【正文】 的階數(shù)也增加 。 凡是高于一階的方程統(tǒng)稱為高階方程 ， 相應(yīng)的電路稱為高階電路 。 在這一章里，我們將求出給定變量初始條件和電源的一階電路的響應(yīng)，我們將引出一種直覺(jué)方法去得到相應(yīng)的響應(yīng)，而不必通過(guò)微分方程正式求解。也將提出和解決關(guān)于自然的，強(qiáng)制的，階躍和沖擊響應(yīng)的一些重要問(wèn)題，包括直流穩(wěn)態(tài)和電感，電容的換路定則。 BUPT Press 換路定則及初始值計(jì)算 1 換路定則 我們將電路及參數(shù)發(fā)生變化稱為換路 。 設(shè) t=0發(fā)生換路 ， 為了分析方便 ， 設(shè)想 為換路前的時(shí)刻 ， 為換路后時(shí)刻 。 為了計(jì)算換路后電路的響應(yīng) ， 必須了解儲(chǔ)能元件上電流或電壓換路前后的關(guān)系 。 利用電場(chǎng)能量和磁場(chǎng)能量變化是連續(xù)的 ， 可得出電容上的電壓 （ 或電荷 ） 和電感中的電流 （ 或磁鏈 ） 不能突變的原則 ， 稱為換路定則 。 設(shè) t=0時(shí)發(fā)生換路，有 也就是說(shuō)在換路時(shí)刻，換路前后電容上的電壓和電感中的電流保持不變。 ??0t ?? 0t)0()0( ?? ? CC uu )]0()0([ ?? ? CC qq)0()0( ?? ? LL ii )]0()0([ ?? ? LL ?? BUPT Press 2 初始值計(jì)算 利用換路定則 ， 得到 時(shí)的等效電路 ， 就可以計(jì)算電路中其它電量的初始值 。 ,電容等效為電壓源 ， 其電壓等于 ,電感等效為 電流源 ， 其電流為 。 例 在圖 （ a） 所示的電路中 ， 當(dāng) t=0時(shí) ， 開(kāi)關(guān)由 1倒向 2， 求 和 。 圖 ?? 0t?? 0t )0( ?Cu)0( ?Li(0 )i ? (0 )u ? t = 02 0 0 Ω5 0 0 Ω1 K Ω+1 2 V2 m Hi ( t )+u ( t )( a )iL( 0+)i ( 0+)5 0 0 Ω+u ( 0+)( b ) BUPT Press 解： 時(shí) ， 開(kāi)關(guān)處在 1的位置上 ， 此時(shí)電路是穩(wěn)定的 ， 電感 L中的電流不變 ， 即 ， 電感兩端電壓 ， 電感相當(dāng)于短路 。 電感中電流為： ， 開(kāi)關(guān)倒向 2的位置上 ， 電感等效為電流源 ， 等效電路如圖 (b)所示 。 由換路定則可得： 由此可見(jiàn)切換具有電感回路的電路時(shí) ， 可能產(chǎn)生高電壓 。 這一點(diǎn)對(duì)設(shè)備和人身安全非常重要 。 0t ??/0Ldi dt ? (0 ) 0Lu ? ?12( 0 ) 6 0200Li m A? ??0t ?? (0 )Li ?( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 6 0LLi i i m A???? ? ?( 0 ) ( 0 ) 5 0 0 6 0 5 0 0 3 0u i V??? ? ? ? ? BUPT Press 通過(guò)一個(gè)電阻使電容放電 在圖 （ a）所示的 RC電路中，設(shè)電容兩極板間有電壓差為 ，在 t=0時(shí)刻將開(kāi)關(guān)合上時(shí)，就為電容兩極板間提供一個(gè)電阻通道，存貯的電荷通過(guò)電阻從一個(gè)極板到另一個(gè)極板，形成電流 。電容上的電壓 逐漸地減小到零，這時(shí)電流 也變?yōu)榱?。這一過(guò)程稱為放電過(guò)程。 這種由動(dòng)態(tài)（儲(chǔ)能）元件內(nèi)部已貯的能量在電路中引起的響應(yīng)，稱為零輸入響應(yīng)。 圖 0Viu it=0i +uR(a)u(t)0tV0τ =RC0(b)i(t)tR0 . 36 80VRV0τ =RC(c)0 BUPT Press 時(shí) ， 圖 (a)所示電路中的開(kāi)關(guān)合上 ， 以電容上電壓 為未知變量 ， 可列出 KCL方程： 整理成高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)系數(shù)為１的標(biāo)準(zhǔn)微分方程形式： 這種方程通解為 形式 ， 代入上式得到： 由上式可得： 即 0t? u0du uC dt R??1 0du udt R C??stu Ae?11 ( ) 0s t s t s tsA e A e A s eR C R C? ? ? ?1 0sRC??1sRC?? BUPT Press 由換路定則可知， 時(shí)，電容上的電壓與換路前一樣，即 可求得： t0 (55) t0 (56) 這里 RC稱為電路的時(shí)間常數(shù)，由 (55),(56)式看出，電容器的電壓 和電流 分別以初始值 和 按指數(shù)規(guī)律下降，隨時(shí)間增加，逐漸減小到零，下降的速度由時(shí)間常數(shù) 來(lái)決定。 越大下降得越慢，見(jiàn)圖 (b)和 (c)。由圖可看出 為下降到初始值的 1/e所需要的時(shí)間。 0?t0( ) ( 0)u t u V??00( 0 ) RCu A e A V?? ? ?0()tRCu t V e??0()tRCdu Vi t C edt R?? ? ?u i 0V 0 /VRRC?? ?? BUPT Press 通過(guò)一個(gè)電阻對(duì)電容充電 在 t=0時(shí)刻，將一個(gè)沒(méi)有電荷的電容，通過(guò)一個(gè)電阻接到電壓為 的電池上，如圖 (a)所示。電容上的電壓通過(guò)電阻中流過(guò)的注入電流而逐漸上升到 ，此時(shí)電阻中的電流減小到零。這一過(guò)程稱為電容充電過(guò)程。 由于電路中儲(chǔ)能元件初始狀態(tài)能量為零，也稱為零狀態(tài)響應(yīng)。 圖 0V0Vt=0R+V0i+u(a)0V00u(t)tRC(b)0i(t)tRV0R0 . 3 6 8 0VRC(c) BUPT Press 對(duì)于 t0時(shí)開(kāi)關(guān)已經(jīng)合上，回路的 KVL方程為 。將 代入，整理后將方程變?yōu)? 其全解為 。 其中通解（或稱自然響應(yīng)）為 的形式，由于激勵(lì)函數(shù)為常數(shù)，故特解為 。求出待定系數(shù) A和 U。將 和 代入上式得 0Ri u V??( / )i C d u d t?01 Vdu ud t R C R C??)()()( tututu hp ??RCth Aetu??)(puU?() tRCu t U A e ???)(tuh ()put BUPT Press 當(dāng) ， 得： 當(dāng) ， 得： 將 A,U代回得出其全解： 利用 可得 和 見(jiàn)圖 (b),(c)所示波形。 t?? 0( ) 0u U V? ? ? ? 0UV?0t ?? 0( 0 ) 0u U A V A? ? ? ? ? ?0AV??0( ) (1 )tRCu t V e???()() d u ti t Cdt?0()tRCVi t eR??()ut ()it BUPT Press 通過(guò)一個(gè)電阻使電感中的電流消耗掉 圖 RL電路中 ， 設(shè)在 t=0時(shí)電流為 ， 此時(shí)電感中儲(chǔ)存磁能 ， 在 t0時(shí) ， 電流流過(guò)電阻消耗電感中的能量 ， 隨磁場(chǎng)能量消耗盡 ， 回路中電流 變?yōu)?0。 由 KVL可知電流 應(yīng)滿足 它的解是 ， 代回可得： 初始條件 則 其中 為電路的時(shí)間常數(shù) 。 圖 0Iii 0diR i Ldt??+vRi.sti Ae?RsL??0( 0)i A I?? 00()tR tLi t I e I e ?????LR?? BUPT Press 在電感中建立一個(gè)直流電流 將一個(gè)電感中電流為零的 RL電路，突然接到一個(gè)直流電源上，電感中電流將從零以指數(shù)形式進(jìn)行增長(zhǎng)，時(shí)間常數(shù)為 L/R。按圖(a)所示電路，說(shuō)明求解過(guò)程。 當(dāng) t0時(shí)開(kāi)關(guān)合上，應(yīng)用 KVL列出 方程并求解 通解 ，特解 ， 可得 圖 當(dāng) 時(shí)， 得 t=0+V0i(t)+u(t)L(a).0diR i L Vdt???th Aeti ??)( 0()pVitR?/ 0() t Vi t A eR????0t ?? 0( 0 ) 0ViAR? ? ? ? 0VAR?? BUPT Press 對(duì)于通解 ， 可得 其中 為電路時(shí)間常數(shù) 這樣就可得到電感中電流 和兩端電壓 ，波形畫于圖(b)和 (c)。 0)()( ?? tiLRdt tdi hh//11 ( ) 0ttLRA e A e ARL??????? ? ? ? ?RL??()it ()ut/0( ) ( 1 ) 0R t LVi t e tR?? ? ?/0( ) 0R t Ldiu t L V e tdt?? ? ? BUPT Press 恒定激勵(lì)一階電路的三要素公式 對(duì)于既有外加激勵(lì)又有初始儲(chǔ)能的電路，它的換路響應(yīng)，稱為全響應(yīng)。由疊加原理可認(rèn)為全響應(yīng)是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的疊加。如圖 ， 全響應(yīng)為 圖