【正文】 設(shè)α1，α2，α3是齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明α1+α2，α2+α3，α1+α3也是該方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系設(shè)非齊次線性方程組Ax=b有解，證明它有唯一解的充要條件是它的導(dǎo)出組Ax=0只有零解設(shè)γ0為非齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)解，η1，η2…ηγ，是其導(dǎo)出組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明γ0，η1，η2…ηγ線性無(wú)關(guān)（提示：用反證法）設(shè)β1=α1，β2=α1+α2……βm=α1+α2…+αm，證明：向量組 α1，α2…αm 與 β1，β2…βm 等價(jià)已知向量組（）：α1，α2，α3；（）：α1，α2，α3，α4,和（Ⅲ）：α1，α2，α3，α5。如果各向量組的秩分別為r(Ⅰ)= r(Ⅱ)=3， r(Ⅲ)=4，證明：向量組α1，α2，α3，α5α4的秩為4答案一、 填空題 0177。1 —1 0 1 3 1 1二、單項(xiàng)選擇題C A A C B C 三、計(jì)算題 x1=2+k1+k2+5k3a =0,b=2時(shí)，秩(A) =秩(195。)=2方程組有無(wú)窮解。 X2=32k12k26k3 X3=k1 (k1 k2 k3∈R) X4= k2 X5=k3 a=3時(shí)，無(wú)解；a=2時(shí)，有無(wú)窮多解，x1=5c, x2=14c, x3=c(c為任意常數(shù))；當(dāng)a ≠2且a≠3時(shí)，有唯一解：x1=1, x2=1a+3, x3=1a+3坐標(biāo)是（1，1，1）且β=α1α2+α3秩為3，α1,α2，α4為一極大無(wú)關(guān)組，α3=3α1+α2+0α4。（答案不唯一） 16 1 5 X= 23 +k1 2 +k2 6 (k1,k2為任意實(shí)數(shù)) 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 + 2k 1 3 (k為任意常數(shù))（答案不唯一） 2 4第四章 矩陣相似對(duì)比角A卷一，填空題（）1， 已知1是矩陣A的特征值，則B=—2A+3E有一個(gè)特征值為2，設(shè)B=PAP，如果A=且則B的關(guān)于的特征向量為 3, 矩陣A=()與B=相似，則x=4，設(shè)三階方陣A的三個(gè)特征值為1，2，3，為A的伴隨矩陣，則=5，設(shè)A=A,，則A的特征值可能為6，已知向量（0,1,1），則與正交的全體向量=二，單項(xiàng)選擇題（）1， 不屬于矩陣的特征向量是A(0,0) B(1,1) C(1,0) D(0,1)2，都是n階矩陣A的特征值，且分別是對(duì)應(yīng)于的特征向量，當(dāng) 時(shí)，x=必是A的特征向量A， B， C， D，3，設(shè)是矩陣A對(duì)應(yīng)特征值的特征向量，則A， A B，A=O時(shí)=0 C，線性相差 D，線性無(wú)關(guān)4，設(shè)A是n階矩陣，C是n階矩陣，且B=，則下列結(jié)論不成立的是A， A與B相似 B，A與B等階 C，A與B有相同的 D，A與B有相同的特征向量5，設(shè)A為3階矩陣，且已知=O，則A必有一特征值為 A， B，— C， D， 6，若二階矩陣A相似于矩陣B=，E為2階單位矩陣，則與矩陣E—A相似的矩陣是 A， B， C， D，（）1， 已知=1是矩陣A=的特征值，求a2設(shè)方陣A=（1） 求A的特征值與特這鞥向量（2） 求可逆矩陣P使PAP為對(duì)角矩陣，B=，若A～B（1） 求x，y（2） 求P使PAP=B=的三個(gè)特征值為4，1，2求a，b，c=（1，R，1）是矩陣A=的逆矩陣A的特征向量，試求常數(shù)取的值，1，1，對(duì)應(yīng)的特征向量為（1,0，1），（1，1,0），（1,0,1）試求矩陣A=（1） 找一正角矩陣Q使QAQ=（2） 求A=1，對(duì)應(yīng)取的特征向量=（0,1,1），求A(）（1）若是正交矩陣A的特征值，則也是A的特征值（3） 正交矩陣如果有實(shí)特征值，則該特征值是1或1，證明AB與BA相似，j行，同時(shí)交第i，j列得矩陣B，證明A與B相似，A的每行元素之和為2，證明A的每行元素之和為8第四章答案一．（1） 2 （2） （3） 0 （4） 36（5） 0和1 （6），二．1，A 2，D（因?yàn)樘卣飨蛄坎荒転榱阆蛄?，所以A，C不對(duì)。選D是因?yàn)閤=仍然為A的特征向量） 3，C 4，D 5，B 6，C（因?yàn)槿鬉～B，則E—A～E—B）三．1．a(chǎn)=1 2. 對(duì)應(yīng)于（）對(duì)應(yīng)于=1的特征向量為（）3．（1）x=0, y =1（3）p=4．a(chǎn)=2 b=—2 c=0 =1或—2 .（1）Q=， （3）A8，A=第五章二次型A卷一、 填空題（3*6=18） 二次型對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)矩陣A= 矩陣A=對(duì)應(yīng)的二次型 二次型的秩為 為正定二次型則k 設(shè)A=，則二次型的規(guī)范型為 設(shè)矩陣A=為正定矩陣，則a的取值范圍是二、 單項(xiàng)選擇題（3*6=18） 若矩陣A與B是合同的，則它們也是（ ）（A）相似 （B）相等 （C）等價(jià) （D）滿(mǎn)秩2設(shè)實(shí)二次型f的矩陣A的秩等于r，且有m個(gè)正特征值，則該二次型的符號(hào)差為（ ）（A）r （B）mr （C）2mr （D）rm實(shí)二次型秩為3，符號(hào)差為1，則f的標(biāo)準(zhǔn)型的秩為（ ）（A） （B）（C） （D）二次型經(jīng)過(guò)正交線性替換x=Qy可化為二次型則關(guān)于矩陣A與B不正確的是（ ）（A）一定合同 （B）一定相似 （C）即相似又合同 （D）既不相似也不合同下列命題中不正確的是（ ）（A）合同矩陣的秩必相等 （B）與對(duì)稱(chēng)矩陣合同的矩陣仍是對(duì)稱(chēng)矩陣（C）都是二次型的矩陣 （D）行列式大于零的矩陣是正定矩陣實(shí)二次型正次二次型的充要條件是（ ）（A）負(fù)慣性指數(shù)全為零 （B）對(duì)任意向量，都有（C） （D）存在n階矩陣P使三、計(jì)算（5*7=35）已知二次型通過(guò)正交變換可化標(biāo)準(zhǔn)型，求a.設(shè)二次型，求正交變換x=Qy，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型.用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫(xiě)出非退化的線性變換.用初等變換法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫(xiě)出非退化的線性變換.判斷下列矩陣是否為正定矩陣（1）(2)(3)在滿(mǎn)足什么條件，二次型是正定的。 設(shè)二次型（1） 求二次型的矩陣.（2） 判定二次型是否正定?四、 證明題 若實(shí)對(duì)稱(chēng)A的秩為r，符號(hào)差為S，求證： 設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣，若對(duì)任意的n 列向量P有，則A=0. 設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣，滿(mǎn)足條件：證明：A是正定矩陣。 設(shè)A為n階實(shí)可逆方陣，證明如果A與A在實(shí)數(shù)域上合同，則n為偶數(shù)。 設(shè)A為實(shí)對(duì)半矩陣，證明當(dāng)正實(shí)數(shù)t充分大時(shí)，tE+AE正定答案：一、填空題 2 利用順序行列式大于0計(jì)算得二、選擇題1—6 CCADDB三、計(jì)算題a= （1）是 （2）不是 （3）是 （1）（2）順序主子式 k=…n 正定四、證明題提示：利用不等式可證 （來(lái)自舊練習(xí)冊(cè)） 提示：A的可能特征值為1,2全大于零故A正定。因?yàn)椋⌒辛惺?，所? 19