【正文】 —Reynolds應力—湍流粘度 ()式中 —Reynolds熱流 —湍流Prandtl數(shù)當流動為湍流時，有效粘性系數(shù)為： ()式中 —熔體的粘度由上面的假設(shè)，在湍流各向同性的前提下，湍流模型或湍流封閉的任務(wù)可以歸結(jié)為尋求湍流粘度的表達式。（3）湍流封閉模型為了使所要求解的方程組封閉，我們將添加關(guān)于計算湍流粘度μt的新方程。計算μt即建立特定的湍流模型，在計算流體力學中主要有以下幾種模型：(1) 零方程模型該模型是指在不需要微分方程的情況下，應用代數(shù)關(guān)系式把湍流粘性系數(shù)與時均值聯(lián)系在一起的模型。最簡單的零方程模型是常系數(shù)模型。即設(shè)μt為常數(shù)，常用于湍流射流問題中，但在計算流動形式改變的流動時，該模型的計算結(jié)果就不夠明確。普朗特混合長度模型就是零方程模型，即二維坐標系中湍流粘度系數(shù)表示為： ()式中 —混合長度，表示湍流脈動程度該模型對于形式簡單的流動，可得出較精確的結(jié)果。對較復雜的流動(如有回流)就顯得不太適用。(2) 單方程模型該模型是設(shè)想湍流粘性系數(shù)與脈動特性速度及脈動的特性尺度的乘積有關(guān)。普朗特和科爾莫哥淪夫各自提出了計算μt的表達式： ()式中 —湍流脈動的動能也稱湍動能—經(jīng)驗系數(shù)—湍流脈動的長度標尺，不同于普朗特混合長度從湍動能K的定義出發(fā)對瞬時及NS時均方程做一系列的運算，最后可得出關(guān)于K的偏微分方程，其最終張量形式為： ()式()等號左端的第一、第二項為瞬時項、對流項，等號右端的第一、第二、第三項為擴散項、產(chǎn)生項、耗散項。這里的為脈動動能的普朗特數(shù)，工程計算中取。(3) 雙方程模型在單方程模型中，湍流的長度標尺由經(jīng)驗公式給出。而在工程計算中，采用方程計算更為精確，因此工程計算中廣泛采用雙方程模型。把定義為湍流的耗散率，即為： ()標準的雙方程模型為：湍流動能微分方程 ()湍流動能耗散微分方程 ()采用方程則有 ()式()至()中，，,方程模型可以較好地反映流場的脈動性質(zhì)，在很多流動問題的計算準確程度上令人滿意。基于雙輥薄帶連續(xù)鑄軋的實際條件，本文采用模型來計算鑄軋過程中的流場和溫度場。 通用微分方程的離散化使用湍流模型時，湍流流動的基本控制方程可以表達成如下的通用形式，為了描述方便，方程變量用統(tǒng)一表示。 ()式中 —瞬時和對流項系數(shù) —擴散項系數(shù) —源項 。由于各方程的離散化方法相似，所以離散的過程用統(tǒng)一的變量來表示，離散后的方程可以表示為： ()式中 —瞬時項 —對流項 —擴散項 —自由度項 統(tǒng)一方程中的各項的表達式 Components of general equation方程連續(xù)100動量湍流動能 湍流動能耗散率(1)瞬時項表達式瞬時項的一般表達式為： ()式中 —形函數(shù)用集中質(zhì)量法計算時，上式可以改寫為： ()在計算過程中，使用了向后差分法，對于第n時刻，瞬時項為： ()式中下標表示時間步。(2)對流項表達式流場可以理解為流線的集合，速度的方向始終是沿著流線的切線方向，所以對流項可以用流線的速度來表示。在純對流輸運中，流線之間不發(fā)生輸運現(xiàn)象，所有的輸運是沿流線進行，所以對流項可以表示為[37]： ()式中右端項為沿流線進行的曲線積分。在一個單元內(nèi)，沿流線的值是常值，所以對流項可以表示為： ()在一單元內(nèi)，對流項可以表示為： ()式中 —下游節(jié)點—流線與單元上游的交點—從下游節(jié)點到上游交點處的距離(3)擴散項表達式擴散項的表達式為擴散項與形函數(shù)乘積對控制域的積分，表達式為：Diffusion contribution = ()由于式中時的處理方式相同，下面僅就時進行討論。經(jīng)分部積分后得 ()當將節(jié)點的值代入時得這時擴散項可以表示為： ()(4)源項表達式源項的表達式為： () 溫度場計算的基本理論傳熱是由于溫差引起的能量轉(zhuǎn)移。在一種介質(zhì)內(nèi)部或兩種介質(zhì)之間，只要存在溫差，就必然出現(xiàn)傳熱過程。熱量的傳遞有三種基本方式，即熱傳導、熱對流和熱輻射。(1) 熱傳導熱傳導簡稱導熱，它是指直接接觸的物體各部分之間熱量傳遞的現(xiàn)象。導熱現(xiàn)象可發(fā)生在氣體、液體、金屬固體和非金屬固體當中，但它們的導熱機理是不同的。在氣體中，導熱是氣體分子規(guī)則運動時相互碰撞的結(jié)果。在非金屬晶體內(nèi)，熱量是依靠晶格的熱振動波來傳遞，即依靠原子、分子在其平衡位置附近的振動所形成的彈性波來傳遞。在金屬固體中，這種晶格振動波對熱量傳遞只起很小的作用，主要是依靠自由電子的遷移來實現(xiàn)。至于液體的導熱機理，至今還不十分清楚。但近年來的研究結(jié)果表明，液體的導熱機理類似于非金屬晶體，即主要依靠晶格結(jié)構(gòu)振動來傳遞熱量。在鑄軋時的熱傳導過程中，通過鑄軋區(qū)內(nèi)熔體某一截面的熱流密度可用傅立葉定律的數(shù)學表達式來表示，即： ()式中為熱流密度，即單位時間內(nèi)通過單位等溫面積的導熱量；為導熱系數(shù)，它在數(shù)值上等于溫度降低1℃時，單位時間內(nèi)通過等溫面單位面積的熱量，單位是W/(m2℃)；為溫度梯度；負號表示導熱的方向與溫度梯度方向相反，永遠沿著溫度降低的方向。(2) 熱對流熱對流僅能發(fā)生在液流體中，熱量的傳遞與流體的流動密切相關(guān)，并且由于流體中存在著溫度差，故流體中的導熱也必然同時存在。工程上遇到的對流問題，往往不是單純的熱對流方式，而是流體流過物體表面時，依靠導熱和熱對流聯(lián)合作用的熱量傳遞過程，稱為對流換熱過程，亦稱放熱。對流換熱的基本計算式是牛頓冷卻公式，即： ()式中為對流換熱量(W)；為與液體直接接觸的壁面面積(m2)；為壁面與流體間的溫度差(℃)；為比例系數(shù)，稱為對流換熱系數(shù)（或稱放熱系數(shù)），其意義是指：當流體與壁面之間的溫差為1℃時，單位壁面面積每秒鐘所能傳遞的熱量，單位是W/(m2℃)。(3) 熱輻射習慣上，“輻射”常被用來概括電磁波的發(fā)射，電磁波所載運的能量即物體向外輻射的能量稱為輻射能。對于熱輻射來說，受熱物體只要其溫度高于絕對零度，都在不停地向外發(fā)射熱輻射，同時，又在不斷地吸收周圍其他物體發(fā)出的熱輻射。輻熱輻射與熱傳導、熱對流的不同點是：導熱與對流這兩種方式傳遞能量時需借助某種材料介質(zhì)，而熱輻射的傳遞卻無需材料介質(zhì)。實際上，熱輻射傳遞能量在真空中最有效。另外一點是，它在傳播能量的過程中，伴隨有能量形式的轉(zhuǎn)換，即由內(nèi)能轉(zhuǎn)換為輻射能，再轉(zhuǎn)換為內(nèi)能。實驗表明，物體的輻射能力與溫度有關(guān)。1879年，斯蒂芬（Stefen）利用他人的實驗數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)一種稱為黑體的理想物體。1884年，玻爾茲曼（Boltzman）從熱力學原理出發(fā)，給出黑體在單位時間內(nèi)向外發(fā)射的輻射能表達式，即： ()此式為斯蒂芬－玻爾茲曼定律。式中 —輻射熱流量，單位是；—黑體的輻射面積，單位是；—黑體的熱力學溫度，單位是；—Stenfenboltzman常數(shù)，黑體輻射及吸收能力在同溫度物體中是最大的。實際物體的輻射熱流量的計算，可采用斯蒂芬－玻爾茲曼定律的經(jīng)驗修正式，即 ()式中稱為實際物體的表面黑度或發(fā)射率，其值總小于1。在一個任意形狀的導熱體中，任取一個微元體作為控制體，此微元體應滿足能量平衡方程：單位時間內(nèi)進入控制體的能量加上控制體自身在單位時間內(nèi)所釋放的能量，必定等于單位時間內(nèi)離開控制體的能量與控制體內(nèi)貯存能量的變化之和，即 ()進入或離開控制體的能量與，它們僅僅和發(fā)生在控制表面的熱量傳遞過程有關(guān)，其大小正比例于所通過的控制表面的面積。在控制表面處，通常發(fā)生的過程為導熱、對流換熱或輻射換熱等，并引起能量的進入或離去?？刂企w自身所釋放出的能量是其他習慣形式的能量(如化學能)轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮芏a(chǎn)生的。熱能產(chǎn)生項發(fā)生于控制體大內(nèi)部，其大小正比于控制體的容積。在傳熱學中，通常稱為內(nèi)熱源在單位時間里所釋放的熱能，以單位體積在單位時間所釋放的熱能給出，記為，單位是。稱作內(nèi)熱源的發(fā)熱率，或內(nèi)熱源強度。貯存能量變化項，僅和控制體內(nèi)的物質(zhì)所具有的能量的增加或減少有關(guān)。當控制體內(nèi)物質(zhì)的貯存能增加時，反之，在穩(wěn)態(tài)條件下。在許多情況下，需要在物體兩面應用能量守恒方程。對控制表面來說，沒有質(zhì)量，也沒有體積，因此，能量守恒方程式中的能量釋放項和貯存能變化項都不存在了，守恒方程演化為： ()這就是對物體表面的能量平衡方程。這種守恒關(guān)系，在穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)條件下總是成立的。鑄軋中的傳熱，嚴格來說是熱傳導、熱對流和熱輻射同時存在的復雜凝固傳熱問題，基于實際條件，考慮到輻射傳熱特別微弱，可以將其忽略到，故只考慮熱傳導和對流換熱，其微分控制方程如下： ()式中為密度；為比熱；為溫度；為時間；為單位體積熱生成率；為方向上的熱傳導率；為方向上的質(zhì)量傳輸速度。邊界條件是指物體邊界上的溫度特征和換熱情況。常見的邊界條件可以分為三類：(1) 第一類邊界條件第一類邊界條件是物體邊界上的溫度為已知，用公式表示為： ()或 ()式()和()中，為物體邊界，的方向是逆時針方向；為已知壁面的溫度（常數(shù)）；為已知壁面的溫度函數(shù)（隨時間位置而變）。(2) 第二類邊界條件第二類邊界條件是物體邊界上的熱流密度為已知，由于的方向就是邊界面外法線的方向，用公式表示為： ()或 ()式()和()中，為已知熱流密度（常數(shù)）；為已知熱流密度函數(shù)。并且在有限元法計算輸入第二類邊界條件原始數(shù)據(jù)時，凡是熱量從物體向外流出者值都取正號，而熱量向物體流入者都取負號。(3) 第三類邊界條件第三類邊界條件也稱對流邊界條件，它指的是與物體相接觸的流體介質(zhì)的溫度和換熱系數(shù)為已知，用公式表示為： ()式中和可以是常數(shù)，也可以是某種隨時間和位置而變化的函數(shù)。如果和不是常數(shù)，則在數(shù)值計算中經(jīng)常分段取其平均值作為常數(shù)。值得注意的是上式表示熱流自物體向外流出，當熱流自外界流入物體時，上式仍然成立。根據(jù)上述三種邊界條件，考慮到更能與實際情況相符合，本文在計算溫度場時，應用了第一類邊界條件和第三類邊界條件。第3章 鎂合金鑄軋區(qū)溫度場的數(shù)值計算雙輥薄帶鎂合金鑄軋過程中的溫度場及流場的數(shù)值模擬是一個較為復雜的過程，它涉及到流體力學、傳熱學、計算方法、偏微分方程的數(shù)學理論和鑄軋工藝理論等。本文應用ANSYS有限元軟件對鎂合金鑄軋過程中的鑄軋區(qū)進行了數(shù)值模擬。本計算的物理模型主要是鑄軋區(qū)內(nèi)的鎂熔體。在計算過程中為了簡化計算過程，同時保證計算結(jié)果的正確性，作出如下假設(shè)：（1）液態(tài)鎂視為不可壓縮的牛頓流體。（2）忽略鑄軋區(qū)內(nèi)凝固殼對流動的影響。（3）鑄軋輥在工作中不變形，且勻速運動。（4）凝固殼與輥面緊密接觸，輥帶接觸面中完全凝固的部分設(shè)為較小的對流換熱系數(shù)，而其他的部分設(shè)較大的對流換熱系數(shù)。（5）因軋制的塑性變形熱與鎂液本身帶入的熱量相比數(shù)量級很小，將其忽略不計。（6）鑄軋區(qū)的傳熱方式為熱傳導和熱對流，并且在鑄軋過程中對流換熱系數(shù)保持不變，忽略輻射傳熱。本文針對鎂合金鑄軋過程中鑄軋區(qū)的溫度場和流場進行了數(shù)值模擬。所采用的合金為AZ31鎂合金。對于一般的鑄軋機而言，鑄軋輥的寬度要遠大于鑄軋區(qū)的厚度和長度,兩側(cè)的側(cè)封板也可以盡可能減少熱量從側(cè)面的散失，因而可以忽略寬度方向的傳熱，加之為了方便計算，本文只將計算的物理模型（鑄軋區(qū)）簡化為二維。 物理模型Fig. Physical model本文主要研究AZ31鎂合金熔體在鑄軋區(qū)中的溫度場和流場的分布情況。 模型尺寸Fig. Model dimension鑄軋區(qū)中流場的數(shù)值模擬較之溫度場模擬而言，其網(wǎng)格劃分有自己的特定要求，并且流動模型為湍流時，其網(wǎng)格要求比層流流動更加嚴格?？紤]到流場收斂的難度以及計算量，本文選用ANSYS中的四節(jié)點FLUID141流體單元，采用映射網(wǎng)格劃分。 有限元模型Fig. Finite element model本文主要模擬的是鑄軋區(qū)內(nèi)的鎂熔體在不同的澆注溫度，不同的鑄軋速度、不同的輥帶間對流換熱系數(shù)條件下，其溫度場和流場的分布情況。 鑄軋機主要參數(shù)及鑄軋條件Table Main parameters of the rolling mills and castrolling conditions參數(shù)數(shù)值軋輥直徑/m（上輥），（下輥）板帶厚度/ m澆注溫度/℃710，750，800鑄軋速度/ mmin12，3對流換熱系數(shù)/ Wm2℃17000、5000，10000、7000本文對在鑄軋區(qū)中的AZ31鎂合金進行了數(shù)值模擬，： AZ31鎂合金化學成分 Chemical position of AZ31 alloy/%MgAlZnCaFeCuNiSiBal......鑄軋模擬過程所涉及到的物理性能主要是材料的密度、比熱、粘度、導熱系數(shù)。本文主要是研究AZ31鎂合金在鑄軋過程中鑄軋區(qū)的溫度場和流場的分布變化情況。參考文獻[38,39]中AZ31鎂合金的物理性能，并應用插值法計算得到其隨溫度變化的物理性能，～。 AZ31鎂合金不同溫度下的密度Table Densities of AZ31 magnesium alloy in different temperature溫度/℃20100200300400500600700800密度/kgm3178017701756174217281714163715611547 AZ31鎂合金不同溫度下的導熱系數(shù)Table Thermal conductivities of AZ31 magnesium alloy in different temperature溫度/℃20100200300400500566600632700800導熱系數(shù)/Wm1k17787971071171019073757878 AZ31鎂合金不同溫度下的粘度Table Viscosities of AZ31 magnesium alloy in different temperature溫度/℃300400500566586606632680730800粘度/Pas1000100101對于鑄軋區(qū)，存在鎂熔體凝固時相變潛熱的釋放。本文處理相變潛熱的問題時采用等效比熱法，即將潛熱折合成比熱，再與鎂合金的比熱相加作為等效比熱。這樣在計算過程中只需改變比熱而無需考慮潛熱的影響，公式表示為： ()其中，為等效比熱，為鎂合金比熱，單位都是Jkg1K–1；為凝固潛熱，單位是Jkg1；，分別為液相線與固相線溫度，單位是℃。由文獻[40]可知AZ31鎂合金的凝固潛熱為339000Jkg1，液、固相線溫度分別為632℃和566℃。所以計算中采用的修正后的AZ31鎂合金隨溫度變化的比熱，： AZ31鎂合金不同溫度下的比熱Table Specific heats of AZ31 magnesium alloy in different temperature溫度/℃300400500565566600632635700800比熱/Jm1K11148122413001349648665126536116812171293應用ANSYS軟件進行鎂合金鑄軋區(qū)的數(shù)值模擬時，求解域中需要設(shè)置初始條件以及邊界條件。本文對鑄軋區(qū)的物理模型所設(shè)置的初始溫度為澆注溫度（710℃、750℃、800℃）；只在X方向有初始速度且大小與上輥的線速度相同，而在Y方向上的初始速度設(shè)為零；初始壓力也設(shè)為零。在求解時務(wù)必保證施加正確的邊界條件。如果在邊界上沒有施加任何的條件，則所有獨立變量垂直于邊界的導數(shù)都為零。對于本文有限元模型邊界條件的設(shè)定為：在鑄軋區(qū)入口處施加壓力（）邊界條件；同時也在鑄軋區(qū)入口處施加溫度邊界條件，其數(shù)值與澆注溫度相同。在鑄軋區(qū)側(cè)壁上施加靜止壁面邊界條件，即所有方向的速度均為零。在鑄軋區(qū)出口處施加X方向的速度邊界條件，其值為由上輥線速度的值線性增大到下輥線速度的值，而Y方向的速度設(shè)為零。另外在軋輥與鎂熔體的接觸面上施加圓周速度，考慮到軋輥與鎂熔體間的傳熱為對流換熱，忽略輻射傳熱，所以在兩者的接觸面上施加第三類邊界條件，即一定的溫度和對流換熱系數(shù)。該溫度經(jīng)驗性的取300℃；而對流換熱系數(shù)施加方式為：首先在整個接觸面上施加一個恒定的對流換熱系數(shù)進行粗略計算，可得到鑄軋區(qū)凝固終點的大致位置，然后以此凝固終點為界線，在接觸面上完全凝固的部分設(shè)為較小的對流換熱系數(shù)，在液相及兩相區(qū)面上設(shè)較大的對流換熱系數(shù)。本文是用ANSYS模擬熱－流耦合問題，相對于單純的流場、溫度場模擬要復雜一些，所以制定合理的求解策略、施加正確的邊界條件是取得正確結(jié)果的關(guān)鍵。在求解熱－流問題制定求解策略時，最有效的方法取決于流體物性依賴于溫度的程度。本文所模擬的鑄軋區(qū)內(nèi)的情況屬于強迫對流，即流體物性與溫度相關(guān)，為了得到精確的模擬結(jié)果將溫度方程和流動方程同時激活。ANSYS中求解方程的方法有很多種，關(guān)鍵是需要對每個方程進行正確求解器的選擇，下面給出了常用的幾種求解器：(1) 快速、近似的求解器三對角矩陣算法(TDMA)就是一種快速、近似的求解器。實際上我們所遇到的大部分問題，在利用TDMA方法進行求解時都能滿足。(2) 精確求解器主要有共軛殘差法(CR)、預條件共軛殘差法(PCR)和預條件廣義最小殘差法(PGMR)。本計算中速度方程采用TDMA算法來求解，溫度方程采用PGMR算法來求解，壓力方程采用PCR算法來求解。為了使流場計算能夠收斂，ANSYS提供了幾個有助于收斂和求解穩(wěn)定的工具：(1) 松弛因子松弛因子是一個其值介于0和1之間的小數(shù)，它表示舊結(jié)果與附加在舊結(jié)果上以形成新結(jié)果的最近一次計算量之間的變化量。(2) 慣性松弛對某個自由