【正文】 重大工程中的關(guān)鍵力學(xué)問題之一 [51][52]。因此，數(shù)控機(jī)床重要零部件的動(dòng)態(tài)分析，特別是模態(tài)分析顯得尤為重要。模態(tài)分析的兩個(gè)參量固有頻率和振型是機(jī)床結(jié)構(gòu)的兩個(gè)固有特性，分析和預(yù)測(cè)這兩個(gè)特性，對(duì)提高機(jī)床的動(dòng)態(tài)性能具有重要意義。本課題運(yùn)用理論與試驗(yàn)相結(jié)合的方法，針對(duì)研究對(duì)象的固有頻率和振型等參數(shù)進(jìn)行研究，找出模態(tài)薄弱環(huán)節(jié)，提出了優(yōu)化改進(jìn)的方案?？傊芯勘菊n題的意義在于：1. 運(yùn)用理論與試驗(yàn)結(jié)合的方法研究問題，為解決同類問題、結(jié)構(gòu)模態(tài)分析等提供了一種研究方法；2. 解決該產(chǎn)品的模態(tài)參數(shù)的測(cè)定問題。機(jī)床結(jié)構(gòu)都有自己的固有振動(dòng)頻率，設(shè)計(jì)時(shí)使這些固有頻率避開外激振力的頻率可以避免發(fā)生共振，有效的減小振動(dòng)振幅，從而提高機(jī)床的加工精度和加工效率，提高勞動(dòng)生產(chǎn)率。3. 參考機(jī)床部件模態(tài)參數(shù)值，我們可以提供合理的機(jī)床加工轉(zhuǎn)速，控制激振力的頻率，避免加工時(shí)產(chǎn)生共振，影響加工精度。4. 縮短設(shè)計(jì)周期，在最短的時(shí)間內(nèi)設(shè)計(jì)出最優(yōu)的立柱與主軸箱結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案。 課題工作流程圖立柱與主軸箱 CAD 模型的建立立柱有限元模型的建立立柱 ANSYS 理論模態(tài)分析立柱與主軸箱模態(tài)試驗(yàn)比較提出結(jié)論及優(yōu)化方案課題研究的背景有限元基本理論模態(tài)分析基本理論主軸箱有限元模型的建立主軸箱 ANSYS 理論模態(tài)分析布點(diǎn)采樣 頻響函數(shù)計(jì)算陣型校驗(yàn)試驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)分析理論模態(tài)參數(shù)分析第一章 TH6213 數(shù)控鏜銑加工中心關(guān)鍵零部件模態(tài)分析14圖 12 本文工作流程圖FIG. 12 Process flow diagram in this paperTH6213 數(shù)控鏜銑加工中心關(guān)鍵零部件模態(tài)分析 第一章15 本章小結(jié)本章闡述了本課題研究的背景、來源以及國內(nèi)外研究的現(xiàn)狀。提出了課題研究的主 要 方 法 ： 理 論 與 試 驗(yàn) 相 結(jié) 合 的 方 法 。 確 定 了 本 課 題 研 究 的 內(nèi) 容 、 意 義 及 工 作 流 程圖 等 。第二章 TH6213 數(shù)控鏜銑加工中心關(guān)鍵零部件模態(tài)分析16第二章 有限元模態(tài)分析的基本理論 有限元分析的基本理論 有限元分析法概述20 世紀(jì)，隨著電子計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展，應(yīng)運(yùn)而生了一種非常有效的數(shù)值分析方法，即有限元法。50 年代，有限元法先后應(yīng)用于連續(xù)體力學(xué)的領(lǐng)域，飛機(jī)結(jié)構(gòu)的靜、動(dòng)態(tài)性能分析領(lǐng)域中，隨后很快廣泛的應(yīng)用于電磁場(chǎng)、流體力學(xué)以及求解熱傳導(dǎo)等連續(xù)性的問題中 [5355]。有限元法（FEM ）也稱有限元素法，它的基本思想為：將求解域離散成一組有限個(gè)且按一定方式相互連接在一起的單元的組合體，它屬于計(jì)算機(jī)輔助工程（CAE）所用方法中的一種。以前，工程中許多問題是不太容易獲得解析的數(shù)學(xué)解的，為了得到解析解，對(duì)于一些簡單的情況，人們可以做一些合理的假設(shè)和簡化?，F(xiàn)在，針對(duì)邊界條件與材料性質(zhì)較復(fù)雜的問題，工程師可以依靠有限元法這樣一種數(shù)值方法 【56】 ，給出近似的較令人滿意的答案。將物理結(jié)構(gòu)按一定方式分割成大小、類型不同的區(qū)域，這些被分的區(qū)域就叫作單元。作有限元分析時(shí)依據(jù)上述不同單元分析類型，用合理方法推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)每一個(gè)被分割的單元的力的作用方程，然后將所有方程集合成為整個(gè)物理結(jié)構(gòu)的一個(gè)系統(tǒng)方程，最后求出該系統(tǒng)方程組的解。簡單闡述，有限元法就是一種離散化了的數(shù)值分析方法。離散化后的單元和單元之間只通過相互間的節(jié)點(diǎn)聯(lián)系，所有單元上的力和位移都是通過節(jié)點(diǎn)來進(jìn)行計(jì)算的。對(duì)于每個(gè)劃分的單元，需要選取合理的插值函數(shù)，該插值函數(shù)需滿足：子域內(nèi)部與子域的分界面上、子域和外界的分界面上需要滿足的所有條件。接下來將所有劃分的單元的求解方程組合在一起，得到整個(gè)分析結(jié)構(gòu)的整體方程，求解出該整體方程，就得到結(jié)構(gòu)的近似解 [5758]。 有限元分析的一般過程（一）離散化結(jié)構(gòu)所謂離散化結(jié)構(gòu)就是把要分析的結(jié)構(gòu)細(xì)劃成有限多個(gè)細(xì)小單元的集合，相鄰的TH6213 數(shù)控鏜銑加工中心關(guān)鍵零部件模態(tài)分析 第二章17單元之間只有在節(jié)點(diǎn)的地方是有力和位移傳遞的，這樣力學(xué)模型就變成了離散化的模型。所劃分的單元的類型隨著分析結(jié)構(gòu)的形狀與受力情況的不同而有所不同。所劃分的單元的疏密程度也因計(jì)算機(jī)本身的容量、計(jì)算費(fèi)用以及分析精度的要求的不同而不同。一般在單元應(yīng)力比較集中的部位和應(yīng)力變化較為劇烈的部位，單元最好劃分的密一些，并且單元大小需要逐漸過渡。離散化結(jié)構(gòu)的具體內(nèi)容分為以下幾步：（1）原幾何圖形的簡化，確定要分析件的簡圖和模型。為了方便后面的計(jì)算，一般要將初始工程結(jié)構(gòu)的幾何模型簡化。簡化的內(nèi)容有：幾何尺寸、形狀、約束條件以及載荷的情況等。（2）選擇合理的單元類型，將簡化好的模型進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分。為了便于模型的計(jì)算，首先要選擇合理的單元類型。常用的有限元單元類型有梁桿、體、板殼等單元。例如計(jì)算平面應(yīng)力的問題，三角形三節(jié)點(diǎn)單元是最簡單和最常用的單元類型。如果用三角形單元?jiǎng)澐志W(wǎng)格，也就是把模型劃分成了若干個(gè)三角形單元，網(wǎng)格間的交點(diǎn)或者單元間的角點(diǎn)就是節(jié)點(diǎn)。每個(gè)三角形單元都有三個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)在坐標(biāo)軸方向的位移設(shè)為未知量。在平面問題上，每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有兩個(gè)方向上的自由度，所有平面上的節(jié)點(diǎn)都可以設(shè)為鉸鏈，對(duì)于節(jié)點(diǎn)外的載荷可按靜力等效的原則等效作用到節(jié)點(diǎn)上去，讓外載荷也成為節(jié)點(diǎn)上的載荷。任意單元上的節(jié)點(diǎn)必然同時(shí)連接相鄰的單元，只能是相鄰單元的節(jié)點(diǎn)而不能是它的內(nèi)點(diǎn)。這樣把連續(xù)的分析結(jié)構(gòu)件離散成了由有限個(gè)細(xì)小單元和有限個(gè)節(jié)點(diǎn)組合成的等效的集合體。有了這樣的有限元計(jì)算模型，下面就可用處理?xiàng)U系問題的基本思路分析結(jié)構(gòu)單元的特性了。（3）對(duì)結(jié)構(gòu)劃分的節(jié)點(diǎn)與單元進(jìn)行編號(hào)。將分析結(jié)構(gòu)離散化后，需要把所有劃分好的節(jié)點(diǎn)和單元按照一定的順序進(jìn)行排列編號(hào)，方便進(jìn)行下面的計(jì)算。編號(hào)時(shí)要注意所有的單元號(hào)、節(jié)點(diǎn)號(hào)都不能錯(cuò)漏或者重復(fù)，為了讓所求的單元面積不為負(fù)值，必須按照逆時(shí)針的轉(zhuǎn)向編排單元的所有節(jié)點(diǎn)。雖然編號(hào)的次序不會(huì)影響到計(jì)算的結(jié)果，原則上是可以任意編號(hào)的，但為了節(jié)省計(jì)算機(jī)的內(nèi)存，減少計(jì)算的時(shí)間，最好是按照順序相鄰單元號(hào)與節(jié)點(diǎn)號(hào)應(yīng)盡可能的接近。（4）定義單元第二章 TH6213 數(shù)控鏜銑加工中心關(guān)鍵零部件模態(tài)分析18單元和節(jié)點(diǎn)分別編好號(hào)后，接下來就要定義單元了。單元一旦定義好整個(gè)計(jì)算過程中就不允許改變單元。最好把分析模型的單元分為內(nèi)部單元與邊界單元。對(duì)于內(nèi)部單元，其單元節(jié)點(diǎn)的位置是可以任意的；對(duì)于邊界單元，為簡化計(jì)算公式以及格式統(tǒng)一，只允許單元的一條邊界處于分析模型邊界上。彈性問題方面，有很多的單元類型可供進(jìn)行離散化的選擇，根據(jù)模型邊界的幾何形狀、計(jì)算精度以及約束條件的不同，可以選擇合適的單元類型。（二）單元分析單元分析要做的是建立所有單元的節(jié)點(diǎn)位移、節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系式，從而計(jì)算出單元的剛度矩陣，具體步驟分為以下幾點(diǎn)：（1）選擇合理的單元位移函數(shù)在離散化結(jié)構(gòu)完成后，接下來可以對(duì)所劃分的單元進(jìn)行性能分析。根據(jù)不同節(jié)點(diǎn)未知量的差別，如變形、位移和應(yīng)力的不同，可以選擇不同的分析方法，一般有力法、位移法、混合法與雜交法等，其中最常用的是位移法。為了使單元體的應(yīng)力、變形及位移清晰的表達(dá)出，必須對(duì)每個(gè)單元中節(jié)點(diǎn)位移的分布作出一定假設(shè)，即假設(shè)節(jié)點(diǎn)的位移是坐標(biāo)的某種簡單的函數(shù)—位移函數(shù)。選擇合理的位移函數(shù)是進(jìn)行有限元分析的關(guān)鍵一步。進(jìn)行有限元分析時(shí)，我們一般選擇多項(xiàng)式形式的位移函數(shù)，多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)在于進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，如微分和積分較為方便，并且多項(xiàng)式可廣泛應(yīng)用于所有的光滑函數(shù)。根據(jù)已選定的位移函數(shù)，單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移都可以用節(jié)點(diǎn)位移函數(shù)的關(guān)系式表達(dá)，任一點(diǎn)位移矩陣形式為： （21）式中： 為單元內(nèi)任一點(diǎn)位移矩陣； 為形函數(shù)矩陣，它的組成元素是單元位置坐標(biāo)的函數(shù)，反映了單元的位移形態(tài)； 為單元節(jié)點(diǎn)的位移矩陣。（2）分析單元的力學(xué)性能位移函數(shù)選定后，就可以分析單元力學(xué)性能了，主要包含以下三部分內(nèi)容：，即式 21，可導(dǎo)出利用節(jié)點(diǎn)的位移來表達(dá)的單元應(yīng)變關(guān)系式，從而尋求節(jié)點(diǎn)位移和應(yīng)變之間的關(guān)系，如式 22 所示。TH6213 數(shù)控鏜銑加工中心關(guān)鍵零部件模態(tài)分析 第二章19 （2????eB???2）式中： 為單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)變矩陣；??? 為單元的應(yīng)變矩陣。??B，由應(yīng)變方程 22 導(dǎo)出利用各節(jié)點(diǎn)位移來表達(dá)的單元應(yīng)力關(guān)系式，如式 23 所示。 （23）式中： 是單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力矩陣； 是和單元材料有關(guān)的彈性矩陣。，即節(jié)點(diǎn)平衡方程： （24）式中： 是單元?jiǎng)偠染仃?，這個(gè)積分遍及整個(gè)單元的體積；為單元上節(jié)點(diǎn)力的矩陣。（3）計(jì)算單元的等效節(jié)點(diǎn)力彈性體經(jīng)離散化后，假定作用力是從單元的公共邊界上傳遞到另一個(gè)單元上的。這種作用于單元邊界上的表面力和作用在單元上的集中力、體積力等都必需等效到各個(gè)節(jié)點(diǎn)上去，也就是可用等效的節(jié)點(diǎn)力來代替所有單元上的作用力。移置的原理為：單元上的作用力與等效到節(jié)點(diǎn)上的作用力在任意虛位移上所做的功是相等的。（4）結(jié)合所有單元的平衡方程，建立整個(gè)分析結(jié)構(gòu)的平衡方程這個(gè)結(jié)合過程包含以下兩方面的工作：一是結(jié)合所有單元的剛度矩陣得到整個(gè)結(jié)構(gòu)體的剛度矩陣；二是結(jié)合作用在所有單元上的等效節(jié)點(diǎn)力得到矩陣總體的載荷矩陣。一般說來，這樣做是根據(jù)所有相鄰的單元節(jié)點(diǎn)處的位移都相等這一的原理進(jìn)行的。于是便得到用整體的剛度 矩 陣 、 載 荷 陣 列 以 及 結(jié) 構(gòu) 的 節(jié) 點(diǎn) 位 移 列 陣表 達(dá) 的 整 個(gè) 結(jié) 構(gòu) 分 析 體 的 平 衡 方 程 為 ：第二章 TH6213 數(shù)控鏜銑加工中心關(guān)鍵零部件模態(tài)分析20 （25）（5）根據(jù)式 25，求解未知節(jié)點(diǎn)的位移與未知節(jié)點(diǎn)的等效載荷以及整個(gè)結(jié)構(gòu)體的剛度矩陣組成的平衡方程，解出節(jié)點(diǎn)的位移，然后利用式 23 與已求出的節(jié)點(diǎn)的位移來計(jì)算各個(gè)單元的應(yīng)力，最后運(yùn)用式 21 求出單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移矩陣 [5960]。 輔助工程技術(shù)現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢(shì)20 世紀(jì) 50 年代中期，CAE（Computer Aided Engineering）即計(jì)算機(jī)輔助工程開始出現(xiàn)。70 年代初期，真正的 CAE 軟件誕生了。到了 80 年代中期，商品化的通用和專用 CAE 軟件逐步形成。近 40 年來，CAE 技術(shù)取得了巨大的發(fā)展與成就。它結(jié)合迅速發(fā)展中的計(jì)算數(shù)學(xué)、計(jì)算力學(xué)等相關(guān)的工程科學(xué)、工程管理學(xué)與現(xiàn)代計(jì)算技術(shù)，從低效檢驗(yàn)發(fā)展到能高效仿真，從線性靜力求解發(fā)展成為具有非線性分析、動(dòng)力仿真分析、多物理場(chǎng)耦合分析的高級(jí)軟件。CAE 分析技術(shù)一般以工程與科學(xué)問題為分析背景，建立有限元計(jì)算模型并且進(jìn)行模型的仿真分析。CAE 分析技術(shù)大量應(yīng)用于機(jī)床方面。一方面，它通過計(jì)算機(jī)的數(shù)值模擬，讓過去受各種條件限制沒法分析的復(fù)雜機(jī)床問題，得到了合理的解決；另一方面，CAE 分析技術(shù)讓大量復(fù)雜的機(jī)床分析問題簡單化、層次化，大大節(jié)省了分析計(jì)算的時(shí)間，并且避免了低效率的重復(fù)勞動(dòng)，讓機(jī)床工程分析向更快、更準(zhǔn)確的方向發(fā)展。 CAE 現(xiàn)狀CAE 廣泛應(yīng)用于機(jī)床、汽車、航空等行業(yè)中。主要用途表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：CAE 的基礎(chǔ)是有限元法，有限元法在機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和剛度分析方面具有較高的計(jì)算精度，CAE 因此得到普遍采用。如在機(jī)床開發(fā)過程中，分析機(jī)床零部件的剛度與強(qiáng)度，通過分析的數(shù)據(jù)，改進(jìn)結(jié)構(gòu)，從而提高機(jī)床承載能力、抗變形的能力以及減輕機(jī)床自重節(jié)約材料，進(jìn)而使機(jī)床整機(jī)的動(dòng)力性能和經(jīng)濟(jì)性能得到改善。CAE 軟件可用于多種運(yùn)動(dòng)載荷下的動(dòng)力分析與振動(dòng)分析。例如齒輪的接觸應(yīng)力與 彎 曲 應(yīng) 力 的 分 析 以 及 齒 輪 結(jié) 構(gòu) 參 數(shù) 的 優(yōu) 化 等 ， 從 而 提 高 齒 輪 的 承 載 能 力 與 使 用 壽 命 。TH6213 數(shù)控鏜銑加工中心關(guān)鍵零部件模態(tài)分析 第二章21包括熱傳導(dǎo)、熱對(duì)流、熱輻射的分析、相變分析以及熱與力學(xué)結(jié)構(gòu)耦合的分析。如在鑄模、鍛模內(nèi)腔結(jié)構(gòu)里，在高壓與復(fù)雜的熱變形作用下，很可能產(chǎn)生模體和產(chǎn)品局部的開裂。針對(duì)上述熱力問題，CAE 提供解決的辦法和途徑。包括靜態(tài)、動(dòng)態(tài)聲場(chǎng)與噪聲的計(jì)算，用于處理汽車排氣管噪聲的問題，使排氣管的設(shè)計(jì)更加符合環(huán)保的要求。應(yīng)用于機(jī)床的一些較新領(lǐng)域的研究，如機(jī)床模態(tài)試驗(yàn)。運(yùn)用 CAE 可進(jìn)行模擬計(jì)算模態(tài)值，從而節(jié)省一部分昂貴的模態(tài)試驗(yàn)費(fèi)用。6 動(dòng)態(tài)力學(xué)仿真的分析運(yùn)用 CAE 中的多體動(dòng)態(tài)力學(xué)方法可進(jìn)行機(jī)床動(dòng)態(tài)力學(xué)的仿真，在機(jī)床開發(fā)階段就可預(yù)測(cè)出整機(jī)的動(dòng)態(tài)力學(xué)特性。如 今 CAE 分 析 技 術(shù) 已 達(dá) 到 成 熟 階 段 ， CAE 軟 件 已 經(jīng) 成 為 工 程 師 們 設(shè) 計(jì) 創(chuàng) 新 的 有 力助 手 、 有 效 工 具 。 CAE 發(fā)展趨勢(shì)CAE 分析技術(shù)是一種集工程技術(shù)與多門學(xué)科于一體的綜合性分析技術(shù)，它隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展而發(fā)展。目前 CAE 軟件已能夠滿足眾多產(chǎn)品開發(fā)的基本要求，然而它在提高模擬的準(zhǔn)確性、加強(qiáng)使用的適應(yīng)度兩方面面臨著嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。隨著不斷突破的計(jì)算機(jī)硬件技術(shù)、不斷完善的計(jì)算機(jī)軟件開發(fā)環(huán)境以及不斷更新的工程要求，CAE 的這些挑戰(zhàn)更加急迫。為了應(yīng)對(duì)上述的這些挑戰(zhàn)，CAE 將向著以下幾個(gè)方面的趨勢(shì)發(fā)展：（1） 智能化、人性化；CAE