8-線性規(guī)劃0934第二章24退化問(wèn)題-26單純形法的幾何意義=第八次課-資料下載頁(yè)
2025-07-26 06:31本頁(yè)面
【正文】 的內(nèi)點(diǎn) 內(nèi)點(diǎn) 凸集 5x2x1x4x 只能為端點(diǎn) 3x7x6x二維平面中的凸集與極點(diǎn)舉例 極點(diǎn) 有無(wú)數(shù)個(gè)極點(diǎn) 橢圓周上的點(diǎn)都是極點(diǎn) 多邊形 單純形法的幾何意義 一、基本概念 極點(diǎn) (P63) 僅有有限個(gè)極點(diǎn) 沒(méi)有極點(diǎn) 閉橢圓域 開(kāi)圓域 不是極點(diǎn) 第一象限 o xy只有一個(gè)極點(diǎn)，即坐標(biāo)原點(diǎn) 單純形法的幾何意義 一、基本概念 超平面和閉半空間 (1)、 超平面： (2)、 閉半空間 : 集合 H稱(chēng)為 Rn中的超平面，其中 { , }nH x ax x R?? ? ?{ , }nH x a x x R?? ? ? ? { , }nH x a x x R?? ? ? ?集合 H＋ 和 H－ 稱(chēng)為 Rn中的閉半空間，其中 即， H＋ 和 H－ 是由超平面 H所劃分的兩個(gè)閉半空間。 注 : ① 超平面 H 恰為兩個(gè)閉半空間的交集，即 H=H＋ ∩H－ 。 平面中，超平面實(shí)為平面中的直線，而由此超平面所劃分的 兩個(gè)閉半空間實(shí)為兩個(gè)半平面。 三維空間中，超平面就是通常所說(shuō)的平面。 ② 閉半空間是閉凸集 (P69第 2題 )。 ③ 閉半空間的交集是閉凸集 。 閉集 ∩閉集 → 閉集 凸集 ∩凸集 → 凸集 Rn中 有限個(gè) 閉半空間的交集稱(chēng)為多面凸集， 多面凸集的極點(diǎn)又稱(chēng)為頂點(diǎn)。 顯然，多面凸集是閉凸集， 但多面凸集不一定有界。 有界的多面凸集稱(chēng)為凸多面體。 單純形法的幾何意義 一、基本概念 多面凸集和相鄰極點(diǎn) (1)、 多面凸集： (2)、 凸多面體 : (3)、 相鄰極點(diǎn) (P64): 換言之， 多面凸集 K的兩個(gè)極點(diǎn)是 x(1) , x(2)是 相鄰極點(diǎn) 定義 3： 設(shè) K是 Rn中的 多面凸集 ， x(1) , x(2)為 K的兩個(gè)極點(diǎn)， 如果線段 上的任意一點(diǎn)都 不可能是 K中 其他任何線段 的內(nèi)點(diǎn) ，則稱(chēng) x(1)與 x(2)是 K的 相鄰極點(diǎn) 。 (1) (2)xxx(1)≠x(2)且任取 ，若存在 x(3)， x(4) ∈ K，使得 x(0)＝ (1?)x(3)+?x(4) , 0?1，則必有 。 ( 0 ) ( 1 ) ( 2 )x x x?( 3 ) ( 4 ) ( 1 ) ( 2 ),x x x x?2x3x端點(diǎn) 內(nèi)點(diǎn) 只能是其他線段的端點(diǎn) 極點(diǎn) x4 、 x5相鄰， 極點(diǎn) x x4不相鄰 4x6x7x5x1x 單純形法的幾何意義 一、基本概念 多面凸集和凸多面體 例如，在空間 R3中，設(shè)超平面如下： 以下交集表示怎樣的多面凸集？ 問(wèn) ： 以下閉半空間表示什么？ { , }nH x ax x R?? ? ?{ , }nH x a x x R?? ? ? ?{ , }nH x a x x R?? ? ? ?多面凸集 K、 L、 M是否有界？是否有極點(diǎn)？極點(diǎn)有 哪些？相鄰極點(diǎn)是哪些？ T3 ( 0 , 0 , 1 ){ ( , , ) ( , , ) 0 }H x y z x y z??T1 ( 1 , 0 , 0 ){ ( , , ) ( , , ) 0 }H x y z x y z??T2 ( 0 , 1 , 0 ){ ( , , ) ( , , ) 0 }H x y z x y zT4 ( 1 , 1 , 1 ){ ( , , ) ( , , ) 1 }H x y z x y z1 2 3 4, , , ,H H H H? ? ? ?1 2 3 4,H H H? ? ? ?1 2 3K H H H???? 1 2 3 4M H H H H? ? ? ??1 2 3 4L H H H H? ? ? ??2H3Hxyzo1H4H
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