【正文】 ，不同的方向上的壓力也不一樣，需要對(duì)每個(gè)的壓力張量分量分別計(jì)算。 213( ) ( ) 022dn m u T n qdt ? ? ? ? ? ? ? ? ?q P u E u壓力張量滿足的方程 ? 利用連續(xù)性方程，簡(jiǎn)化消去方程前幾項(xiàng)得 ? 再代入得 ? ?( ) ( )()= ( ) ( )=i j ij i j iji j iji j ijj ijij i ijnm u u P nm u u Ptu u Pnm m n u u Pttdu dPdunm u nm u Pdt dt dt?? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?uuuu()2[ ( ) ( ) ] 0j ij i jk j ikij i ij ijkjl ili j j i ilm j l jlm i l mdu dP u P u Pdunm u nm u Pdt dt dt xP PnqE u nqE u nq u u u u Bm n m n????? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?uq壓力張量滿足的方程 ? 利用牛頓方程 ? 簡(jiǎn)化得 ? 絕熱條件下，成為（利用了連續(xù)性方程） ? 對(duì)于對(duì)角項(xiàng)，有（此式不用愛(ài)因斯坦求和約定） 0i i ki i l m l mkd u Pn m n q E n q u Bd t x??? ? ? ??2 ( ) 0i j jii j i j j k i k i l m j l j l m i l mkkd P uu qP P P P P Bd t x x m ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???uq( ) 0i j i j jij k i k i l m j l j l m i l mkkd P P uud n qP P P P Bd t n d t x x m ????? ? ? ? ? ???3120ii ii iikk kd P P udn Pd t n d t x??? ? ???絕熱各項(xiàng)同性壓力方程 ? 如果壓力張量只有對(duì)角項(xiàng)不為 0，則有 ? 對(duì)于各項(xiàng)同性情況，如果物理問(wèn)題是 D維的（ D=1,2,3），則 ? 這是絕熱條件下的狀態(tài)方程，多方指數(shù) ?對(duì)于 1維問(wèn)題是 3，對(duì)于 2維問(wèn)題是 2，對(duì)于 3維問(wèn)題是 5/3。 11 20ii iii id P udnP d t n d t x?? ? ??( 2 ) 20 ( ) 0 ,D d P D d n d DPnP d t n d t d t D? ????? ? ? ? ?雙絕熱模型的壓力方程 ? 對(duì)于有磁場(chǎng)情況，一般來(lái)說(shuō)，平行磁場(chǎng)方向的壓力與垂直于磁場(chǎng)的壓力不一樣。 ? 假設(shè)只有對(duì)角項(xiàng)壓力不為 0，則 ? 另外，利用單粒子軌道理論中，帶電粒子的磁矩是絕熱不變量的結(jié)果，用垂直方向的熱運(yùn)動(dòng)速度代替粒子的垂直速度，有： 2|| ||5||1 2 3 2 0 ( ) 0d P P PdP d n dP d t P d t n d t d t n????? ? ? ? ? ? ?? ux1 1 || 2 2 3 3,P P P P P ?? ? ?( ) ( ) 0TPddd t B d t n B????雙絕熱模型的壓力方程 ? 綜合雙絕熱模型的兩個(gè)方程，可推出 ? 這個(gè)方程也可以用后面要講到的凍結(jié)方程導(dǎo)出。等離子體凍結(jié)在磁場(chǎng)中時(shí)，它與線元流動(dòng)具有相同的方程： ? 取平行于磁場(chǎng)的方向，得： ( ) ( )ddt n n? ??BB u2||3( ) 0PBdd t n ?||||(ln ) udBd t n x?? ?壓力方程的討論 ? 而 ? 故 ? 與用磁矩是絕熱不變量得到的結(jié)果相同。 ? 如果不是絕熱情況，需要知道熱流，而寫出熱流滿足的方程中，又必然需要引入更高階矩的物理量，以至于將問(wèn)題復(fù)雜化。對(duì)于有熱流情況處理的簡(jiǎn)化辦法是設(shè)置多方指數(shù) ?為合理的數(shù)值來(lái)求解，如 ?=1是等溫過(guò)程。 2|| ||3||112 ( l n ) , ( ) 0d P P Bd B d n dd t n P d t n d t d t n? ? ? ? ?11 20ii iii id P udnP d t n d t x?? ? ??帶電粒子的流體方程組 ? 總結(jié)一下，通過(guò)矩方程的計(jì)算，得到帶電粒子的流體方程組： ? 1. 連續(xù)性方程 ? （守恒型）或牛頓方程 ( ) 0 , 0n d nnnt d t? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? uu()( ) ( ) 0 ,( ) ( )nmn m n qtdn m n q n mdt?? ? ? ? ? ? ?b ? ?b ? bbn?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ??uuu P E u BuP E u B u u帶電粒子的流體方程組 ? 能量方程： ? 絕熱方程 ? 雙絕熱方程（下面三個(gè)中取二個(gè)） ? 這三個(gè)方程依據(jù)具體情況選擇其一。 ? ?213( ) 022dn m u T n qdt ? ? ? ? ? ? ? ? ?q u P E u2( ) 0 ,dDPnd t D? ?? ???2235( ) 0 , ( ) 0 , ( ) 0P B P PPd d dord t n B d t n d t n?? ? ? ?思考題 ? 從矩方程推導(dǎo)出等離子體的受力方程。 ? 從能量方程 和受力方程，導(dǎo)出壓力各向同性時(shí)，絕熱情況下的狀態(tài)方程。 213( ) ( ) 022dn m u T n qdt ? ? ? ? ? ? ? ? ?q P u E u第 5次課 磁流體力學(xué)方程組 ? 將等離子體中的各個(gè)成分寫出的流體方程相加，得到對(duì)等離子體整體描述的磁流體力學(xué)方程組。由于有內(nèi)部作用力，以等離子體質(zhì)心運(yùn)動(dòng)描述多成分等離子體的運(yùn)動(dòng)。 ? 連續(xù)性方程 ： ? 考慮到等離子體是準(zhǔn)中性的，運(yùn)動(dòng)時(shí)，呈顯出整體移動(dòng)的特征，各種成分的速度基本相同。但在有電流存在時(shí)，電子速度會(huì)有所不同，由于電子很輕，電子速度對(duì)整體速度（質(zhì)心速度）的貢獻(xiàn)極小，影響可以忽略。 ( ) 0 , ,m n m nt ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ??u u u磁流體力學(xué)方程組 ? 受力方程： ? 碰撞項(xiàng)由于是等離子體各個(gè)成分內(nèi)部的碰撞，求和之后總動(dòng)量并不隨碰撞改變，因而相互抵消。 ? 如果考慮準(zhǔn)電中性條件，則 ,()[]( ) ( )( ) ( ),qqddtd d m n dnm n mdt dt dtd d dmndt dt dtn q n q? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ????????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ????? ? ?uP j B Euuuu u uu u u uP P j u0q? ?磁流體力學(xué)方程組 ? 能量方程： ? 式中 ?是等離子體中的平均熱運(yùn)動(dòng)速度。 ? 各項(xiàng)同性條件下，可以使用絕熱方程： ? 或有磁場(chǎng)時(shí)的雙絕熱方程： ? ?21( ) 02d udt?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?q u P E j( ) 0d Pdt ?? ? ?23( ) 0 , ( ) 0PBPddd t B d t??? ??電場(chǎng)、磁場(chǎng)、電流 ? 利用麥克斯韋方程組，進(jìn)一步給出磁場(chǎng)： ? 其中的電場(chǎng)的獲得比較復(fù)雜，最簡(jiǎn)單的方法是，假設(shè)等離子體是良導(dǎo)體，內(nèi)部沒(méi)有平行電場(chǎng)，而垂直電場(chǎng)完全是流動(dòng)造成的： ? 從單粒子理論我們知道，這個(gè)電場(chǎng)恰好導(dǎo)致等離子體整體以速度 u流動(dòng)?；蛘哒f(shuō)，坐標(biāo)變換到與等離子體一起運(yùn)動(dòng)時(shí)，就感受不到這個(gè)電場(chǎng)了。 t? ? ?? ??B E? ? ?E u B封閉的磁流體力學(xué)方程組 ? 簡(jiǎn)化的磁流體力學(xué)方程組如下： 0( ) 0( ) 0()1tdPdtdPdtt?????m??? ? ? ??? ?? ? ???? ? ? ??? ? ?uujBBuBjB等離子體的磁流體描述 ? 描述等離子體的物理量，有密度 ?，速度 u，溫度 T（或壓力 p），磁場(chǎng) B（或者為矢勢(shì)或磁標(biāo)勢(shì)），它們均是隨空間和時(shí)間變化的場(chǎng)量。 ? 等離子體作為中性的整體運(yùn)動(dòng)。其中可以有電流存在，電流是由磁場(chǎng)形態(tài)決定的。 ? 磁場(chǎng)力和熱壓力共同對(duì)等離子體整體運(yùn)動(dòng)起作用。 ? 等離子體的運(yùn)動(dòng)也影響磁場(chǎng)變化。 磁壓力和磁張力 ? 磁流體區(qū)別于普通流體的一個(gè)顯著特征是，在磁流體中存在磁場(chǎng)和電流相互作用形成的洛侖茲力。而電流也可以從磁場(chǎng)得到： ? 因此從牛頓方程看 ： ? 從而單位體積的受力除了普通的壓力梯度力之外，磁場(chǎng)的作用力可化為磁壓力梯度力和磁張力。 01m? ? ?jB20 0 01 ( )( ) ( )2dBdt? m m m??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?u B BP B B P I磁壓力 ? 從受力的表達(dá)式中，可知磁壓力為： ? 其表現(xiàn)和普通的熱壓力行為一樣。熱壓力與磁壓力之比稱為 b值，是表征等離子體的磁化程度的重要參量： ? 行星際空間等離子體中的 b值大致是 1左右，此時(shí)，磁場(chǎng)屬于較弱的形態(tài)；日冕中或聚變實(shí)驗(yàn)裝置（如托卡馬克）中， b值的典型數(shù)值是 ，此時(shí)，磁場(chǎng)相對(duì)較強(qiáng)。 202mBPm?022mPPPBmb ??磁張力 ? 受力的另一項(xiàng)為： ? 前一項(xiàng)是磁張力 （其值是磁壓力的 2倍）拉緊磁力線造成的，合力指向曲率中心，大小和磁張力及磁力線曲率成正比，是磁力線彎曲的恢復(fù)力。 ? 磁壓力梯度力不一定垂直于磁場(chǎng)，但總的洛侖茲力一定是垂直于磁場(chǎng)的。而后一項(xiàng)正抵消了磁壓力梯度力的平行分量。 2 2 2 2||0 0 0 0 0() ( ) ( ) ( )22B B B Bm m m m m?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?BB b b b b κ2 0/B m洛侖茲力與電磁張量 ? 另一方面，洛侖茲力可以寫為： ? 其中， T是電磁張量，包括各項(xiàng)同性的磁壓力，以及沿著磁場(chǎng)方向的磁張力。抵消之后，是垂直于磁場(chǎng)的磁壓力，以及沿著磁力線方向的磁張力（其最后的合力為垂直于磁場(chǎng)的恢復(fù)力）。 200200()22BBmmmm??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?BBj B TBBTI磁力線與等離子體一同流動(dòng) ? 磁場(chǎng)的變化方程為： ? 這個(gè)方程可以化為： ? 與流動(dòng)場(chǎng)中的線段所滿足的方程形式相同。說(shuō)明磁力線是凍結(jié)在等離子體中一起流動(dòng)。這也是我們計(jì)算雙絕熱時(shí)所用的方程。 ()t? ? ? ? ??B uB( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )()tddd t d tddt?????? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?BB u u B B uBBB u B u B uBBu磁場(chǎng)凍結(jié)時(shí)磁通不變 ? 在磁通量管中，等離子體質(zhì)量不變，而 ? 與線段元行為相同，說(shuō)明磁通 ?也是不變的。 ? 另一方面，我們也可以直接從方程考察磁通凍結(jié)，在同一塊面積 s上的磁通保持不變： B B S l lVm??? ? ?? ? ??()B B A CBBAACBt d t dttd t t d???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????BB S SB l u u B Su A B C B dl 磁場(chǎng)的擴(kuò)散項(xiàng) ? 當(dāng)