【正文】 —— 求解靜電（磁）場問題，就是在給定的邊界條件下，求解泊松方程；交變情況下，求解電（磁）場問題，就是在給定的邊界條件下，求解亥姆霍茲方程組。求解時，都使用分離變量法，寫出通解形式，根據(jù)邊界條件確定待定系數(shù)。不同之處在于 ——216。 亥姆霍茲方程組中的所求解量是場量 E、 B而非勢，這是因為交變情況下，不再有定義勢的條件（麥克斯韋方程）存在。216。 靜電（磁）場問題只要滿足唯一性定理中的條件，其解就是唯一的；而交變情況下，波導等封閉的有界空間中的電磁波卻有許多不同的模式。216。 泊松方程實際也是一組，即亥姆霍茲方程組與泊松方程組的比較 *推導波導管、諧振腔等類似的導行電磁波所用的邊界關(guān)系： 對理想導體為邊界的面上，有 Et =0， ?En /?n ＝ 0。利用此邊界關(guān)系推導出初步解后，再利用 ?E=0 （不包括表面）得到 Ex、 Ey、 Ez的振幅之間的關(guān)系。波數(shù)之間必滿足 ——亥姆霍茲方程組的 (a’)(b’)與泊松方程組的 (a)(b)分別對應， (c’)沒有對應是因為靜電磁場是分離的，彼此無關(guān)。推導波導管、諧振腔等類似的導行電磁波所用的一般步驟 ：推導諧振腔時所用的步驟即為一般步驟 ——1) 寫出亥姆霍茲方程組2) 寫出邊值關(guān)系，即 對理想導體為邊界的面上，有Et =0， ?En /?n ＝ 03) 寫出電磁波嘗試解的形式。若有兩端均未堵住，則場量關(guān)于此空間坐標的函數(shù)形式為行波形式；若有一端堵住，則為駐波形式。時間部分均為 exp(i?t)。4) 一般情況下，總可以用分離變量法求解，除行波形式外的為駐波形式，其分量方程是振動方程。實際上，推導諧振腔時所用的步驟即為推導其他情況下 導行電磁波 一般步驟 —— 電磁波的嘗試解總可寫作注：o 本 PPT中推導波導電磁波時，由于 z坐標的函數(shù)形式為已知，即寫為行波函數(shù)，所以我們看到推導時可不用 邊界條件 ?En /?n ＝ 0。 而若用上述過程來推導波導電磁波，則 z坐標的函數(shù)形式仍是未知，所以推導時必須用到 ?En /?n ＝ 0的邊界條件。o 推導過程中，為得到振動方程，在分量亥姆霍茲方程兩邊同除以 ui=Xi(x)Yi(y)Zi(z)，這就 意味著 ui不能為 0，也即 Ei不能為 0。但實際上我們在解的過程中允許某個 Ei可以為 0，這是因為 Ei可為 0的原因是某個 ki為 0，如在波導中 kx ?0， ky=0使得 Ex中的關(guān)于 y的函數(shù) Y1=sin(kyy)為 0，這時這時左邊的振動方程仍是有效的。但 ki都不為 0時， 不允許 Ei為 0，也即不允許 Ei的振幅為 0，因振幅為 0導致的 ui為 0，不能推出振動方程。 波導等封閉的有界空間中的電磁波的求解問題，不同于第 3節(jié)中絕緣介質(zhì)界面或絕緣介質(zhì) 導電媒質(zhì)界面反射、折射問題，前者是封閉（諧振腔）或部分封閉（波導）空間，其中的電磁波模式是未知的；后者是無限空間，無論是反射波還是折射波，都是在無限大的介質(zhì)、媒質(zhì)中傳播，不存在有限區(qū)域，都是平面波，自然滿足 亥姆霍茲方程組的 (a’)(b’)。 實際上，波導等封閉的有界空間中的電磁波，以及第 3節(jié)中反射、折射問題中絕緣介質(zhì) 1中的電磁波，都應是 入射波和反射波疊加形成的合成波 —— 波導等封閉的有界空間中 入射波和反射波疊加形成的合成波是駐波（沿封閉方向）； 第 3節(jié)中絕緣介質(zhì) 1中 入射波和反射波疊加形成的合成波 是 非均勻 平面波，是TE或 TM波（參見 \EM\Material\電磁場與電磁波 \kejian\電磁場和電磁波教案 A第八章 平面電磁波 P96） 。第 4節(jié) 有界空間的電磁波 無界空間中，電磁波最基本的存在形式為平面電磁波 ，它的電場和磁場都作橫向振蕩，稱這種波為橫電磁（ TEM）波。 在有導體存在時，由于電磁波與導體相互作用，電磁波主要是在導體以外的空間或絕緣介質(zhì)內(nèi)傳播，只有很小部分的電磁能量才能透人導體淺表層內(nèi)。在理想導體這一極限情形下，電磁波幾乎全被導體反射，進入導體的穿透深度趨于零，即便有電磁波透入，能量也很小，且只限于表層內(nèi)。 因此， 導體表面自然構(gòu)成電磁波存在的邊界 。這一點有廣泛應用，如可用金屬制成波導管 —— 中空金屬管，用來傳輸電磁能量，以及中空的金屬腔 ——用來產(chǎn)生一定頻率的電磁振蕩。諧振腔是中空的金屬腔（如矩形六面體諧振腔等），電磁波在腔內(nèi)以某些特定頻率振蕩，管壁（邊界）制約著管內(nèi)的電磁波形態(tài)；波導是中空的金屬管，管內(nèi)以全反射的方式傳送電磁波。無論是諧振腔內(nèi)產(chǎn)生的電磁波還是波導管內(nèi)傳輸?shù)碾姶挪?，都受到金屬管壁的制約，金屬管壁成為電磁場存在的邊界，因而討論導體界面的邊界條件十分重要。波導和諧振腔問題就是有界空間的電磁波傳播問題，它們屬于電磁場的邊值問題， 在這種情況下，亥姆霍茲方程的解不再是平面波解，也不是完全的TEM波 。本節(jié)主要討論 電磁波在有界空間中的傳播 ，在這里將要解決兩個問題： 第一，波導中的電磁波怎樣分布？是否存在 TEM波？ 第二，頻率多高或者波長多長的電磁波才能在波導中傳播？1. 高頻電磁能量的傳輸1) 在所有情況下，包括恒定電流，能量都是在場中傳播的。但在 低頻情況下，由于場與線路中電荷和電流的關(guān)系比較簡單，因而場在線路中的作用往往可通過線路的一些參數(shù)（電壓、電流、電阻、電容和電感等）表示出來 。在這情況下，我們可用電路方程解決實際問題，而不必直接研究場的分布。2) 近代無線電技術(shù)中，如雷達、電視和定向通訊等，都廣泛地利用到高頻電磁波，因此需要研究高頻電磁能量的傳輸問題。 高頻電磁能量的傳輸與低頻相比有顯著不同的特點 。 在高頻情況下，場的波動性顯著，集中的電容、電感等概念已不能適用，而且整個線路上的電流不再是一個與位置 x無關(guān)的量，而是和電磁場相應地具有波動性質(zhì)；此外，電壓的概念亦失去確切意義 。因此在高頻情況下，電路方程逐漸失效，我們必須直接研究場和線路上的電荷電流相互作用，解出電磁場，然后才能解決電磁能量傳輸問題。2. 理想導體的邊界條件 實際導體雖非理想導體，但銀或銅等金屬導體，透入其內(nèi)而損耗的電磁能量很小，可近似看作理想導體。分析實際問題時，在第一級近似下可先把金屬看作理想導體，求出解來；然后再于第二級近似下，考慮有限的電導率引起的損耗。即： 一般導體問題 = 理想導體（一級近似） + 有限電導率引起的損耗（二級近似）一般介質(zhì)的邊值關(guān)系 :設(shè) ① 為理想導體， ② 為真空或絕緣介質(zhì)，取法線由導體指向介質(zhì)中（與第三節(jié)相反）。則在理想導體中穿透深度趨于 0, 導體內(nèi)部沒有電磁場 ；且對于單色平面波，上述四個式子并不是獨立的，則上述邊值關(guān)系化為：根據(jù)上面兩個等于 0的式子，理想導體界面邊界條件可形象地表述為： 在導體表面上，電場線與界面正交，磁感應線與界面相切 。我們可應用這個規(guī)則來分析邊值問題中的電磁波圖象。電磁波主要在導體以外的空間或介質(zhì)中傳播，那么通常的計算就是由亥姆霍茲方程的解，再加上邊界條件就得到該邊值問題的解，即該問題中可能存在的電磁波模。 實際求解時，先看 ?E=0對邊界電場的限制往往是方便的。在邊界面如上底面，取 x， z軸在面上， y軸沿法線負方向。因整個邊界面上有 E2t =0 ?E2x=E2z=0，則 E2t 對切向的導數(shù)也必為 0，即 ?E2x/?x＝ ?E2z/?z＝ 0； 方程 ?E2=0在靠近邊界上為 ?E2y /? y ＝ 0，即 ?En /?n ＝ 0。其它面也可做類似分析。 (P160例 )上底面3. 矩形波導中的電磁波 所謂 波導，是利用良導體制成的中空管狀傳輸線，是一種傳播電磁能的工具（主要傳輸波長在厘米數(shù)量級的電磁波即微波） ，常見的有矩形和圓柱形波導。 電磁波在波導中只能沿管的軸線方向傳播，這就使波導中的電磁波與無界空間的電磁波在性質(zhì)上有很大的差別，即有界空間中的電磁波不是 TEM波 。為討論問題方便，在此只討論 矩形波導 。1) 設(shè)矩形波導截面邊長 a、 b， z 軸沿波導管軸線方向，且是傳播方向，因而電磁波 應有傳播子 e i( KzZ?t )。由于 波導管中無自由電荷和傳導電流 ，且在一定頻率（定態(tài)） 下，管內(nèi)絕緣介質(zhì)均勻，介電常數(shù) ?和磁導率 ?是常數(shù)，因此 波導內(nèi)電磁波 E、 B應滿足亥姆霍茲方程，以及理想導體邊值關(guān)系 ：abxyz左側(cè)面上底面對上（下）底面有 x、 z軸在面上， y 軸沿法線負（正）方向 ； 對左右（順著 Z正向看）側(cè)面有 y、 z軸在面上， x 軸沿法線負（正）方向。因 邊界上 Et =0，?En /?n ＝ 0， 則有這樣就得到 波導中電磁波滿足的微分方程和邊界條件。2) 波導中的電磁場分布：波導中電磁波沿管的軸向即 z 軸傳播，因而設(shè)電磁波 形式為(1)代入亥姆霍茲方程，得設(shè) ui ( x , y )(i=1,2,3)為電磁場的任一 直角分量 ，它應滿足用分離變量法解微分方程 (2)，即將 代入(2)的分量式當 (4)左邊每一項等于常數(shù)時可使上式成立，即得到 這就是熟知的 振動方程 ，它的一般解為(3)兩邊同除以 ui=Xi(x)Yi(y) 得注：除以 ui意味著 ui不能為 0，也即 Ei不能為 0，至此得到沿 z 軸方向傳播的電磁波電場的三個分量為：這里的 Ai、 Bi、 Ci、 Di、 kx、 ky是 14個待定常數(shù)，要由邊界條件和其它物理條件來確定。i. 當 y = 0時， Ex=0，即對任意的 x、 z均成立，則必要求?D1=0當 y = b時， Ex=0，即對任意的 x、 z均成立，則注： C1?0，因為若 C D1同時為 0，則 Ex振幅恒為 0，這種情況無討論意義。ii. 當 x = 0時， Ey= 0， ?B2=0； 當 x = a時， Ey= 0，則同上可分析 Ey注： A2 ?0。iii. 當 x = 0時， Ez= 0，?B3=0； 當 y = 0時， Ez= 0， ?D3=0注： x = a時 Ez= 0及 y = b時 Ez= 0同樣可推出 B3=0、 D3=0iv. 確定剩余的 5個待定常數(shù) —— 由?E=0對上述條件下面可分以下情況討論：1） kx 、 ky 均不為 0?要使上式對任意 (x,y)都成立，充要條件是它們的系數(shù)分別為零，故有注： ? ?2均不為能為 0，一是討論這種為 0的振幅無意義；二是若它們之一為 0，設(shè) ?1=0， 將其代入 Ex 、 Ey 、 Ez，會發(fā)現(xiàn) Ex =0， Ey? ? Ez ? ?2，在 kx 、 ky 均不為 0的前提下，則有 ?E(??2)=0? ?2=0。2） kx 、 ky 之一為 0：假設(shè) kx ?0， ky=0（即 n=0），則由自然滿足 ?E=0可見 E與傳播方向 Z垂直， H則與傳播方向 Z不垂直 —— TE電磁波 。 假設(shè) kx = 0 （即 m=0）， ky ? 0可得到類似結(jié)論。自然滿足 ?E=03） kx 、 ky 同時為 0：即 m=n=0，則由所有場量為 0，無意義， 因此不允許 kx 、 ky 同時為 0，即 m、 n不能同時 0。4. 橫電波（ TE）和橫磁波（ TM）經(jīng)過以上推導發(fā)現(xiàn)電場 Ex、 Ey、 Ez和磁場 Hx、 Hy、 Hz 中只有兩個 獨立常數(shù) ?1 、 ?2 。對于一定的（ m , n)， 如果選一種波模具有 Ez=0，則有對于 kx 、 ky 之一為 0，即 m、 n之一為 0的情況 (ii)，我們已知 此時必有 Hz?0；對于 kx 、 ky 均不為 0的情況 (i)，將代入 Hz表達式 ——即 Ez=0必有 Hz?0—— TE電磁波此時即 Hz =0必有 Ez ?0 —— TM電磁波Hz=0時注： kx 、 ky 均為 0可使 Hz=0成立，但此時所有場量為 0，無意義。綜上可知，在波導中的電磁波有如下特點：1) 電場和磁場不能同時為橫波；通常選一種波模為 Ez=0(此時Hz?0， m、 n之一可為 0)的波稱為橫電波 (TE)；另一種波模為Hz=0(此時 Ez?0， m、 n均不能為 0)的波稱為橫磁波 (TM)。按(m,n)不同記作 TEmn波和 TMmn波 。 一般在波導中可存在這些波的疊加。2) 根據(jù) E、 H的各分量，若要求 Ez和 Hz同時為零，由于 kx 、 ky 不能同時為 0，則只能 ?1 = ?2 = 0，從而導致整個電磁場為零，所以 波導內(nèi)不可能傳播完全的橫電磁波 TEM。z 實際上， 波導的軸線 Z方向并不是波的真正傳播方向 ， 波導中的電磁波是在管壁上多次反射中曲折前進；這種多次反射波的疊加，在垂直于波導軸線方向成為駐波，而使疊加波沿軸線方向前進 。在波導管橫截面上，場是諧變的。其分布情況直接取決于 m和 n的值，不同的 (m,n)組合對應不同的場結(jié)構(gòu)，我們稱之為不同的 波型或模式 。在實際問題中，我們總是選定一個模式來傳遞電磁波。3) 由可看到，對一定尺寸的矩形波導即 a、 b一定，管內(nèi)絕緣介質(zhì)一定即 ?、 ?一定，并 選定某一模式 TEmn或 TMmn即選定 m、 n，則從上式得出：當則 kz是實數(shù)，