d3-4單調(diào)與凹凸d3-5極值與最值d3-6函數(shù)圖形的描繪d3-7曲率-資料下載頁(yè)
2025-07-24 09:57本頁(yè)面
【正文】 圓與曲率半徑 第七節(jié) 平面曲線的曲率 31/32 高等數(shù)學(xué)（上） NRT0M0xMx xx ?? xyo00( ) ( , ) .( ) ,( , ) ,()f x a by f x MM x yM M s s?設(shè) 在 內(nèi) 具 有 連 續(xù) 導(dǎo) 數(shù)在 曲 線 上 取 基 點(diǎn) 任意 點(diǎn) 并 規(guī) 定 有 向 弧 段的 值 簡(jiǎn) 稱 為 弧 如 下 ：( 1 ) 。x 增 大 的 方 向 為 曲 線 的 正 向0 ,0 。 , 0 .MMss??當(dāng) 的 方 向 與 曲 線 正 向 一 致 時(shí)相 反 時(shí)0( 2 ) ,M M s?( ) .s s x x x?則 , 弧 是 的 函 數(shù) 且 是 的 單 調(diào) 增 加 函 數(shù)21 [ ]d s y d x??? 弧微分公式 32/32 高等數(shù)學(xué)（上） ⑵ 問(wèn)題 :怎樣定量地描述曲線局部彎曲程度？ ⑴ 我們直覺(jué)認(rèn)識(shí) :直線不彎曲 。半徑小的圓彎曲得厲害 ,拋物線在頂點(diǎn)附近彎曲得比遠(yuǎn)離頂點(diǎn)的部分厲害 . 1M3M2??2M 2S?1S?M M?1S?2S?N N???弧段長(zhǎng)度相等 ,轉(zhuǎn)角越大 ,彎曲程度越大 :與轉(zhuǎn)角大小成正比 . 轉(zhuǎn)角相同 ,弧段越短 ,彎曲程度越大 :與弧段長(zhǎng)度成反比 . 1??33/32 高等數(shù)學(xué)（上） ,M s M ?曲 線 上 對(duì) 應(yīng) 于 弧 對(duì) 應(yīng) 于??????s?s )?.M? .MC0My x o .sKMM ???? ?為平均曲率的弧段（ 設(shè)曲線 C是光滑的 , 0M 是 基 點(diǎn) ，定義 : sK s ?????? 0lim曲線 C在點(diǎn) M處的曲率 ,lim0存在的條件下在 dsdss?? ?????.dsdK ?? ,ss??弧34/32 高等數(shù)學(xué)（上） ()y f x?設(shè) 二 階 可 導(dǎo) ，32 2( 1 )yky?????( ) ,( ) ,xtyt????? ??設(shè) ，322 2( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) ]t t t tktt? ? ? ???? ?? ?? ????? ?⑴ 一般函數(shù) ⑵ 參數(shù)方程確定的函數(shù) 35/32 高等數(shù)學(xué)（上） 例 1 明 直 線 的 曲 率 處 處 為例 2 .證 明 圓 上 各 點(diǎn) 處 的 曲 率 等 于 半 徑 的 倒 數(shù) ,且 半 徑 越 小 , 曲 率 越 大36/32 高等數(shù)學(xué)（上） ( ) ( , )( 0) .,1 / . ,( ) ,.y f x M x yK K MDD M K DM??????設(shè) 曲 線 在 點(diǎn) 處 的曲 率 為 在 點(diǎn) 處 的 曲 線的 法 線 上 在 凹 的 一 側(cè) 取 一 點(diǎn)使 以 為 圓 心 為半 徑 作 圓 如 圖 稱 此 圓 為 曲 線 在點(diǎn) 處 的 曲 率 圓D )(xfy?Mk1??D ??? 曲 率 中 心 ， .? ??? 曲 率 半 徑xyo定義
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