江蘇省南京師范大學附屬中學20xx-20xx學年高二國慶自主學習檢測數(shù)學試卷(教師版)-資料下載頁
2025-08-04 17:40本頁面
【正文】 若，則此時直線的斜率為， 則直線與圓相切. 16分xy20．（本題滿分16分）如圖，在平面直角坐標系中，方程為的圓的內(nèi)接四邊形的對角線和互相垂直，且和分別在軸和軸上 .（1）求證：。（2）若四邊形的面積為8，對角線的長為2，且，求的值；（3）設(shè)四邊形的一條邊的中點為，、是否共線，并說明理由.解：（1）證法一：由題意，原點必定在圓內(nèi)，即點代入方程的左邊后的值小于0，于是有，即證.證法二：由題意，不難發(fā)現(xiàn)、兩點分別在軸正負半軸上. 設(shè)兩點坐標分別為 ， ，則有. 對于圓方程，當時，可得，其中方程的兩根分別為點和點的橫坐標，故.（2）不難發(fā)現(xiàn)，對角線互相垂直的四邊形面積，因為，可得.又因為，所以為直角，而因為四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，故. 對于方程所表示的圓，可知，所以.（3）證：設(shè)四邊形四個頂點的坐標分別為，，. 則可得點的坐標為，即.又，且，故要使、三點共線，且對于圓的一般方程，當時可得，其中方程的兩根分別為點和點的橫坐標，于是有.同理，當時，可得，其中方程的兩根分別為點和點的縱坐標，于是有.所以，、必定三點共
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