【導(dǎo)讀】靈活、不存在阻抗匹配問題等優(yōu)點，可以實現(xiàn)模擬濾波器無法實現(xiàn)的特殊濾波功能。濾波器和有限長沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器。實現(xiàn)IIR濾波器的階次較低，所用的存儲單。元較少，效率高，精度高，而且能夠保留一些模擬濾波器的優(yōu)良特性，因此應(yīng)用很廣。中，并且為數(shù)字濾波的研究和應(yīng)用提供了一個直觀、高效、便捷的利器。中的信號處理工具箱使各個領(lǐng)域的研究人員可以直觀方便地進(jìn)行科學(xué)研究與工程應(yīng)用。其主要內(nèi)容概括為：首先對濾波器的原理。何實現(xiàn)進(jìn)行了介紹；重點描述了IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計過程，最后對IIR濾波器進(jìn)行仿真。

　　

【正文】 g10(abs(H)))。 title(39。N=2 頻率響應(yīng) 39。)。 grid on。 xlabel(39。頻率 /Hz39。)。 ylabel(39。振幅 /dB39。)。 subplot(2,1,2)。 plot(f,abs(H))。 grid on。 xlabel(39。頻率 /Hz39。)。 ylabel(39。振幅 /H39。)。 圖 雙線性變換法設(shè)計的 橢圓數(shù)字低通濾波器運行波形 運行結(jié)果： 西北工業(yè)大學(xué)明德學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計論文 30 N=2 bz= az= 可以看出，濾波器的參數(shù)均符合設(shè)計要求，設(shè)計是成功的。同時了解到，橢圓數(shù)字濾波器的 降斜度比較大，通帶和阻帶內(nèi)均為等波紋，同樣的性能指標(biāo)，橢圓 濾波器可以更低的階數(shù)來實現(xiàn)。 切比雪夫（ Chebyshev） 數(shù)字 濾波器的設(shè)計 切比雪夫Ⅰ型濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)的。切比雪夫Ⅱ濾波器在通帶內(nèi)是單調(diào)的，在阻帶內(nèi)是 等波紋的。切比雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅度平方函數(shù)為： )(11)(222cNajjCjH????? ? () 上式結(jié)果是一個正實數(shù)，式 中的 ? 是一個小于 1 的正數(shù)，它與通帶的波紋有關(guān)， ? 越大，波紋越大， c? 為通帶的截止頻率， ()NCx時 N 階切比雪夫多項式，定義為： ? 1))(c o sc o s ( 1))(( 11)( ???? xxN xxN chchN xC ? () 切比雪夫濾波器的傳遞函數(shù)參數(shù)確定： ? ， c? ， N。當(dāng) N 大于或等于 1 時，切比雪夫多項式遞推公式為： )()()( 11 xCxNCxC NNN ?? ?? 切比雪夫濾波器的階數(shù) N 等于通帶內(nèi)等幅波動的次數(shù)，即最大值和最小值的總數(shù)，可由下式確定 (10 1)pA? ??， (10 1)sA? ?? () 西北工業(yè)大學(xué)明德學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計論文 31 其中 ,??均為與衰減有關(guān)的參數(shù)， Ap 為通帶內(nèi)的最大衰減， As 為阻帶內(nèi)的容許衰減，它們的單位為 dB 。 因為濾波器的幅度平方函數(shù)為： 222211)(11)(?? ???????cNajjCjH () 進(jìn)而化簡得到： ()N cjC j ??? ??，又因為 ( / ) 1c? ? ? ，由式 (47)得到： ???????? ? ))/((/j 1 ccN jjNc hchjC ）（ 故濾波器的階數(shù) N 為：)()(11echchN??? ???? () 若要求阻帶截止頻率上的衰減越大，或過渡帶內(nèi)幅度特性越陡，則所需的階數(shù) N 越高。從式 中 可知切比雪夫濾波器的幅度平方函數(shù)也只有極點沒有零點，且只需求出左半平面的極點，所以一旦求出 ? ， c? ， N，就能確定 ()aHs。 利用 MATLAB 設(shè)計切比雪夫濾波器的實例。 A、現(xiàn)在以 MATLAB 的函數(shù) cheblap(語法：［ z,p,k］ =cheblap(n， rp)，其中 n為階數(shù)， rp 為通帶的幅度差， z,p,k 分別代表零點，極點，增益 )為工具設(shè)計切比雪夫Ⅰ濾波器。設(shè)計技術(shù)指標(biāo)為：通帶截止頻率 410 /c rad s?? ，通帶的最大衰減 3pA dB? ，阻帶截止頻率 44 10 /s rad s? ? ? ，阻帶的最小衰減 35sA dB? 。 程序如下： a=10000。b=40000。AP=3。AS=35。 %技術(shù)指標(biāo) T1=sqrt(10^(*AP)1)。 西北工業(yè)大學(xué)明德學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計論文 32 T2=sqrt(10^(*AS)1)。 N=ceil(acosh(T2/T1)/acosh(b/a))。 %求階數(shù) [Z,P,K]=cheb1ap(N,AP)。 %求零、極點，增益 syms rad。 %定義基本符號對象 hs1=K/(i*radP(1))/(i*radP(2))/(i*radP(3))。 hs2=10*log10((abs(hs1))^2)。 ezplot(hs2,[15,15])。 %繪制符號表達(dá)式的二維曲線 grid on。 %畫坐標(biāo)網(wǎng)格線 仿真圖形如圖 44所示： 1 5 1 0 5 0 5 10 15 8 0 7 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 00r a d( 10 l o g ( 20378958691192777514264974195041 /( 324518553658426726783156020576256 abs ( r a d i + 2689731717386215 / 18014398509481984 ( 1017604581116467 i )/ 1125899906842624 )2 abs ( r a d i + 2689731717386215 / 18014398509481984 + ( 1017604581116467 i )/ 1125899906842624 )2 abs ( 2689731717386217 / 9007199254740992 + r a d i )2)))/ l o g ( 10 ) 圖 44 切比雪夫 Ⅰ型帶通 濾波器響應(yīng)曲線 B、 實際上利用 MATLAB的 cheby1 函數(shù)設(shè)計出切比雪夫 I型低通的模擬濾波器，然后采用變換的方法得到數(shù)字的高通、低通、帶通和帶阻濾波器。利用[b,a]=cheby1(n,Rp,Wn,‘ ftype’ )方式設(shè)計出階數(shù)為 n、截止頻率為 Wn、帶通波紋最大衰減為 Rp 的數(shù)字低通濾波器。其中參數(shù) ftype 的形式?jīng)Q定了濾波器的形式，當(dāng)它為‘ high’時得到濾波器為 n 階的、截止頻率為 Wn 的高通濾波器。若 Wn是一個含有兩個元素向量 [w1 w2]，則 cheby1 函數(shù)返回值是階數(shù)為 2n 的帶通濾西北工業(yè)大學(xué)明德學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計論文 33 波器，濾波器的系統(tǒng)函數(shù)有理多項式的系數(shù)，通帶范圍是 w1Ww2。利用 MATLAB 中的 cheby2 設(shè)計各種形式的濾波器的方法和利用 cheby1 設(shè)計濾波器的方法相同，只是 cheby2 設(shè)計出的濾波器在帶阻是等波紋的，在帶通是單調(diào)的；而 cheby1 則恰好相反。 對于采樣頻率為 1000 Hz 的采樣信號，設(shè)計一個階數(shù)為 9 階、截止頻率為 300 Hz 的低通 chebyshevII 數(shù)字濾波器，其中濾波器在帶阻的波紋為 20 db，其設(shè)計程序如下，頻率響應(yīng)如圖 45 程序如下： [b,a]=cheby2(9,20,300/500)。 freqz(b,a,512,1000)。 仿真圖形如圖 ： 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 4 0 0 2 0 00200F r e q u e n c y ( H z )Phase (degrees)0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 8 0 6 0 4 0 2 00F r e q u e n c y ( H z )Magnitude (dB) 圖 切比雪夫 低通 II 數(shù)字濾波器 對于采樣頻率為 1000 Hz 的 采樣信號，設(shè)計一個階數(shù)為 9 階、截止頻率為 300 Hz 的低通 cheby1 數(shù)字濾波器，其中濾波器在帶通的波紋為 20db，其設(shè)計程序如下，頻率響應(yīng)如圖 西北工業(yè)大學(xué)明德學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計論文 34 程序如下： [b,a]=cheby1(9,20,300/500)。 freqz(b,a,512,1000)。 仿真圖形如圖 ： 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 1 0 0 0 5 0 00F r e q u e n c y ( H z )Phase (degrees)0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 00F r e q u e n c y ( H z )Magnitude (dB) 圖 低通 I 數(shù)字濾波器 從仿真圖像可以看出， 所設(shè)計的濾波器技術(shù)指標(biāo)都基本達(dá)到要求，濾波器的設(shè)計是成功的。 IIR 數(shù)字濾波器的直接設(shè)計法 除 了典型設(shè)計以外， MATLAB 信號處理工具箱提供了幾個直接設(shè)計 IIR 數(shù)字濾波器的函數(shù)，直接調(diào)用就可以設(shè)計濾波器，這為設(shè)計通用濾波器提供了方便。主要 有以下幾種方法 ： 這種方法也稱為零極點累試法。在確定零極點位置時要注意： 西北工業(yè)大學(xué)明德學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計論文 35 (1)極點必須位于 z 平面單位圓內(nèi)，保證數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定； (2)復(fù)數(shù)零極點必須共軛成對，保證系統(tǒng)函數(shù)有理式的系數(shù)是實的。 IIR 數(shù)字濾波器 計 IIR 數(shù)字濾波器 設(shè)計 Butterworth 濾波器用函數(shù) butter()，可 以設(shè)計低通、高通、帶通和帶阻的數(shù)字和模擬濾波器，其特性是通帶內(nèi)的幅度響應(yīng)最大限度的平滑，但損失了截止頻率處的下降斜度。 設(shè)計 Chebyshev I 型濾波器用函數(shù) chebyl()?？梢栽O(shè)計低通、高通、帶通和帶阻的數(shù)字和模擬 Chebyshev I 型濾波器，其通帶內(nèi)為等波紋，阻帶內(nèi)為單調(diào)。Chebyshev I 型濾波器的下降斜度比 II 型大，但其代價目是通帶內(nèi)波紋較大。 設(shè)計 Chebyshev II 型濾波器用函數(shù) cheby2()。可以設(shè)計低通、高通、帶通和帶阻的數(shù)字和模擬 Chebyshev II 型濾波器，其通帶內(nèi)為 單調(diào)，阻帶內(nèi)等波紋。Chebyshev II 型濾波器的下降斜度比 I型小，但其阻帶內(nèi)波紋較大。 設(shè)計橢圓濾波器用函數(shù) ellip()，與 chebyl, cheby2 類似，可以設(shè)計低通、高通、帶通和帶阻的數(shù)字和模擬濾波器。與 Butterworth 和 chebyshev 濾波器相比， ellip 函數(shù)可以得到下降斜度更大的濾波器，得通帶和阻帶均為等波紋。一般情況下，橢圓濾波器能以最低的階實現(xiàn)指定的性能指標(biāo)。 在使用各類濾波器函數(shù)時應(yīng)當(dāng)注意以下重點 : (1)、階數(shù)和固有頻率的選擇 :[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)可得到符合要求性質(zhì)的濾波器的最小階數(shù) N 以及數(shù)字 Butterworth 濾波器的固有頻率 Wn(即3dB )。設(shè)計的要求是在通帶內(nèi)的衰減不超過 Rp,在阻帶內(nèi)的衰減不小于 Rs，通帶和阻帶有截止頻率分別是 Wp, Ws,它們是歸一化的頻率，范圍是 [0, 1]，對應(yīng)π弧度。 (2)、有關(guān)濾波器設(shè)計當(dāng)中的頻率歸一化問題 :信號處理工具箱中經(jīng)常使用的頻率是 Nyquist 頻率，它被定義為采樣頻率的一半，在濾波器的階數(shù)選擇和設(shè)計中的截止頻率均使用 Nyquist 頻率進(jìn)行歸一化處理。例如對于一個采樣頻率為1000 Hz 的系 統(tǒng)， 400Hz 的歸一化即為 400/500=。歸一化頻率的范圍在 [0, 1]之間。如果要將歸一化頻率轉(zhuǎn)換為角頻率，則將歸一化頻率乘以π 。如果要將歸西北工業(yè)大學(xué)明德學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計論文 36 一化頻率轉(zhuǎn)換為 Hz,則將歸一化頻率乘以采樣頻率的一半。 (3)、設(shè)計一個 N 階的低通 Butterworth 濾波器使用函數(shù) [B,A]=butter(N, Wn)，返回濾波器系數(shù)矩陣 [B,A]。其中固有頻率 Wn 必須是歸一化頻率。它的最大值是采樣頻率的一半。 Fs 缺省時默認(rèn)為 2Hz。如果 Wn=[Wl,W2]是一個兩元素的向量，則函數(shù)將設(shè)計出一個 2N 階的帶通濾波器，通帶為 [W1,W2]。 設(shè)計 Chebyshev I 型和 Chebyshev II 型數(shù)字低通濾波器，要求通帶邊界頻率 fp=，通帶最大衰減 Rp=；阻帶邊界頻率 fs=8kHZ，阻帶最小衰減Rs=30dB,采樣頻率為 Fs=20kHZ。 Chebyshev I 型的 M程序如下： Fs=20200。