【正文】 B C ? F ? 建立如圖的坐標系。 考慮整體平衡。 ??? Fm ?? ??? F? ?? akaEIF 2???y ? x m ? ?? 在彈性區(qū)段取右段考慮其彎矩 )()( wFxM ?? ?w M x )( wEIFEIMx w ??? ?22dd ?22 kwkw ????其通解 ???? kxBkxAw s inc o s例 圖示結(jié)構(gòu)中， AB 段為剛體，BC 段抗彎剛度為 EI， A處有一螺旋彈簧，其剛度 ，求這個結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定特征方程。 aEI??結(jié)構(gòu)失穩(wěn)形態(tài)如圖。 建立如圖的坐標系。 考慮整體平衡。 ??? Fm ?? ??? F? ?? akaEIF 2???在彈性區(qū)段取右段考慮其彎矩 )()( wFxM ?? ?)( wEIFEIMx w ??? ?22dd ?22 kwkw ????其通解 ???? kxBkxAw s inc o sa F a y x ? w m ? ?? M x a F a y x ? w m ? ?? M x ???? kxBkxAw s inc o s? aw ??)0( ??? 22 akaA ????? ak 2?0)1( 22 ??? ?akA?? ?)0( ?? akBk 2?? 0?? ?kaB??)(aw 0s inc o s ?? kaBkaAA、 B、 ? 有非零解的必要條件 00s inc os10101 22???kakakaak特征方程 0c o t)1( 22 ?? kaak考慮彈性區(qū)的邊界條件 kxBkkxAk c o ss in ????六、非線性問題 物理非線性 幾何非線性 穩(wěn)定問題 分段線性問題 剛性桿穩(wěn)定的臨界荷載 彈性穩(wěn)定的微分方程 非理想壓桿 應力與應變關(guān)系非線性，荷載與變形關(guān)系非線性 穩(wěn)定問題的一般性概念 提示 非理想壓桿的處理方式是利用微分方程的非齊次項或 和非齊次邊界條件尋求微分方程的解答，通過解答的分析尋求臨界荷載。 例 分析有橫向均布荷載的受壓桿的臨界荷載。 F L EI q 建立坐標系， x y qL / 2 F qL / 2 建立彎矩方程： x M w q LxqxxFwxM 2121)()( 2 ??? )(2 22 LxxEIqwkw ?????這是一個非齊次線性微分方程。 數(shù)學工具箱 線性非齊次微分方程的通解等于對應的齊次方程的通解再加上一個滿足非齊次方程的特解。 由于非齊次項為多項式，所以特解可選取同階多項式，其系數(shù)可由待定系數(shù)法確定。 F qL / 2 x y F q qL / 2 x M w ?????? ????? 22 22s inc o s kLxxFqkxBkxAw由邊界條件確定 A 和 B 0)0( ?w 2FkqA ?0)( ?Lw 2ta ns in )c o s1( 22 kLFk qkLFk kLqB ???例 分析有橫向均布荷載的受壓桿的臨界荷載。 建立坐標系， 建立彎矩方程： q LxqxxFwxM 2121)()( 2 ??? )(2 22 LxxEIqwkw ?????這是一個非齊次線性微分方程。 ?????? ????? 22 22s inc o s kLxxFqkxBkxAw由邊界條件確定 A 和 B 0)0( ?w 2FkqA ?0)( ?Lw 2ta ns in )c o s1( 22 kLFk qkLFk kLqB ???例 分析有橫向均布荷載的受壓桿的臨界荷載。 建立坐標系， 建立彎矩方程： q LxqxxFwxM 2121)()( 2 ??? )(2 22 LxxEIqwkw ?????這是一個非齊次線性微分方程。 F qL / 2 x y F q qL / 2 x M w F qL / 2 x y F q qL / 2 x M w 2FkqA ?2ta n2kLFkqB ?kxBkxAw s inc o s ???????? ??? 22 22 kLxxFq?????? ????? )(211s in2ta nc o s)(22 xLxkkxkLkxFkqxw? ? ?????? ?????????? 22m a x 8112s e c2 kLkLFk qLww當 時上式趨于無窮大 , π?kL 故可認為 2 2cr πLEIF ?? L F 例 圖示空心圓柱 E 為已知，如果柱頂位移最多只允許為 ? ， 鋼索的拉緊力最大為多少？ 建立彎矩方程： )()()( ???? eFxFwxM)(22 ?????? ekwkw? ?????? ekxBkxAw s inc o skxBkkxAkw c o ss i n ????? ?由邊界條件確定 A 、 B 和 ? 0)0( ?w eA ??? ?0)0( ?? 0?B??)(Lw ekLA ??c o skLeAc o s?? ?????? ?? 1c o s1kLe?? ?kxkLexw c o s1c o s)( ??L e F Fe Fe y x ? w M x d D e 例 圖示空心圓柱 E 為已知，如果柱頂位移最多只允許為 ? ， 鋼索的拉緊力最大為多少？ 建立彎矩方程： )()()( ???? eFxFwxM)(22 ?????? ekwkw? ?????? ekxBkxAw s inc o skxBkkxAkw c o ss i n ????? ?由邊界條件確定 A 、 B 和 ? 0)0( ?w eA ??? ?0)0( ?? 0?B??)(Lw ekLA ??c o skLeAc o s?? ?????? ?? 1c o s1kLe?? ?kxkLexw c o s1c o s)( ??F Fe y x ? d D e F Fe y x ? ??? eekLc os??? eeLk a r c c o s12EI kF ??sin2FN ??sin2 NF ?)1(π641 44 ??? DI式中 2a r c c o s1s in2 ?????? ?? ?? e eLEI2a r c c o s1 ?????? ?? ?e eLEI??)(m a x Lw? ?kxkLexw c o s1c o s)( ??? ?kLkLe c o s1c o s ??? L N N F d D e 頂端撓度最大允許值為 ? 柱頂端壓力與鋼索拉緊力之間有 六、非線性問題 物理非線性 幾何非線性 穩(wěn)定問題 分段線性問題 剛性桿穩(wěn)定的臨界荷載 彈性穩(wěn)定的微分方程 非理想壓桿 應力與應變關(guān)系非線性，荷載與變形關(guān)系非線性 穩(wěn)定問題的一般性概念 七、能量方法 基礎(chǔ)性概念和基本方法 應變能和外力的功 應變比能 ? 應變能 ? 外力的功 W 桿件的拉壓 圓軸的扭轉(zhuǎn) 梁的彎曲 221 ?E221 ?G221 ?ExEAFLd2102N? xGITL d210 P2?xEIMLd2102?LP ??21 ?m21Pw21 ?m21xxwqLd)(210?應變能和外力的功 應變比能 ? 應變能 ? 外力的功 W 桿件的拉壓 圓軸的扭轉(zhuǎn) 梁的彎曲 221 ?E221 ?G221 ?ExEAFLd2102N? xGITL d210 P2?xEIMLd2102?LP ??21 ?m21Pw21 ?m21xxwqLd)(210?EALF22N?i iiiEALF)(22NP22GILT W = ? R0 ? ? 1 ? 2 例 橫截面如圖的變厚度圓環(huán)的中心線半徑為 R ，壁厚 ? 隨 ? 呈線性變化 （上下對稱），圓環(huán)長度為 L ，兩端轉(zhuǎn)矩為 T ，求橫截面上方位角為 ? 處的切應力，以及兩端面的相對轉(zhuǎn)角 ? 。 ????? π 121 ??? ? ?π0 ?? ???? 2T?薄壁桿件扭轉(zhuǎn)切應力公式 π20R??中線所包圍的面積 壁厚 扭轉(zhuǎn)切應力 ? ?? ??????12120 π2 ??? R T例 橫截面如圖的變厚度圓環(huán)的中心線半徑為 R ，壁厚 ? 隨 ? 呈線性變化 （上下對稱），圓環(huán)長度為 L ，兩端轉(zhuǎn)矩為 T ，求橫截面上方位角為 ? 處的切應力，以及兩端面的相對轉(zhuǎn)角 ? 。 ????? π 121 ??? ? ?π0 ?? ???? 2T?薄壁桿件扭轉(zhuǎn)切應力公式 π20R??中線所包圍的面積 壁厚 扭轉(zhuǎn)切應力 ? ?? ??????12120 π2 ??? R TR0 ? ? 1 ? 2 222282 ????GTG ??應變比能 取微元體積 ??? d)(d 0LRV ?應變能 ?????? d82d 0π0222LRG TVV??? ??????? π 121 ?????? 2T???? d14π0202 ?? GLRT ?????? dπ)( 14 ππ0 112202 ???? GLRT1212202ln)(4 π ????? ?? G LRTπ20R??1212302ln)π(4 ???? ?? GR LTR0 ? ? 1 ? 2 222282 ????GTG ??應變比能 取微元體積 ??? d)(d 0LRV ?應變能 ?????? d82d 0π0222LRG TVV??? ??????? π 121 ?????? 2T???? d14π0202 ?? GLRT ?????? dπ)( 14 ππ0 112202 ???? GLRT1212202ln)(4 π ????? ?? G LRTπ20R??1212302ln)π(4 ???? ?? GR LTR0 ? ? 1 ? 2 ????? π 121 ?????? 2T? π20R??1212302ln)π(4 ????? ?? GR LT外力的功 ?TW 21?由功能關(guān)系 ??W121230ln)π(2 ????? ?? GR TLR0 ? ? 1 ? 2 主要的計算方法 卡氏第二定理 ii P??? ??F ? 卡氏第二定理僅限于線彈性系統(tǒng)。 單位荷載法 xEI MMGI TTEA FFLd1PNN? ?????? ???? ?1 A q A w 單位荷載法可廣泛地應用于各類彈性系統(tǒng)，包括曲桿、變截面桿、非線彈性桿，以及溫度變形等情況。 主要的計算方法 圖乘法 A q A 1 圖乘法僅限于線彈性等截面直桿（梁、軸）及其組合結(jié)構(gòu)。 圖乘法還可用于計算軸力圖和扭矩圖。同時存在軸力、扭矩和彎矩的區(qū)段必須分別計算各種內(nèi)力圖乘。 F ( a ? x ) F x 1 例 如圖的剛度各段的抗彎剛度均為 EI ，球形重物置于最下方橫梁的何處，才不致于沿梁滾動？ a a a F 只有球所在的位置梁的轉(zhuǎn)角為零，才能使球不會滾動。 作相應彎矩圖。 在球所在位置作用一單位力偶矩，并作相應彎矩圖。 axaFxaF )(2)(21 2 ????021 2 ??? F x aFx048 22 ??? aaxxax )324( ??設(shè)球與左端的距離為 x 。 x F 1 ?用能量法求解超靜定問題 用能量法求解簡單超靜定問題的要點： 1) 用多余支反力代替結(jié)構(gòu)中某點的約束以形成靜定基。 2) 在靜定基上用能量法計算解除約束點處由原有荷載和多余支反力所引起的位移。 3) 利用協(xié)調(diào)條件建立關(guān)于多