【導讀】安全問題日益突出。如今信息隱藏技術(shù)，特別是數(shù)字水印技術(shù)作為版權(quán)保護的重。要手段，己經(jīng)得到廣泛的研究和應用。護技術(shù)，其實質(zhì)是運用圖像處理技術(shù)實現(xiàn)信息的隱藏。這是一種解決版權(quán)問題的有效方法。重點分析了基于離散小波變換的數(shù)字圖像水印技術(shù)的概念及小波變換的。原理和算法，以及小波變換在數(shù)字水印領(lǐng)域中的應用。設(shè)計了一個完整的水印系。實驗結(jié)果表明，該算法在滿足視覺不可見性的同時，對常見的圖像處。備一定的實用價值。

　　

【正文】 高頻成分采用逐漸精細的空間域抽樣步長，從而可以聚焦到研究對象的任意細節(jié)，從這個意義上來講，它被譽為數(shù)學顯微鏡。因此，小波變換方法是一種有效的信號時頻分析方法。 小 波 定義 小波分析方法是一種窗口大小（即窗口面積）固定但其形狀可以改變，時間窗和頻率窗都可改變的時頻局部化分析方法。即在低頻部分具有 較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高頻部分具有較高的時間辨率和較低的頻率分辨率。正是這種特性，使小波變換具有對信號的自適應性。 小波是由一個滿足條件 淮海工學院二 00九屆畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 15 頁 共 34頁 ( ) 0C t dt? ???????? （ 31） 的函數(shù) ()t? 通過平移和伸縮而產(chǎn)生一函 數(shù) 族, ()abt?。 12, ( ) ( )ab tbta a???? a,b∈ R； a0 （ 32） , ()abt? 稱為小波基函數(shù)，簡稱小波基。其中 a 為尺度因子（伸縮因子）， b 為平移因子，因為它們都是連續(xù)變化的值，所以稱 , ()abt? 為連續(xù)變化的小波基函數(shù)。他們是由同 一母小波函數(shù) ()t? 經(jīng)過伸縮和平移后得到的一組函數(shù)系列。 記 ?? 為 ()t? 的傅里葉變換，即： ? ( ) ( ) 0jwtt e dt? ? ? ???? 。在這里，如果 ?()??滿足： ? ? 20?Cd??? ????? ? ?? （ 33） 則稱 ()t? 為允許小波，條件式（ 33）稱為可允許性條件。 由于小波基函數(shù)在時域、頻域都具有有限的或近似有限的定義域，所以經(jīng)過伸 縮 平移后的函數(shù)在時域仍是局部性 的。小波基函數(shù)的窗口 隨 尺度因子的不同而伸縮，當 a 逐漸變大時，基函數(shù)的時間窗口 t? 逐漸變大，而對應的頻域窗口 ?? 相應減小，中心頻率（即頻率窗的中心點）逐漸變低，相反，當 a 逐漸減小，基函數(shù)的時間窗口 t? 逐漸減小，其頻率窗口 ?? 相應增大，中心頻率逐漸升高。 經(jīng)過定量分析可得到如下結(jié)論： （ 1） 尺度的倒數(shù) 1/a 在一定意 義上 對應頻率 ? ， 即尺度越小 ， 對應頻率越高 ， 尺度越大 ，對應頻率越低。如果我們將尺度理解為時間窗口的話，則小尺度信號為短時間信號。這一點同信號時頻分布的自然規(guī)律是相符的，因為，事實上高頻信號必然持續(xù)時間很短，低頻 信號必然持續(xù)時間較長。 （ 2）在任何 b 值上，小波時、頻域窗口的大小 t? 和 ?? 都隨頻率的變化而變化。 （ 3）在任何尺度 a，時間點 b 上，窗口面積 t ??? 保持不變，也即時間、尺度分辨率是相互制約的，不可能同時提高。 （ 4）由于小波母函數(shù)在頻域具有帶通特性，其伸縮和平移系列可以看作是一組帶通濾波器。通常我們將通帶寬度與中心頻率的比值稱為某一帶通濾波器的品質(zhì)因數(shù)，即 ()??的品質(zhì)因數(shù)0 0?? ???。 由以上分析可知， 小 波基函數(shù) , ()abt? 作為帶通濾波器，其品質(zhì)因數(shù)不隨尺度 a 的變化，是一組頻率特性 相同的帶通濾波器組。 離散小波變換 因為離散小波變換由連續(xù)小波變換離散化后得到，所以在介紹離散小波變換之前，先簡單的介紹一下連續(xù)小波變換。 淮海工學院二 00九屆畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 16 頁 共 34頁 任意函數(shù) ()ft 的連續(xù)變換（ Continue Wavelet Transform） ,簡稱（ CWT）： , 1( , ) ( ) , ( ) ( ) ( )f a b R tbW T a b f t t f t d taa?? ??? ? （ 34） 其中 tba? ???????為 ()tba? ?的共軛。 ( , )fWT ab為小波變換系數(shù)。 利用小波變換產(chǎn)生的小波系數(shù)，我們可以對原圖像進行重構(gòu)，也就是小波變換 的逆變換，其公式為： 211( ) ( , )f t b d af t W T a b d bC a aa? ???? ? ? ????? ?????? （ 35） 其中 C? 是對 ()t? 提出的允許性條件，, 1()ab tbt aa?? ???? ????是基本小波的位移與尺度伸縮。 關(guān)于小波變換式，有以下幾點補充說明： （ 1） 尺度因子 a 的作用是將基本小 波 ()t? 作伸縮， a 愈大 ta???????愈寬。在不同尺度下小波的持續(xù)時間（也就是分析時段）隨 a 加大而增寬，幅度則與 a 成反比，但小波函數(shù)的波形保持不變。 （ 2） , ()abt? 前加因子的目的是使不同 a 值下 , ()abt? 的能量保持相等。 在實際應用中，不管是圖像還是音頻信息，都是經(jīng)過采樣量化后得到的一些離散數(shù)據(jù)，因此我們還應將上述連續(xù)小波變換離散化，以便于對離散的圖像信號進行處理。 （ 1）離散小波函數(shù) 我們將尺度因子 a 和平移因子 b 離散化（取 2ja? 和 2j sb kT? ），則（ 32）式可表示為： , 211() 2222j sj k sjjjjt k T tt k T? ? ???? ??? ? ??? ?????? （ 36） 其中： ,jk z? 。然后再將 t 軸用 sT 歸一化，上式就變?yōu)椋? 2, ( ) 2 ( 2 )j jjk t t k??? ??? （ 37） 我們稱上式為離散小波函數(shù)。 （ 2）離散小波變換（ DWT） 對任意函數(shù) ()ft 的離散小波變換（ Discrete Wavelet Transform,簡稱為 DWT）為： , ( )( , ) , ( )f j k jk tRW T j k f f t d t???? ? （ 38） ( , )fWT j k 為離散變換系數(shù)。 （ 3）離散小波變換的逆變換（ IDWT） 若離散小波序列 ? ?,jkik z? ?構(gòu)成一個框架，設(shè)其上、下界分別主 A 和 B，則當 A=B 時（此淮海工學院二 00九屆畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 17 頁 共 34頁 時框架為緊框架），離散小波變換的逆變換（ IDWT）公式為： 39。, , ,1( ) , ( ) ( , ) ( )j k j k f j kj k jkf t f t W T j k tA? ? ????? （ 39） 當 A=B=1 時，離散小波序列 ? ?, ,jkj k z? ?為一正交基，此時離散小波變換的逆變換公式為： 39。, , ,( ) , ( , ) ( )j k j k f j kj k j kf t f W T j k t? ? ????? （ 310） 式（ 38）和（ 310）是對一維信息的小波變換與重構(gòu)，處理圖像信號需要二維小波變換。將一維小波變換進行拓展，我們可以得到二維離散小波變換與重建公式。 二維離散小波變換快速算法 假定 ,iijs 為 j 尺度空間的剩余尺 度系數(shù)序列，并且令 0h 和 1h 分別 為小波函數(shù)的低通和高 通濾波器，則二維小波變換的快速分解公式為 , 1 0 , ( 2 ) ( 2 )i j li j k mkma h k i h m l s ?? ? ?? （ 311） , 0 1 , ( 2 ) ( 2 )i j lj k k mkm h k i h m l s? ?? ? ?? （ 312） , 1 1 , ( 2 ) ( 2 )i j li j k mkmr h k i h m l s ?? ? ?? （ 313） , 0 0 , ( 2 ) ( 2 )i j li j k mkms h k i h m l s ?? ? ?? （ 314） 其中： i ,l 分別為 x 方向和 y 方向上的位移， js 、 j? 、 j? 、 j? 分別為將其上一 尺度（ j1尺度）空間中的剩余尺度系數(shù)序列 jls? 經(jīng) x 方向和 y 方向上的低通濾波、 x 方向上的高通濾波和 y 方向上的低通濾波、 x 方向和 y 方向上的高通濾波后所得到的 j 尺度空間中的系數(shù)序列。 公式（ 311） —（ 314）的樹型流程圖好圖 所示。 圖 二維小波變換的樹形算法示意圖 重構(gòu)算法公式為 : ? ?, , 0 0 , 1 0, 0 1 , 1 1,( 2 ) ( 2 ) 2 ( 2 )( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )j l j jk m i j i jk m k mjji j i jk m k ms s h k i h m l h k i h m lh k i h m l h k i h k l???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????? （ 315） 上述快速算法 ， 是在已知原始二維函數(shù)在某一尺度空間的展開系數(shù)矩陣 ,jmns 基礎(chǔ)上進行淮海工學院二 00九屆畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 18 頁 共 34頁 計算的。初始矩陣的選取是二維快速算法中的一個重要問題。嚴格地講 ， 初始矩陣應使用公式 2, , , ( )( , ) ( )jm n j m j n yRs f x y x d x d y??? ?? （ 316） 計算獲得 ， 其中：上標表示尺度，下標表示兩個方向的位移， ()x? 為小波函數(shù)。但是出于二維積分運算比較麻煩，且通常工程直 接面對的是一個離散矩陣而不是原始連續(xù)函數(shù)。因此，對于初始矩陣的選取，工程上有一 種簡化的方法，即直接將原始二維函數(shù)的離散矩陣看作為初始矩陣： ? ?, ,jm n m ns f f m x n y? ? ? ?，這樣雖然會引入一定的誤差，但一般情況下能夠滿足工程需要。 圖像二維正交小波變換 我們將小波變換理論應用于圖像處理中，用小波變換的多分辨率分析功能來分析圖像。下面我們就將二維離散圖像在二維正交小波基下進行分解與重構(gòu)。 從數(shù)字濾波器的角度來看，式（ 311） —（ 314）所描述的二維小波系數(shù)分解與重構(gòu)過程可用圖 （ a）、（ b）所示的結(jié)構(gòu)框圖來實現(xiàn)。 圖中用 g 代替式（ 311） —（ 314）中的 1h ，表示高通濾波器系數(shù)，用 h 代替式（ 311）—（ 314）中的 0h ，表示低通濾波器系數(shù)，下標 x 表示對矩陣沿行方向進行濾波，下標 y 表示對矩陣沿列方向進行濾波， 2? 表示二倍抽取， 2? 表示二倍插值。 由于 h 具有低通性質(zhì)， g 具有高通性質(zhì)，若將初始輸入矩陣看做一個二維信號，則一次分解后所得到 ,jiks 、 ,jik? 、 ,jik? 、 ,jik? 四部分輸出分別經(jīng)過了不同的濾波器，代表了原 始圖像在下一尺度上的概貌，或者說是原圖像的一級低頻逼近， ,jik? 經(jīng)過了行方向上的高通、列向上的低通，對應于水平方向的細節(jié)信號在垂直方向的概貌，相應地， ,jik? 表示的是原始圖像垂直方向的細節(jié)信號在水平方向的概貌， ,jik? 表示的是沿對角線方向的細節(jié)。 （ a） 二維小波分解圖 淮海工學院二 00九屆畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 19 頁 共 34頁 (b) 二維小波重構(gòu)圖 圖 二維小波系數(shù)的分解與重構(gòu)過程 若輸入矩陣的大小為 NN? ，由圖 （ a）、 (b)知，四個輸出矩陣的維數(shù)均為 22NN? （經(jīng)一級小波變換后每一方向上的輸出序列長度都和輸入序列長度序列相同， 但此時的頻帶由于被分成了低通 和高通 兩部分，所以濾波后輸出序列的帶寬只有原始信號長度的一半。） ，因此總的輸出矩陣仍為 NN? 。如果將一次小波分解輸出的概貌 部分（ ,jiks ）繼續(xù)進行小波分解 ，我們可得到原始圖像在不同尺度 上的細節(jié)和概貌， 這就是多尺度或者說是多分辨率分析的概念。 由以上分析可知，圖像經(jīng)過一級小波變換以后，可將原始圖像分解成四個子圖，分別是水平方向、垂直方向、對角線方向的中高細節(jié)子圖和兩個方向的低頻逼近子圖。圖 是將圖像經(jīng)過 一級小波 分解 后 的示意圖。由圖中可以看出，其分解關(guān)系可表示為：