高一數(shù)學(xué)必刷題-資料下載頁
2025-08-05 18:22本頁面
【正文】 角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；平面向量及應(yīng)用．分析： （1）當(dāng)x=時，利用cosθ=，即可求向量與的夾角θ；（2）當(dāng)x∈[0，]時，化簡?的表達(dá)式，通過相位的范圍，利用正弦函數(shù)的值域求解其最大值；（3）通過三角變換求出函數(shù)g（x）的表達(dá)式，與g（x）=2sin2x+1對照比較，得到=（s，t），即可求||的最小值．解答： 解：（1）當(dāng)x=時，向量=（cosx，cosx）=（），=（0，sinx）=（0，），?==，，﹣﹣﹣﹣（2分）cosθ===，∴θ=﹣﹣﹣﹣（4分）．（2）?=（sinx，cosx）?（sinx，sinx）=sin2x+sinxcosx===．﹣﹣﹣﹣（6分）∵x∈[0，]，∴2x﹣，∴﹣﹣﹣﹣（8分）．函數(shù)f（x）=（﹣）（+）=（cosx，cosx﹣sinx）?（2sinx，cosx+sinx）=．=2sin（2x+），（3）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移s個長度單位，向上平移t個長度單位（s，t＞0）后得到函數(shù)g（x）的圖象，且g（x）=2sin2x+1，∴2sin2x+1=2sin（2x+﹣2s）+t，t=1，s=+kπ，k∈Z．=（s，t），||=≤=．點(diǎn)評： 本題考查向量的數(shù)量積，兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)圖象的平移變換，向量的模等知識，考查分析問題解決問題的能力．20．（13分）利用已學(xué)知識證明：（1）sinθ+sinφ=2sincos；（2）已知△ABC的外接圓的半徑為2，內(nèi)角A，B，C滿足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，求△ABC的面積．考點(diǎn)： 三角函數(shù)恒等式的證明；三角函數(shù)的和差化積公式． 專題： 三角函數(shù)的求值；解三角形．分析： （1）由于θ=（+），φ=（﹣）即可證明；（2）化簡可得，由已知△ABC的外接圓的半徑為2，即可求△ABC的面積．解答： 解：（1）…（4分）（2）∵ ∴ 由（1）可得∴ …（10分）∵ 已知△ABC的外接圓的半徑為2∴ …（12分）點(diǎn)評： 本題主要考察了三角函數(shù)的和差化積公式的應(yīng)用，三角函數(shù)恒等式的證明，屬于中檔題．21．（14分）已知函數(shù)f（x）=x2+2x，（Ⅰ）若x∈[﹣2，a]，求f（x）的值域；（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)t，當(dāng)x∈[1，m]，f（x+t）≤3x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．考點(diǎn)： 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值；函數(shù)恒成立問題． 專題： 分類討論；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： （Ⅰ）由f（x）的圖象與性質(zhì)，討論a的取值，從而確定f（x）在[﹣2，a]上的增減性，求出f（x）的值域．（Ⅱ）把f（x+t）≤3x轉(zhuǎn)化為（x+t）2+2（x+t）≤3x，即u（x）=x2+（2t﹣1）x+t2+2t，在x∈[1，m]恒小于0問題，考查u（x）的圖象與性質(zhì)，求出m的取值范圍．解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x2+2x的圖象是拋物線，開口向上，對稱軸是x=﹣1，∴當(dāng)﹣2＜a≤﹣1時，f（x）在[﹣2，a]上是減函數(shù)，∴此時f（x）的值域?yàn)椋篬a2+2a，0]；當(dāng)﹣1＜a≤0時，f（x）在[﹣2，a]上先減后增，f（x）max=f（﹣2）=0，f（x）min=f（﹣1）=﹣1，∴此時f（x）的值域?yàn)椋篬﹣1，0]；當(dāng)a＞0時，f（x）在[﹣2，a]上先減后增，∴此時f（x）的值域?yàn)椋篬﹣1，a2+2a]．（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)t，當(dāng)x∈[1，m]，f（x+t）≤3x恒成立，即（x+t）2+2（x+t）≤3x，∴x2+（2t﹣1）x+t2+2t≤0；設(shè)u（x）=x2+（2t﹣1）x+t2+2t，其中x∈[1，m]∵u（x）的圖象是拋物線，開口向上，∴u（x）max=max{u（1），u（m）}；由u（x）≤0恒成立知；化簡得； 令g（t）=t2+2（1+m）t+m2﹣m，則原題轉(zhuǎn)化為存在t∈[﹣4，0]，使得g（t）≤0；即當(dāng)t∈[﹣4，0]時，g（t）min≤0；∵m＞1時，g（t）的對稱軸是t=﹣1﹣m＜﹣2，①當(dāng)﹣1﹣m＜﹣4，即m＞3時，g（t）min=g（﹣4），∴，解得3＜m≤8；②當(dāng)﹣4≤﹣1﹣m＜﹣2，即1＜≤3時，g（t）min=g（﹣1﹣m）=﹣1﹣3m，∴，解得1＜m≤3；綜上，m的取值范圍是（1，8]．解法二，由，∴m≤，即=8，1＜m≤8；即得m的取值范圍（1，8]．點(diǎn)評： 本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題的應(yīng)用，解題時應(yīng)討論對稱軸在區(qū)間內(nèi)？在區(qū)間左側(cè)？區(qū)間右側(cè)？從而確定函數(shù)的最值．15
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