【正文】 的階數也增加 。 凡是高于一階的方程統(tǒng)稱為高階方程 ， 相應的電路稱為高階電路 。 在這一章里，我們將求出給定變量初始條件和電源的一階電路的響應，我們將引出一種直覺方法去得到相應的響應，而不必通過微分方程正式求解。也將提出和解決關于自然的，強制的，階躍和沖擊響應的一些重要問題，包括直流穩(wěn)態(tài)和電感，電容的換路定則。 BUPT Press 換路定則及初始值計算 1 換路定則 我們將電路及參數發(fā)生變化稱為換路 。 設 t=0發(fā)生換路 ， 為了分析方便 ， 設想 為換路前的時刻 ， 為換路后時刻 。 為了計算換路后電路的響應 ， 必須了解儲能元件上電流或電壓換路前后的關系 。 利用電場能量和磁場能量變化是連續(xù)的 ， 可得出電容上的電壓 （ 或電荷 ） 和電感中的電流 （ 或磁鏈 ） 不能突變的原則 ， 稱為換路定則 。 設 t=0時發(fā)生換路，有 也就是說在換路時刻，換路前后電容上的電壓和電感中的電流保持不變。 ??0t ?? 0t)0()0( ?? ? CC uu )]0()0([ ?? ? CC qq)0()0( ?? ? LL ii )]0()0([ ?? ? LL ?? BUPT Press 2 初始值計算 利用換路定則 ， 得到 時的等效電路 ， 就可以計算電路中其它電量的初始值 。 ,電容等效為電壓源 ， 其電壓等于 ,電感等效為 電流源 ， 其電流為 。 例 在圖 （ a） 所示的電路中 ， 當 t=0時 ， 開關由 1倒向 2， 求 和 。 圖 ?? 0t?? 0t )0( ?Cu)0( ?Li(0 )i ? (0 )u ? t = 02 0 0 Ω5 0 0 Ω1 K Ω+1 2 V2 m Hi ( t )+u ( t )( a )iL( 0+)i ( 0+)5 0 0 Ω+u ( 0+)( b ) BUPT Press 解： 時 ， 開關處在 1的位置上 ， 此時電路是穩(wěn)定的 ， 電感 L中的電流不變 ， 即 ， 電感兩端電壓 ， 電感相當于短路 。 電感中電流為： ， 開關倒向 2的位置上 ， 電感等效為電流源 ， 等效電路如圖 (b)所示 。 由換路定則可得： 由此可見切換具有電感回路的電路時 ， 可能產生高電壓 。 這一點對設備和人身安全非常重要 。 0t ??/0Ldi dt ? (0 ) 0Lu ? ?12( 0 ) 6 0200Li m A? ??0t ?? (0 )Li ?( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 6 0LLi i i m A???? ? ?( 0 ) ( 0 ) 5 0 0 6 0 5 0 0 3 0u i V??? ? ? ? ? BUPT Press 通過一個電阻使電容放電 在圖 （ a）所示的 RC電路中，設電容兩極板間有電壓差為 ，在 t=0時刻將開關合上時，就為電容兩極板間提供一個電阻通道，存貯的電荷通過電阻從一個極板到另一個極板，形成電流 。電容上的電壓 逐漸地減小到零，這時電流 也變?yōu)榱?。這一過程稱為放電過程。 這種由動態(tài)（儲能）元件內部已貯的能量在電路中引起的響應，稱為零輸入響應。 圖 0Viu it=0i +uR(a)u(t)0tV0τ =RC0(b)i(t)tR0 . 36 80VRV0τ =RC(c)0 BUPT Press 時 ， 圖 (a)所示電路中的開關合上 ， 以電容上電壓 為未知變量 ， 可列出 KCL方程： 整理成高階導數項系數為１的標準微分方程形式： 這種方程通解為 形式 ， 代入上式得到： 由上式可得： 即 0t? u0du uC dt R??1 0du udt R C??stu Ae?11 ( ) 0s t s t s tsA e A e A s eR C R C? ? ? ?1 0sRC??1sRC?? BUPT Press 由換路定則可知， 時，電容上的電壓與換路前一樣，即 可求得： t0 (55) t0 (56) 這里 RC稱為電路的時間常數，由 (55),(56)式看出，電容器的電壓 和電流 分別以初始值 和 按指數規(guī)律下降，隨時間增加，逐漸減小到零，下降的速度由時間常數 來決定。 越大下降得越慢，見圖 (b)和 (c)。由圖可看出 為下降到初始值的 1/e所需要的時間。 0?t0( ) ( 0)u t u V??00( 0 ) RCu A e A V?? ? ?0()tRCu t V e??0()tRCdu Vi t C edt R?? ? ?u i 0V 0 /VRRC?? ?? BUPT Press 通過一個電阻對電容充電 在 t=0時刻，將一個沒有電荷的電容，通過一個電阻接到電壓為 的電池上，如圖 (a)所示。電容上的電壓通過電阻中流過的注入電流而逐漸上升到 ，此時電阻中的電流減小到零。這一過程稱為電容充電過程。 由于電路中儲能元件初始狀態(tài)能量為零，也稱為零狀態(tài)響應。 圖 0V0Vt=0R+V0i+u(a)0V00u(t)tRC(b)0i(t)tRV0R0 . 3 6 8 0VRC(c) BUPT Press 對于 t0時開關已經合上，回路的 KVL方程為 。將 代入，整理后將方程變?yōu)? 其全解為 。 其中通解（或稱自然響應）為 的形式，由于激勵函數為常數，故特解為 。求出待定系數 A和 U。將 和 代入上式得 0Ri u V??( / )i C d u d t?01 Vdu ud t R C R C??)()()( tututu hp ??RCth Aetu??)(puU?() tRCu t U A e ???)(tuh ()put BUPT Press 當 ， 得： 當 ， 得： 將 A,U代回得出其全解： 利用 可得 和 見圖 (b),(c)所示波形。 t?? 0( ) 0u U V? ? ? ? 0UV?0t ?? 0( 0 ) 0u U A V A? ? ? ? ? ?0AV??0( ) (1 )tRCu t V e???()() d u ti t Cdt?0()tRCVi t eR??()ut ()it BUPT Press 通過一個電阻使電感中的電流消耗掉 圖 RL電路中 ， 設在 t=0時電流為 ， 此時電感中儲存磁能 ， 在 t0時 ， 電流流過電阻消耗電感中的能量 ， 隨磁場能量消耗盡 ， 回路中電流 變?yōu)?0。 由 KVL可知電流 應滿足 它的解是 ， 代回可得： 初始條件 則 其中 為電路的時間常數 。 圖 0Iii 0diR i Ldt??+vRi.sti Ae?RsL??0( 0)i A I?? 00()tR tLi t I e I e ?????LR?? BUPT Press 在電感中建立一個直流電流 將一個電感中電流為零的 RL電路，突然接到一個直流電源上，電感中電流將從零以指數形式進行增長，時間常數為 L/R。按圖(a)所示電路，說明求解過程。 當 t0時開關合上，應用 KVL列出 方程并求解 通解 ，特解 ， 可得 圖 當 時， 得 t=0+V0i(t)+u(t)L(a).0diR i L Vdt???th Aeti ??)( 0()pVitR?/ 0() t Vi t A eR????0t ?? 0( 0 ) 0ViAR? ? ? ? 0VAR?? BUPT Press 對于通解 ， 可得 其中 為電路時間常數 這樣就可得到電感中電流 和兩端電壓 ，波形畫于圖(b)和 (c)。 0)()( ?? tiLRdt tdi hh//11 ( ) 0ttLRA e A e ARL??????? ? ? ? ?RL??()it ()ut/0( ) ( 1 ) 0R t LVi t e tR?? ? ?/0( ) 0R t Ldiu t L V e tdt?? ? ? BUPT Press 恒定激勵一階電路的三要素公式 對于既有外加激勵又有初始儲能的電路，它的換路響應，稱為全響應。由疊加原理可認為全響應是零輸入響應和零狀態(tài)響應的疊加。如圖 ， 全響應為 圖