離散數(shù)學(xué)-5-4-群與子群-資料下載頁
2025-08-05 19:48本頁面
【正文】 e1=e。 五、 子群 定義 設(shè) G,*是一個(gè)群， S,*是 G,*的子群，如果 S={e}， 或者 S=G， 則稱 S,*為 G,*的 平凡子群 定理 〈 G， *〉 為一個(gè)群， B為 G的非空子集且 B為有限集，則只須 *在 B上封閉，〈 B， *〉 就是〈 G， *〉 的一個(gè)子群。 證明 : 設(shè) b是 B的任一個(gè)元素。 若 *在 B上封閉，則元素 b2=b*b,b3=b2*b,…都在 B中。 由于 B是有限集，所以必存在正整數(shù) i和 j,不妨假設(shè) ij,使得 bi=bj 即 bi=bi*bji. 這就說明 bji是 G,*中的幺元，且這個(gè)幺元也在子集 B中。 如果 ji1,那么由 bji=b*bji1可知 bji1是 b的逆元，且 bji1 ∈ B。 如果 ji=1,那么由 bi=bi*b可知 b就是幺元，而幺元是以自身為逆元的。 因此， B,*是 G,*的一個(gè)子群。 定理 設(shè) G,Δ 是群， S是 G的非空子集，如果對于 S中的 任意元素a和 b有 aΔ b1∈S ,則 S,Δ 是 G,Δ 的子群。 證明 : 首先證明， G中的幺元 e也是 S中的 幺元 。 任取 S中的元素 a,a∈S ?G,所以 e=aΔ a1∈S 且 aΔ e=eΔ a=a,即 e也是 S中的幺元。 其次證明， S中的每一元素都有 逆元 。 對任一 a∈S, 因?yàn)?e∈S, 所以 eΔ a1∈S 即 a1∈ S。 最后證明， Δ 在 S上是 封閉的 。 對任意的 a,b∈S ， 由上可知 b1 ∈ S 而 b= (b1)1 所以 aΔ b=aΔ (b1)1 ∈S 至于，運(yùn)算 Δ 在 S上的可 結(jié)合性 是保持的。 因此， S,Δ 是 G,Δ 的子群。 本課小結(jié) 群 有限群、無限群 置換 等冪元 子群 作業(yè) 已知： R*是非零實(shí)數(shù)集，在 R*中定義運(yùn)算 ⊙ ， 對任意的 a、 b∈ R*， a⊙ b＝ ab/2 證明： R* ,⊙ 是一個(gè)群。 已知：設(shè) S= R{1}， S上定義運(yùn)算 ?為 ： a ? b=a+b+ab 證明： S， ?是群。
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