” 和 “ ? ” 關(guān)系。 按照 B e n H a i m 的魯棒可靠性準(zhǔn)則，只要結(jié)構(gòu)的響應(yīng)集合和失效集合不相交，即 ( ) ( )X t F t ?? 結(jié)構(gòu)就是安全的。 圖 7. 12 兩個(gè)凸集合間關(guān)系 工程實(shí)際情況果真如此嗎？在二維平面上考慮如下的兩個(gè)凸集合 ( 見圖 7. 12 ) ，設(shè)響應(yīng)集合為 }1)2()2(:),{( 221 ????? yxyxP 失效集合為 })2()5(:),{( 222 ????? yxyxP 在P1中取)2,3(),( ?? yx AAA為 x 方向的最大點(diǎn)，)3,2(),( ?? yx BBB為y方向的最大點(diǎn) ,在P2中取C C Cx y? ?( , ) ( , . )5 1 5為 x 方向的最小點(diǎn)，)2,(),( ?? yx DDD為y方向的最小點(diǎn)。 從圖 可以看出 ??? 21 PP 由 B e n H a i m 的魯棒可靠性準(zhǔn)則，結(jié)構(gòu)響應(yīng)集合P1是安全的。既然P1是安全的，按照傳統(tǒng)的安全定義，那么P1中的任何點(diǎn)都應(yīng)該小于P2中的任何點(diǎn)。但是，這一結(jié)論在響應(yīng)集合P1和失效集合P2的點(diǎn)之間的關(guān)系中是不成立的，即響應(yīng)集合P1中的任何點(diǎn)都應(yīng)該小于失效集合P2中的任何點(diǎn)的偏序關(guān)系不成立，這一點(diǎn)，我們從圖 中可以看出，在y方 向 的最小點(diǎn)上方 ，反向不等式成立，即 2 , 3 , 3 2y y y y y yA C B C B D? ? ? ? ? ? ? ? ? 這就是說，在y方 向 上 , 響應(yīng)集合P1中的點(diǎn)A ? ( , )3 2要比失效集合P2中的點(diǎn)C ? ( , . )5 1 5大，響應(yīng)集合P1中的點(diǎn)B ? ( , )2 3要比失效集合P2中的點(diǎn)C ? ( , . )5 1 5和)2,(?D大，所以響應(yīng)集合P1在y方向是不安全的， B e n H a i m 的 魯棒可靠性準(zhǔn)則是不對的。 從數(shù)學(xué)上講，結(jié)構(gòu)安全與失效的關(guān)系，在集合理論中所對應(yīng)的是一種集合間偏序關(guān)系，而不是集合間的分離關(guān)系即不相交關(guān)系。 凸集合代數(shù)運(yùn)算： 設(shè)U G u( , , )? 0是實(shí)函數(shù)空間的任意凸集合 , 其中? ? 0表示凸集合的大小 , G 是 m m? 維矩陣 , 表示凸集合的初始不確定性或相對不確定性 ( 不確定變量間的相對不確定性 ), 當(dāng) G 等于單位矩陣時(shí) , 代表向量u t u ti m( ) ( ( ) )?沒有不確定性或相對不確定性未知 .在非概率凸集合可 靠性的理論中，當(dāng)我們確定魯棒可靠性指標(biāo)時(shí)，表示凸集合大小的非負(fù)數(shù)? ? 0是變化的，只有? ? 0變化才能通過在非概率凸集合可靠性準(zhǔn)則確定出?的大小，即魯棒可靠性指標(biāo)。 關(guān)于凸集合的運(yùn)算，這里先引進(jìn)兩種： 定義 1 . 設(shè)? ? R , v R tm0 ? ( ), 則： i) 數(shù)和凸集合 U G u( , , )?0的乘法定義為： 0 0 0( , , ) ( , , ) ( , , )U G u U G u U G u? ? ? ? ? ? ? ??? ii) 向量和凸集合U G u( , , )? 0的加法為： 0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ) ( , , )v U G u U G u v U G v u? ? ?? ? ? ? ? 關(guān)于凸集合的偏序關(guān)系，這里引進(jìn)如下幾種：設(shè)U G u( , , )? 0和V H v( , , )? 0是任意兩個(gè)凸集合，mitu iUuu i,2,1,)}({su p ????和mitv iVvv i,2,1,)}({su p ????分別表示凸集合U G u( , , )? 0和),( 0vHV ?中任意向量))(()( tutu i?和))(()( tvtv i?各個(gè)分量的上確界 ( 或最大值 ) 。同樣，i n f { ( ) } , , , ,u u U iiu t i m? ?? 1 2 ?和mitv iVvv i,2,1,)}({i n f ???? 分別表示凸集合U G u( , , )? 0和V H v( , , )? 0中任意向量u t u ti( ) ( ( ) )?和v t v ti( ) ( ( ) )?各個(gè)分量的下確界 ( 或最小值 ) 。顯然，mitutu iUuuiUuuii,2,1,) } ]({su p) } ,({i n f[ ??????和mitvtv iVvviVvvii,2,1,) } ]({su p) } ,({i n f[ ??????分別表示兩個(gè)有界閉區(qū)間向量。這兩個(gè)區(qū)間向量在 m 維實(shí)函數(shù)空間中構(gòu)成兩個(gè)分別外接兩個(gè)凸集合U G u( , , )? 0和V H v( , , )? 0的超長方體。兩個(gè)凸集合U G u( , , )? 0和V H v( , , )? 0的外接超長方體分別記為[ ]U和[ ]V。 命題 1 . 如果 mitvtuiVvviUuu ii,2,1,)}({i n f)}({su p ??????? 則 U G u( , , )? 0?),( 0vHV ?,[ ]U?[ ]V 命題 2. 如果 mitvtuiVvviUuu ii,2,1,)}({i n f)}({su p ??????? 則 U G u( , , )? 0?V H v( , , )? 0,[ ]U?[ ]V 命題 3. 如果 mitvtuiVvviUuu ii,2,1,)}({i n f)}({su p ??????? 則凸集合),( 0uGU ?外接超長方體[ ]U的最大頂點(diǎn)和凸集合),( 0vHV ?外接超長方體[ ]V的最小頂點(diǎn)是重合的。這一定義是本文所要引進(jìn)非概率凸模型可靠性準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。顯然，這時(shí)，仍有? ? ??),(, 00 vHVuGU ?? ?. 命題 4. 如果 inf { ( ) } inf { ( ) } sup { ( ) } sup { ( ) } , 1 , 2 , ,iiiii i i iv v V u u U u u U v v Vv t u t u t v t i m? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 則 ][][,),(),( 00 VUvHVuGU ?? ?? 命題 5. 如果存在i0使 ?) } ]({s u p) } ,({i n f[0000tutuiUuuiUuuii ??????????) } ]({s u p) } ,({i n f[0000tvtviVvviVvvii 則 ? ? ??),(, 00 vHVuGU ?? ?，U V? ? ? 這個(gè)命題在分析 B e n H a i m 的魯棒可靠性準(zhǔn)則的錯(cuò)誤，以及給出了新的非概率凸模型理論的魯棒可靠性準(zhǔn)則中將起非常重要的作用。 命題 6. 如果設(shè)U G u( , , )? 0是凸集合，則對任意0 ? ?? ? 有 U G u U G u( , , ) ( , , )? ?0 0? 這可以看成凸集合U G u( , , )? 0對參數(shù) ? 是單調(diào)的。 定義 2 . 設(shè)U G u( , , )? 0和V H v( , , )? 0是任意 兩個(gè) 凸集 合， 且U G u( , , )? 0?),( 0vHV ?，)}({s u p tuiUuu i ??和)}({su p tviVvv i ??分別表示兩個(gè)凸集合),( 0uGU ?和),( 0vHV ?中的任意向量u t u ti( ) ( ( ) )?和v t v ti( ) ( ( ) )?第 i 個(gè)分量的上確界 ( 或最大值 ) ，而)}({i n f tu iUuu i ??和i n f { ( ) }v v Viiv t? ?分別表示凸集合U G u( , , )? 0和V H v( , , )? 0中向量))(()( tutu i?和))(()( tvtv i?第 i 個(gè)分量的下確界 ( 或最小值 ). i ) 魯棒函數(shù)定義為 : 00000 0 0[ ( , , ) , ( , , ) ] i n f { 0 : s u p { ( ) } i n f { ( ) } , }iiiiv v Vu u UD U G u V H v u t v t f o r s o m e i? ? ?????? ? ? 兩個(gè)凸集合),( 0uGU ?和),( 0vHV ?通過參數(shù)0??進(jìn)行擴(kuò)張，如果存在 下標(biāo)i0, 且有凸集合),( 0uGU ?中的任意向量u t u ti( ) ( ( ) )?的第0i個(gè)分量的上確界 ( 或最大者 ) 和凸集合),( 0vHV ?中的任意向量v t v ti( ) ( ( ) )?的第0i個(gè)分量的下確界 ( 或最小者 ) 相等，即 )}({i n f)}({s u p0000tvtuiVvviUuu ii????? 時(shí)，參數(shù) ? 所取得的值即是魯棒函數(shù)。顯然，魯棒函數(shù) D 是時(shí)間的函數(shù)，即D D t? ( )。 i i ) 當(dāng)凸集合V H v( , , )? 0固定，而凸集合),( 0uGU ?進(jìn)行擴(kuò)張時(shí)，魯棒函數(shù)的定義改為 : 00000 0 0[ ( , , ) , ( , , ) ] i n f { 0 : s u p { ( ) } i n f { ( ) } , }iiiiv v Vu u UD U G u V H v u t v t f o r s o m e i?? ? ?????? ? ? 魯棒函數(shù)在非概