【正文】 余數(shù)定理時(shí)有很大的提高。在書寫本文時(shí)軟件中尚未使用中國(guó)余數(shù)定理。第4章 可移植模塊的簡(jiǎn)要說明與開發(fā)前景，分層設(shè)計(jì)給移植帶來方便，下面簡(jiǎn)要敘述各層可能的移植方式。①實(shí)現(xiàn)RSA加密算法的C++核心類庫，是基于C和C++的標(biāo)準(zhǔn)庫創(chuàng)建的，沒有用到C++泛型計(jì)算、STL相關(guān)內(nèi)容，代碼中沒有任何與操作系統(tǒng)相關(guān)的內(nèi)容。這是一種移植特性最好的程序模塊，因?yàn)楝F(xiàn)今多數(shù)非PC設(shè)備支持C++編譯。一般可以直接將本模塊交叉編譯給嵌入式設(shè)備，或在其他操作系統(tǒng)編譯使用。在編譯前，include 一行去掉，然后連同各自的頭文件拷貝出來，僅這四個(gè)文件即為實(shí)現(xiàn)RSA加密算法的C++類庫代碼。例如，可以將它們?cè)趌inux操作系統(tǒng)用gcc編譯成程序模塊，把RSA加密功能提供給系統(tǒng)上的其他程序使用。②封裝C++核心類庫的DLL組件可以被Windows上的很多開發(fā)環(huán)境引用。例如在VB6，要使用這個(gè)組件，只需在程序最開始以引用win32api的方式引用即可，即public declare function XXX的形式。③。但是由于底層DLL組件的存在，使應(yīng)用局限于PC上的Windows系統(tǒng)。在此層的使用不僅限于窗體應(yīng)用程序，.Net類庫可以由服務(wù)器程序（諸如aspx）方便的引用，以BS（瀏覽器服務(wù)器）的模式提供給網(wǎng)絡(luò)上的用戶使用，所以此應(yīng)用程序可以通過簡(jiǎn)單的修改用于數(shù)字證書和數(shù)字簽名等身份驗(yàn)證系統(tǒng)。，將任意文件加密成文本有其重要的意義。因?yàn)榇藨?yīng)用程序是可以將任意文件加密成文本的，所以加密成的數(shù)據(jù)可以方便的在Internet上傳送。由此想到xml在Internet上攜帶數(shù)據(jù)的應(yīng)用模式。實(shí)際上，此軟件可以通過簡(jiǎn)單的修改實(shí)現(xiàn)將任意文件加密為一定格式的xml文件。通過這種加密方式，可以滿足重要的小應(yīng)用程序等小型二進(jìn)制數(shù)據(jù)在網(wǎng)絡(luò)上安全順利傳輸?shù)囊?。而且，通過加密的數(shù)據(jù)以xml方式傳送，使web應(yīng)用的靈活性更好，此方式甚至可以看作一種通用的小型二進(jìn)制數(shù)據(jù)安全交換協(xié)議來開發(fā)。結(jié)束語RSA應(yīng)用于文件加密適合交流管理小型文件，將任意文件以非對(duì)稱密鑰加密成文本可以對(duì)其更方便的交流和管理，有廣闊的開發(fā)前景。本項(xiàng)目應(yīng)用的設(shè)計(jì)模式兼顧執(zhí)行效率和可復(fù)用性。整個(gè)項(xiàng)目開放源代碼和各種開發(fā)資料，便于引用和繼續(xù)開發(fā)。應(yīng)用本程序可以方便的在公眾論壇等環(huán)境交流要求高度安全的各種數(shù)據(jù)，包括任意二進(jìn)制和文本文件。謝 辭感謝蔣萍花老師的細(xì)心指導(dǎo)和各論壇程序員朋友的支持與建議。參考文獻(xiàn)1．華羅庚，數(shù)論導(dǎo)引，科學(xué)出版社， 1979．2．Montgomery PL， Modular multiplication without trialdivision［J］， Mathematics of Computation， 1985， 44(170)：519521．3．Oh JH，Moon S J， Modular multiplication method［J］， IEE Proceedings：Computers and Digital Tech－niques， 1998， 145(4)：317318．4．施向東 董平，基于RSA算法的一種新的加密核設(shè)計(jì)，微計(jì)算機(jī)信息 2005年第123期 中圖分類號(hào)：TP289文章編號(hào)：10080570(2005)123003903 頁碼3941 5．[AX931] ANSI Digital Signatures using Reversible Public Key Cryptography for the Financial Services Industry (rDSA)， Appendix A， American National Standards Institute， 1998．6．[COCK73] Clifford Cocks. 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A Method for Obtaining Digital Signatures and PublicKey Cryptosystems．Communications of the ACM， 21 (2)， pp. 120126， February 1978．10．陳發(fā)來，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)系 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)——素?cái)?shù) 附 錄本項(xiàng)目源代碼和已編譯程序以及開發(fā)文檔的下載地址由于本軟件代碼量稍大，不方便全部附于本文，所以這里只提供下載地址。本軟件已經(jīng)在各下載站發(fā)布，如果下述連接下載過慢，可以Google搜索RSA Encrypter直接下載。本項(xiàng)目全部源代碼也已經(jīng)在VC代碼庫發(fā)布。編譯好的軟件下載地址：源代碼下載地址：相關(guān)開發(fā)資源站點(diǎn)：(提供各層接口函數(shù)和各類成員函數(shù)文檔)軟件使用幫助：在C使用Windows public class HighResolutionTimer { private long start。 private long stop。 private long frequency。 public HighResolutionTimer() { QueryPerformanceFrequency (ref frequency)。 } public void Start () { QueryPerformanceCounter (ref start)。 } public void Stop () { QueryPerformanceCounter (ref stop)。 } public float ElapsedTime { get { float elapsed = (((float)(stop start)) / ((float) frequency))。 return elapsed。 } } [(, CharSet=)] private static extern bool QueryPerformanceCounter(ref long performanceCount)。 [(, CharSet=)] private static extern bool QueryPerformanceFrequency(ref long frequency)。 }加密解密測(cè)試時(shí)使用的兩組密鑰密鑰位數(shù)并不精確，可能有幾位的差距。512bit私有密鑰（兩行分別為d、n）11C6EBA27BEA0A998C517D522DAE7ADA203F7325576C97853584C9253CD867B0FD6217579F8240F7FCB7474F1B532B8532794605C704D94513B240700BF04C9195F9E4D3ABD729F6C7E7B7B6AF58DA89A10147DB6ADF0F4F3FA988E4C2441C2130C449852A68E19E32768FB3B41775DD4EF97F92674F3D21547249CD6D70C5512bit公開密鑰（兩行分別為e、n）C359195F9E4D3ABD729F6C7E7B7B6AF58DA89A10147DB6ADF0F4F3FA988E4C2441C2130C449852A68E19E32768FB3B41775DD4EF97F92674F3D21547249CD6D70C51024bit私有密鑰（兩行分別為d、n）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公開密鑰（兩行分別為e、n）C35990640C3AA06DEC9ED00B8C232812B96F51979338282E782E8A10C5650D162781AC030747B0DEF22C42078036DDC6D42BC5728F5300CD6EDA1FFEC01D1F0B4FC06117BEC185E6429CA536D7BFB9B7235C6CC42A5C50C0C4798A04705212FC345170DEAB00A03E27D26292B7DE39F63874DC4FEB13DBE9C40B6DB9B593869EFD3RSA算法可行性的證明求證：命題11 若 p, q 是相異素?cái)?shù), ed ＝ 1 mod (p1)(q1), a 是任意一個(gè)正整數(shù), 則有 c ＝ a mod (pq)證明：∵ de ＝ 1 mod (p1)(q1)∴ de ＝ k(p1)(q1) + 1, 其中 k 是整數(shù)∵ 在 mod 中是 preserve 乘法的 (x ＝ y mod z and u ＝ v mod z a xu ＝ yv mod z), ∴ 首先，素?cái)?shù)p、q要么能整除a，要么與a互素。1. 如果 a 不是 p 的倍數(shù), 也不是 q 的倍數(shù)時(shí), 則 (費(fèi)馬小定理) a (根據(jù)質(zhì)數(shù)算術(shù)基本定理，a與素?cái)?shù)p互素，則am也與p互素，m是整數(shù)) (費(fèi)馬小定理) a ∴ p, q 均能整除 1 a pq | 1 即 ＝ 1 mod pq a c ＝ ＝ a mod pq 2. 如果 a 是 p 的倍數(shù), 但不是 q 的倍數(shù)時(shí), 則 (費(fèi)馬小定理) a ＝ 1 mod q a c ＝ ＝ a mod q a q | c a ∵ p | a a c ＝ ＝ 0 mod p a p | c a ∴ pq | c a a c ＝ a mod pq 3. 如果 a 是 q 的倍數(shù)，但不是 p 的倍數(shù)時(shí)，證明同2理顯然 4. 如果 a 同時(shí)是 p 和 q 的倍數(shù)時(shí), 則 pq | a a c ＝ ＝ 0 mod pq a pq | c a a c ＝ a mod pq 證畢□ 費(fèi)馬小定理敘述：e 是任一素?cái)?shù), n 是任一整數(shù), 則 ＝ n mod e (即如果 n 和 e 互質(zhì), 則 ＝ 1 mod e) 運(yùn)用群論知識(shí)可以證出費(fèi)馬小定理。命題11說明 a 經(jīng)過編碼為 b 再經(jīng)過解碼為 c 時(shí), a ＝ c mod n (n = pq)，但在做編碼解碼時(shí), 由于限制 0 = a n, 0 = c n, 此時(shí)顯然 a ＝ c, 所以這個(gè)過程能做到編碼解碼的功能。中國(guó)余數(shù)定理的簡(jiǎn)單介紹令n=n1n2...nk，其中ni是兩兩互質(zhì)的數(shù)，則對(duì)0=an與0=aini且ai=a mod ni，a與(a1,a2...,ak)之間有一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，一切對(duì)a的操作均可被等價(jià)的轉(zhuǎn)換為對(duì)對(duì)應(yīng)k元組中的每一元進(jìn)行同樣的操作。因此我們可以將一種表達(dá)經(jīng)過簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)換后得出另一種表達(dá)，其中從a到(a1,a2...,ak)的轉(zhuǎn)換十分容易，而從(a1,a2...,ak)推得對(duì)應(yīng)的a則要稍微復(fù)雜一些。 首先定義mi=n/ni(i=1,2...k)，則mi是除了ni以外的所有nj的乘積，接下來令ci=mi與模n意義下mi的逆元的積，則a為(a1c1+a2c2+...+akck) (mod n)。例如，已知a模5余2 且 模13余3，那么a1=2,n1=m2=5,a2=3,n2=m1=13，則有c1=13*(2 mod 5)=26，c2=5*(8 mod 13)=40，所以a=(2*26+3*40)（mod 65)=