【正文】 值法、比值法、對數(shù)比值法、圖像回歸法，并著重介紹了基于最小錯(cuò)誤率的貝葉斯準(zhǔn)則，在此基礎(chǔ)上又引出 KI 閾值算法，分別從高斯模型和廣義高斯模型分析算法，介紹了一系列算法，為今后算法的實(shí)現(xiàn)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。4 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)濾波方法數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本思想與方法適用于圖像處理的各個(gè)方面，可以用來解決抑制圖像噪聲、圖像邊緣檢測、分割圖像、圖像形狀識別、紋理分析、壓縮圖像、圖像重建與恢復(fù)等問題。本章介紹了數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的發(fā)展歷程及其理論基礎(chǔ)。 形態(tài)學(xué)發(fā)展歷程1960 年中期，兩位研究人員 Gees Matheron 及 Jean Serra（法國巴黎高等礦業(yè)學(xué)院）提出了數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)(Mathematical Morphology)，從此開辟了一個(gè)嶄新的研究領(lǐng)域。隨后，他們共同創(chuàng)立了一個(gè)以數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)為研究內(nèi)容的實(shí)驗(yàn)室，在他們的努力下，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)逐步形成體系，成功應(yīng)用到圖像分析并逐步走向成熟。經(jīng)過幾十年的發(fā)展,數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)與多種學(xué)科相結(jié)合,產(chǎn)生新的分支。形態(tài)小波(Morpho1ogical Wavelets)。小波變換因其具有與人眼視覺特性相一致的變換機(jī)制以及通過時(shí)頻窗口進(jìn)行局部信號分析的良好特性，而在圖像去噪, 模式識別，圖像壓縮等眾多領(lǐng)域中獲得了廣泛的應(yīng)用。但小波變換是一種基于線性信號分析的工具, 很多情況下其線性近似都無法刻畫它的主要性質(zhì),因此,信號處理領(lǐng)域中非線性的多分辨率方法重大的理論研究價(jià)值以及寬廣的應(yīng)用前景在近年來逐漸被意識到,并深入研究了信號的非線性小波分析方法。模糊數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)。在 20 世紀(jì) 90 年代初，模糊數(shù)學(xué)被 Sinha and Douherty 引入數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)領(lǐng)域,形成模糊數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)。在模糊數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的方法中,圖像的硬二值化集合被模糊集合所代替。凸的交、并運(yùn)算分別代替了集合的交、并運(yùn)算,從而形成了模糊腐蝕和膨脹。軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)。Koskinen 等還提出了另一種數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法:軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)，即用排序加權(quán)統(tǒng)計(jì)的方法代替最大、最小法。核心和軟邊界構(gòu)成了權(quán)值的兩大部分，并且與結(jié)構(gòu)元素密切相關(guān)。軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的代數(shù)特性與硬數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)相似,但其對細(xì)微的形狀變化以及加性噪聲不敏感，并且具有更強(qiáng)的抗噪聲抗干擾能力。模糊軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)。 Gasteratos 等在軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基礎(chǔ)上應(yīng)用模糊集合理論,由此提出了模糊軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)。其流程圖如下：從數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在處理圖像中的應(yīng)用及其本身的理論上看,形態(tài)學(xué)的發(fā)展可以分為兩個(gè)方向:(l)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基礎(chǔ)理論,即二值數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)、多值（灰度）形態(tài)學(xué)、彩色圖像形態(tài)學(xué)。(2)對數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)理論和結(jié)構(gòu)元素深入研究,綜合應(yīng)用基本形態(tài)變換,并結(jié)合其它的方法,以形成軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)、模糊數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)、小波數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)等處理圖像的非線性算法, 在圖像處理的各個(gè)領(lǐng)域中被廣泛應(yīng)用。 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基礎(chǔ)介紹 數(shù)字圖像的表示以客觀世界來說，空間物體是三維(3D)的，但是從客觀景物得到的圖像一般是二維(2D)的。一幅圖像可以用一個(gè) 2D 數(shù)組 來表示， 表示像(,y)fx(,)xy素，x 和 y 表示橫、縱坐標(biāo)的位置，f 表示圖像在點(diǎn) 的強(qiáng)度?；叶仁浅?yīng)客觀景物被觀測到的亮度，而彩色包含豐富的顏色信息，采集到的灰度圖像和彩色圖像通常都會(huì)被量化成數(shù)字信號。在數(shù)學(xué)上，灰度圖像可以用數(shù)值來其像素的灰度，而彩色圖像的像素則必須用矢量表示，矢量的每個(gè)分量代表一個(gè)一維圖像。二值圖像的像素值 只能取 0 或 1，這種圖像只有純黑和純白兩種顏(,y)fx色，其定義為：二值圖像 f 是定義在定義域 上的一個(gè)子集 到集合{0,1}nZfD的映射： （41）??:0,1nfD??灰度圖像與二值圖像的差別就在于其函數(shù)值 不再限制于 0 或 1，而(,y)fx是擴(kuò)大到非負(fù)整數(shù)集合，其定義為：灰度圖像 f 是定義在定義域 上的一個(gè)nZ子集到非負(fù)整數(shù)集合的映射：fD （42）??:0,1LnfDZ????其中 L 是每個(gè)像素允許的離散灰度級數(shù)，典型的取值是 2 的整數(shù)次冪。彩色圖像是指 代表某一彩色空間上的 m 維矢量的一個(gè)分量，像素值記(,y)fx為 ，那么定義域 上每一個(gè)像素點(diǎn) 的值為一個(gè) m 維矢量： (,)FnZ(,)xy （43）12(,)(,),mxyfff?A 集合的相關(guān)定義人們把一群確定的能夠區(qū)分的具有某種性質(zhì)的事物看成一個(gè)整體，這個(gè)整體叫做集合，集合中的各事物就叫做元素，它們都具有一定的范圍。例如用表示一個(gè)集合，a,b,c 就是集合 A 中的元素，則有 ，表示 ,{}Aabc??， aA?a 屬于 A，與 相反的是 ，表示不屬于。設(shè) X，Y，Z 等均為歐幾里德空間?? 空間中的集合，其中 X，Y 是 Z 的子集，則有下面的一些概念：NE(1) 子集：如果集合 X 中的所有元素都屬于集合 Y，則 X 是 Y 的子集。(2) 交集：集合 X 和 Y 中公共元素組成的集合。(3) 并集：集合 X 和 Y 中所有元素組成的集合。(4) 補(bǔ)集：在集合 Z 中，屬于集合 Z 而不屬于集合 X 的元素組成的集合，稱為 X 的補(bǔ)集，記作 ，定義為c （44）??,xZ??? (5) 位移：用 對 Z 進(jìn)行位移，記作 ，定義為：12(,)()xZ （45）),xZyaxA? (6) 映像：X 的映像，記為 ，定義為：^X? （46）??^,xa???(7) 差集：兩個(gè)集合 X 和 Y 的差，記為 XY，定義為： （47）,cxY??? 結(jié)構(gòu)元素結(jié)構(gòu)元素 [28] [29]是用來探測圖像信息的一個(gè)小集合，形態(tài)學(xué)研究圖像幾何結(jié)構(gòu)的基本思想是將結(jié)構(gòu)元素覆蓋在圖像上并不斷在圖像中移動(dòng)，利用它對圖像進(jìn)行探測，檢測圖像中與結(jié)構(gòu)元素形狀相似的部分，修正多余的不規(guī)整的結(jié)構(gòu)，最終達(dá)到探索圖像的結(jié)構(gòu)信息并加以修正的目的。結(jié)構(gòu)元素在數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中有重要的作用，用于對輸入圖像進(jìn)行探測，根據(jù)形態(tài)的不同，結(jié)構(gòu)元素的形狀通常有菱形(diamond)、圓盤形(disk)、線形(line)、八角形(octagon)、成對形(pair)、周期線形(periodicline)、矩形(rectangle)和正方形(square)等。不同形狀的結(jié)構(gòu)元素可以用于不同的圖像處理操作。如圖所示為常見的 的結(jié)構(gòu)元素。這五個(gè)結(jié)構(gòu)元素都有一個(gè)中心元素，稱3?為原點(diǎn)，運(yùn)算過程中，將該原點(diǎn)與圖像中的某個(gè)像素重合，結(jié)構(gòu)元素覆蓋的位置會(huì)形成一個(gè)濾波窗口。結(jié)構(gòu)元素會(huì)因原點(diǎn)所在的位置的不同而不同。圖 結(jié)構(gòu)元素（33）然而與圖像自身有密切聯(lián)系的信息也可以由結(jié)構(gòu)元素直接攜帶，包括大小、形態(tài)、灰度或色度信息等，不同的結(jié)構(gòu)元素處理圖像會(huì)有不同效果。通常選取結(jié)構(gòu)元素需要注意下面的兩點(diǎn)：(l) 與原圖像相比，結(jié)構(gòu)元素一定要簡單而且有界；(2) 結(jié)構(gòu)元素的形狀最好選取圓形、十字形、方形等凸子集。 二值數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)二值數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是用形態(tài)學(xué)運(yùn)算對二值圖像進(jìn)行處理，這個(gè)運(yùn)算可以歸結(jié)為兩個(gè)集合的交并運(yùn)算。這兩個(gè)集合分別是待處理圖像像素構(gòu)成的集合和結(jié)構(gòu)元素構(gòu)成的集合，分別用 A 和 B 表示。在前面的基礎(chǔ)概念下，本節(jié)介紹數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在二值圖像上的四種基本運(yùn)算及運(yùn)算的性質(zhì)。 二值圖像的膨脹和腐蝕(1) 膨脹運(yùn)算膨脹 [30] [31]是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運(yùn)算中的一種基本運(yùn)算，它的算符為 ，利用結(jié)構(gòu)?元 B 來膨脹圖像 A，可寫作 ，其定義為：B? （48）^()xA????????????上式說明了膨脹運(yùn)算的結(jié)果就是將結(jié)構(gòu)元素 B 關(guān)于原點(diǎn)的對稱集合 位移^B的集合 與圖像集合 A 的交集不為空的 B 的原點(diǎn)在圖像上的所有位置的集^xB??????合。所以，上式也可以寫成： （49 ）^()xA??????????????????如下圖 (a)所示，用一個(gè)方形結(jié)構(gòu)元素 B 去膨脹矩形圖像 A，這個(gè)膨脹的過程就是用 B 在 A 表示的區(qū)域內(nèi)將 B 從左到右、從上到下移動(dòng)，判斷 B 表示的區(qū)域是否與矩形 A 有重疊，如果有重疊，就將 B 的原點(diǎn)所在的位置看作是的結(jié)果的一部分，否則就不包含在內(nèi)，最終得到膨脹的結(jié)果如(b)所示。圖 膨脹運(yùn)算示例膨脹運(yùn)算具有擴(kuò)大圖像和填充圖像中比結(jié)構(gòu)元素小的成分的作用，因此，在實(shí)際應(yīng)用中常常利用膨脹運(yùn)算來填充處理圖像中出現(xiàn)的小孔很窄的縫隙并且連接相鄰物體。(2)腐蝕運(yùn)算利用結(jié)構(gòu)元素 B 來腐蝕圖像 A 可記作的算符 ，腐蝕運(yùn)算的定義是：AB? (410)??()xB???如圖 (a)所示，用方形結(jié)構(gòu)元素 B 對矩形圖像 A 進(jìn)行腐蝕，這個(gè)腐蝕的過程就是用 B 在 A 表示的區(qū)域內(nèi)將 B 從左到右、從上到下地移動(dòng)，判斷 B 表示的區(qū)域是否完全在矩形 A 中，如果是，就將 B 的原點(diǎn)所在的位置看作是結(jié)果的一部分，否則就不包含在內(nèi)，最終得到腐蝕的結(jié)果如(b)所示。圖 腐蝕運(yùn)算示例膨脹和腐蝕對于集合求補(bǔ)運(yùn)算和反射運(yùn)算是彼此對偶的，可表示為： (411)??cAB???? (412)c 二值圖像的開啟和閉合二值形態(tài)學(xué)運(yùn)算除了前面的兩種運(yùn)算以外，還有兩種重要的運(yùn)算：開啟和閉合運(yùn)算，這兩種是由前面的兩種運(yùn)算組合而成的。結(jié)構(gòu)元素 B 對圖像集合 A 進(jìn)行開啟運(yùn)算可記作 ，其定義為：AB? (413)()B???也就是說，B 對 A 的開啟運(yùn)算就是先用 B 對 A 進(jìn)行腐蝕操作，然后再用 B 對腐蝕后的圖像進(jìn)行膨脹操作。對圖像先腐蝕后膨脹，雖然形式上如同恢復(fù)圖像，但實(shí)際上這并不是一個(gè)逆過程，經(jīng)過這個(gè)運(yùn)算，圖像被平滑處理，尖銳的細(xì)節(jié)、細(xì)長突出的部分被去除了。如圖 所示，將圓盤在矩形的內(nèi)部滾動(dòng)，并計(jì)算各個(gè)可以填入位置的并集，對圖像先進(jìn)行腐蝕后膨脹，從而得到開啟的結(jié)果。圖 很好地說明了開運(yùn)算的功能，矩形突出的尖角被磨成圓的，這個(gè)圓盤的圓化作用與低通濾波的效果相同。圖 開啟運(yùn)算示例結(jié)構(gòu)元素 B 對圖像集合 A 進(jìn)行閉合運(yùn)算可記作 ，其定義為：AB? (414)()AB????也就是說，B 對 A 的開啟運(yùn)算就是先用 B 對 A 進(jìn)行膨脹操作，然后再用 B 對膨脹后的圖像進(jìn)行腐蝕操作。開和閉運(yùn)算是對偶的，二者的對偶關(guān)系如下： (415)()c??? (416)同開啟一樣，對圖像先膨脹后腐蝕，雖然形式上如同恢復(fù)圖像，但實(shí)際上這并不是一個(gè)逆過程，經(jīng)過這個(gè)運(yùn)算，圖像中的某個(gè)輪廓的缺口或者兩個(gè)細(xì)小對象間的窄縫被填充了。如圖 所示為閉合運(yùn)算的示意圖，根據(jù)對偶性，沿圖像的邊緣填充或滾動(dòng)圓盤，得到閉合的結(jié)果。從圖中可以看出閉合運(yùn)算磨光了凸向圖像內(nèi)部的尖角。AB?圖 閉合運(yùn)算示例 二值形態(tài)學(xué)算子的性質(zhì)1．二值膨脹和腐蝕的性質(zhì)(1) 交換律和結(jié)合律 (417)AB?? (418)()()C上面的兩個(gè)式子均對膨脹運(yùn)算成立，只有第二個(gè)式子對腐蝕運(yùn)算成立。(2) 平移不變性平移不變性是指先用一定的結(jié)構(gòu)元素對圖像進(jìn)行膨脹處理再平移的結(jié)果與先平移圖像再用給定結(jié)構(gòu)元素對平移后的圖像進(jìn)行膨脹的結(jié)果是一樣的。即對于膨脹運(yùn)算，有： (419)x()xAB??對于腐蝕運(yùn)算，有： (420)x()x?(3) 遞增性膨脹和腐蝕，二者都具有遞增性，如果 是 的子集，則有 是1A21AB?的子集。即若 那么：2AB?12A? (421)B? (422)12? (4) 對偶性這個(gè)性質(zhì)可以從上述定義中得出，對圖像作腐蝕運(yùn)算相當(dāng)于對圖像的補(bǔ)集作膨脹運(yùn)算，反正亦然，對偶公式在前面已經(jīng)介紹過了。2. 二值開啟和閉合的性質(zhì)(1)平移不變性開啟和閉合運(yùn)算，同膨脹、腐蝕一樣，都具有平移不變性： (423)()xxAB?? (424)()xxAB??(2)遞增性若 ，則有：12? (425)12? (426)AB? (5) 冪等性冪等性是指用結(jié)構(gòu)元素對一個(gè)圖像進(jìn)行兩次開(或閉)運(yùn)算等價(jià)于對其作一次開(或閉)運(yùn)算。開運(yùn)算和閉運(yùn)算均具有冪等性如下：