第一節(jié)映射與函數(shù)-資料下載頁(yè)
2025-07-20 15:09本頁(yè)面
【正文】 常數(shù)? 稱為 冪函數(shù) , 函數(shù) ?指數(shù)函數(shù) : xay ? 稱為為常數(shù)，且 )1,0( ?? aaa 函數(shù) 指數(shù)函數(shù) . 定義域 是區(qū)間 ，值域?yàn)? ，當(dāng) a1 時(shí)，函數(shù) 單調(diào)增加 ，當(dāng) 0a1 時(shí)，函數(shù) 單調(diào)減少 . )0( ??,)( ???? , 對(duì)于任何實(shí)數(shù) x，總有 ax0，又 a0=1,所以 指數(shù)函數(shù) 的圖形總在 x軸的上方，且通過(guò)點(diǎn) (0,1). y=ax與 y=ax的圖形關(guān)于 y軸對(duì)稱 . 定義域 為 ，圖形總在 x軸的正方向，且通過(guò)點(diǎn) (0,1). 函數(shù) y=logax (a0， )稱為 對(duì)數(shù)函數(shù) ，它是 指數(shù)函數(shù) 的 反函數(shù) . 對(duì)數(shù)函數(shù)： 1?a)0( ??, 科技應(yīng)用中常用以常數(shù) e為底的 對(duì)數(shù)函數(shù) ： y=loge x 稱為 自然對(duì)數(shù)函數(shù) ，簡(jiǎn)記作 y=lnx 若 a1，對(duì)數(shù)函數(shù)logax是 單調(diào)增加 的，在開(kāi)區(qū)間 (0,1)函數(shù)值為負(fù)，而在區(qū)間 內(nèi)函數(shù)值為正 . )1( ??, 若 0a1，對(duì)數(shù)函數(shù)logax是 單調(diào)減少 的，在開(kāi)區(qū)間 (0,1)函數(shù)值為正，而在區(qū)間 內(nèi)函數(shù)值為負(fù) . )1( ??, 指數(shù)函數(shù) y=ax的圖形與 對(duì)數(shù)函數(shù) y=logax的圖形是關(guān)于直線 y=x對(duì)稱 . 三角函數(shù)： 函數(shù) y=sin x稱為 正弦函數(shù) ； 函數(shù) y=cos x稱為 余弦函數(shù) ； 它們的周期為 ,定義域 ,值域[–1,1].sin x為 奇函數(shù) ,cos x為 偶函數(shù) . π 2?T )( ???? ,.1|c o s| ,1|s i n| 它們都是有界函數(shù)， ??? xx? 函數(shù) y=tan x稱為 正切函數(shù) ；函數(shù) y=cot x 稱為余切函數(shù) ； 周期 , 值域 . ),( ????tan x的 定義域 為 ),1,0(2π)12( ????? nnxπ?Tcot x的 定義域 為 ),(π 為整數(shù)nnx ? 正切函數(shù) 和 余切函數(shù) 都是以 為周期的 周期函 ，它們都是 奇函數(shù) . π反三角函數(shù)： 函數(shù) arcsin x 稱為 反正弦函數(shù) ，是 sin x 的 反函數(shù) ； 函數(shù) arccos x 稱為 反余弦函數(shù) ，是 cos x 的 反函數(shù) ； 函數(shù) arccot x 稱為 反余切函數(shù) ，是 cot x 的 反函數(shù) ； 函數(shù) arctan x 稱為 反正切函數(shù) ，是 tan x 的 反函數(shù) ； 四個(gè)反三角函數(shù)的首字母為大寫(xiě)，它們都是多值函數(shù) . ]。1,1[ ,]π,0[ , a r c c o s ???? xyxy 按下列區(qū)間取其一段 , 稱為 主值分支 (單值函數(shù) ), 分別記作： ]。1,1[ ,]2π,2π[ ,a r c s i n ????? xyxy.),( ),π,0( ,a r c c o t ??????? xyxy)。,( ),2π,2π( ,a r c t a n ???????? xyxy 以上這五種函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。 由 常數(shù) 和 基本初等函數(shù) 經(jīng)過(guò)有限的四則運(yùn)算和 有 限次的函數(shù)復(fù)合 步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函 數(shù)， 稱為 初等函數(shù) . 應(yīng)用上常遇到以 e為底的指數(shù)函數(shù) y= 和 y= 所產(chǎn)生的雙曲函數(shù)以及它們的反函數(shù) ——反雙曲函數(shù) . 它們的定義如下： ex ex? 雙曲正弦 的 定義域 為 ；它是 奇函數(shù) ，它的圖形通過(guò)原點(diǎn)且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 .在區(qū)間 內(nèi)它是 單調(diào)增加 的 .當(dāng) x的絕對(duì)值很大時(shí)，它的圖形在第一象限內(nèi)接近于曲線 ；在第三象限內(nèi)接近于曲線 . e21 xy ?e21 xy ???),( ????),( ????雙曲正弦 sh x= , 2eexx ??雙曲余弦 ch x= , 2eexx ?? 雙曲余弦 的 定義域 為 ；它是 偶函數(shù) ，它 的圖形通過(guò)點(diǎn) (0,1)且關(guān)于 y軸對(duì)稱 .在區(qū)間 內(nèi)它 是 單調(diào)減少 的；在區(qū)間 內(nèi)它是 單調(diào)增加 的 . ch 0=1是這函數(shù)的最小值 .當(dāng) x的絕對(duì)值很大時(shí)，它的 圖形在第一象限內(nèi)接近于曲線 ，在第二象限內(nèi) 接近于曲線 . e21 xy ??e21 xy ?),( ????)0,(??),0( ??雙曲正切 th x= = , ee ee xxxx????xxchsh 雙曲正切 的 定義域 為 ，它是 奇函數(shù) ， 它的圖形通過(guò)原點(diǎn)對(duì)稱 .在區(qū)間 內(nèi)它是 單調(diào) 增加 的 .它的圖形夾在 y=1和 y=–1之間；當(dāng) x絕對(duì)值 很大時(shí)，它的圖形在第一象限內(nèi)接近于直線 y=1，而 在第三象限內(nèi)接近于直線 y=–1. ),( ????),( ???? 雙曲函數(shù) y =sh x , y =ch x (x 0) , y= th x 的反函數(shù)依次記為 反雙曲正弦 y=arsh x, 反雙曲余弦 y=arch x, 反雙曲正切 y=arth x. 這些 反雙曲函數(shù) 都可通過(guò)自然對(duì)數(shù)函數(shù)來(lái)表示 . ? 根據(jù)雙曲線的定義，可證下列四個(gè)公式： sh( x+ y)=sh xch y + ch xsh y。 sh( x –y) =sh xch y –ch xsh y。 ch( x+ y) =ch xch y + sh xsh y。 ch( x– y) =ch xch y –sh xsh y。
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