【正文】 (m)3.()LgzgLFg???????????????????可見(jiàn)第一個(gè)諧振腔高斯光束的束腰位于其平面腔鏡上。對(duì)于第二個(gè)諧振腔： ??????10(.5)g???可見(jiàn)，第二個(gè)諧振腔也為穩(wěn)定腔。因此，可以第二個(gè)諧振腔兩腔鏡面中心連線為 z 軸以其等價(jià)對(duì)稱共焦腔中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，同時(shí)假設(shè)該平凹腔的兩腔鏡在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為 z21 和 z22，等價(jià)對(duì)稱共焦腔的腔長(zhǎng)為 2F2，束腰為 。20?121221122 221/4421220().5(m)0().5()[].30(m).23()LgzgLFg???????????????????可見(jiàn)第二個(gè)諧振腔高斯光束的束腰也位于其平面腔鏡上。假設(shè)在兩個(gè)諧振腔之間、距第二個(gè)諧振腔的左側(cè)腔鏡 l 處插入焦距為 f 的透鏡，可以實(shí)現(xiàn)兩者的模式匹配。則兩諧振腔高斯光束束腰間的光器件組的傳播矩陣為：=ABCD???????210L??????1R0l??????1f??????????????41???0l???1f????????2()(.? ???? ???? ?由 ABCD 定律： ，102AqBCD??其中： 0iq???得： 20i???21021()()(??????可得實(shí)數(shù)方程組： ()(.)1..64l llf fllf f??????????解得： (m)5lf????在兩個(gè)諧振腔之間、距第二個(gè)諧振腔的左側(cè)腔鏡 34 厘米處插入焦距為 45 厘米的透鏡，即可實(shí)現(xiàn)兩者模式匹配。54. 采用方形共焦腔 HeNe 激光器的腔長(zhǎng) L=30cm，反射鏡尺寸為 2a=，如果一個(gè)模式的光斑大小超過(guò)鏡面尺寸，則認(rèn)為該模式不可能存在，求此激光器的最高橫模階次。55. 已知高斯光束的束腰半徑為?0，求：1）A 點(diǎn)與束腰相距為 z，求光斑半徑 ?(z)；2）如果測(cè)量到 A 點(diǎn)光斑光強(qiáng)下降到最大值的 處的半徑為 ?p，求 ?p 和 ?(z)的關(guān)系。2121 為什么說(shuō)光學(xué)諧振腔積分方程的特征值 的虛部決定光波的單程相移？?解：由于 ，代入 中得： 。即 表示腔內(nèi)經(jīng)單程度e??????1qqU??1iqqeU?????e??越后自再現(xiàn)模的振幅衰減。即 的實(shí)部決定腔損耗， 表示每經(jīng)一次度越的相位滯后，?所以 的虛部決定的單程相移。?22 穩(wěn)定球面諧振腔旁軸光線的單程相對(duì)功率損耗 11/γ2，它與單程衍射損耗因子之間有何關(guān)系？解答：23 如果使用一個(gè)參數(shù)描述穩(wěn)定諧振腔的衍射損耗大小，你愿意用哪個(gè)，為什么？解答：選用菲涅爾數(shù) N 來(lái)表示。 ，它與模的表面積和模的光斑面積有關(guān)，它在一2aL??定程度上反映了導(dǎo)致衍射損耗的另外兩個(gè)因素：腔的幾何結(jié)構(gòu)和橫模的階數(shù)。所以選用菲涅爾參數(shù)。24 為什么說(shuō)對(duì)稱共焦腔非常重要？解答：對(duì)稱共焦腔不僅能定量地說(shuō)明共焦腔振蕩模本身的特性，更重要的是它能被推廣應(yīng)用到整個(gè)低損耗球面鏡腔系統(tǒng)。共焦腔模式理論表明，任何一個(gè)共焦腔與無(wú)窮多個(gè)穩(wěn)定球面腔等價(jià)，而任何一個(gè)穩(wěn)定球面腔唯一地等價(jià)于一個(gè)共焦腔。所以研究對(duì)稱共焦腔顯得很重要。25 試由行波場(chǎng)導(dǎo)出圓形鏡共焦腔內(nèi)的波前表示。解答：26 同一個(gè)光學(xué)諧振腔中的不同橫模，有什么異同？解答：基模的強(qiáng)度分布比較均勻，光束的發(fā)散角小，且損耗最小。隨著橫模階數(shù)的提高，強(qiáng)度分布不均勻，光束的發(fā)散角增大，且損耗較大。27 高階橫模的不同模斑若相遇，能否干涉，為什么？解答：不能干涉。因?yàn)楦唠A模的模斑之間的光場(chǎng)之間沒(méi)有恒定的相位關(guān)系。28. 若 A 激光器的激光束經(jīng)透鏡變換匹配地射入 B 激光器，B 激光器的激光束能不能匹配地射入 A 激光器，為什么？能，根據(jù)模匹配的原理。29. 能否得到穩(wěn)定諧振腔橫模的解析表示，為什么？不能30. 出 3 光線的傳輸矩陣。圖 R 1 2 3 d 解答：光線 1 的傳播矩陣 102R??????? 光線 2 的傳播矩陣 212121nnnRR????????????????????? ???22 0 0 （ ）0光線 3 的傳播矩陣 21 21R??????????????????21 31. 試導(dǎo)出如下腔型所對(duì)應(yīng)的對(duì)稱共焦腔結(jié)構(gòu)和輸出光參數(shù)。 R=1m L= 圖 解答：由于 ，所以圖示的腔是穩(wěn)定的。所以有0(1)1LR????，其中 ，211221()fRzfLz???????????， ，束腰位于平鏡上，則 ；帶入上述方程組可求得 ????? ?束腰大小： ??遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角： 061.??.3. 試解如圖兩個(gè) HeNe 激光器的匹配問(wèn)題。R 1m R 圖 解答：第一步：由于 ，圖示的兩個(gè)諧振腔都是穩(wěn)定的。0(1)1LR????第二步：所以由 211221()fRzfLz????????對(duì)于第一個(gè) HeNe 激光器， ，可求得第一個(gè) HeNe ???， ，坐標(biāo)系原點(diǎn)既束腰位置距兩鏡距離和等價(jià)對(duì)稱共焦腔鏡焦長(zhǎng) ??????束腰位于平鏡上；束腰大?。????????對(duì)于第二個(gè) HeNe 激光器， ，可求得第二個(gè) HeNe 激光器1 ??， ，的坐標(biāo)系原點(diǎn)既束腰位置距兩鏡距離和等價(jià)對(duì)稱共焦腔鏡焦長(zhǎng) ??????束腰位于平鏡上；束腰大?。????????第三步：使用一個(gè)焦長(zhǎng)為 F 的透鏡，放在距第一個(gè) HeNe 激光器平鏡 l 距離處，進(jìn)行模式匹配。將位于第一個(gè) HeNe 激光器平鏡處的束腰，變換到第二個(gè) HeNe 激光器平鏡處。高斯光束束腰所經(jīng)歷的光器件矩陣： ?????????????????2..4343Flll? ????? ??? ?第四步：由 ABCD 定律： 102AqBCD?? 得方程組： 2 28(.5)????????由方程組解得 F、 l4. 若法卜里—珀羅平面干涉儀的腔長(zhǎng)為 ，它的自由譜寬為多少，能否分辨cm， 的 激光譜線？4610m??????=HeN?解答：設(shè) ，有1y????????=（ ）（ c）對(duì)題中所述 HeNe 激光譜線有： (60)qc z?????=故不能分辯。5. ， 的對(duì)稱腔，相鄰縱模的頻率差為多少？10Rm?4L解答：根據(jù)題意有： ??????=（ ）（ cm）6. 腔內(nèi)有其它元件的兩鏡腔中，除兩個(gè)反射鏡外的其余部分的變換矩陣為 ，腔鏡ABCD曲率半徑為 、 ，證明：穩(wěn)定性條件為 ，其中 ；1R2 120g?11/gR??。2/gAB??證明：由題意有： 15120222sXXABABCDCRR? ?????? ???????? ?????????? 151122s????? ?????? ??????? 251122 2 1112112 sABCXRDBAARXBBCCDRRR? ?????????????? ????? ????????（ ）（ ） （ ）（ ） （ ）（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）15sXXABCD???????????????＇ ＇＇ ＇ 穩(wěn)定時(shí)， ，2???＇ ＇ 121244BADAgR??????＇ ＇ （ ） （ ）由于 11240gg??7. 平凹腔中靠近平面鏡的半空間內(nèi)充有類透鏡介質(zhì) ，假設(shè)20(1/)nKr??，使用上題（6 題）的結(jié)果，討論該腔的穩(wěn)定性問(wèn)題。2(/)K=解答：，其中cABnCD????????????? 1 020(1/)nkr????212 212 202022/krBgARRnRnkr???? ?????????? ????????其中用到 k?2 由 ，有12g039。2)nkl20L/(1+/ 8. 使用 6 題結(jié)果，求圖 所示的諧振腔的穩(wěn)定性條件（不考慮像散） 。R1R2R1d2d圖 解答： 211221100 dddABRRCDR? ???????? ??? ????? ?????????????????? ? 121212 2112122 1211124 4()BgDARddddRRRR??????????????????????????????? 由 ，可得120g?2114d??9. 考慮圖 所示的非穩(wěn)定諧振腔，反射鏡 的反射率 ， ??（1）試求出共軛像點(diǎn) 和 的位置，并在光學(xué)諧振腔圖上把他們標(biāo)出；（2）試畫出光學(xué)1P諧振腔內(nèi)的場(chǎng)變化，指出來(lái)自光束限制器的波陣面。 （3）通過(guò)空腔的單程平均損耗為多少？（4）這個(gè)激光器所需要的增益是多少？ 18Rm? 2Rm?2m3m45?圖 解答：1) 軛像點(diǎn) 和 的位置分別為 ，由球面鏡成像公式1P212,l12LlR???????解得：212121112122 ml?????? ????（ ） +（ ） （ ） （ ）（ ） （ ） （ ） （ ）10. 設(shè)激活介質(zhì)的橫向尺寸為 ，虛共焦非穩(wěn)定腔鏡面半徑為 （凹面鏡）和 （凸面鏡）0a1a2a，而單程放大率為 和 當(dāng)1m2（1） ；00212,a??（2） ；010212,m??（3） ；010212,aa?（4） ；010212,m?時(shí)，適用作圖法從激光束的輸出方向，是否充分利用激活介質(zhì)，輸出光束是否均勻等方面進(jìn)行討論。解答：11．試?yán)猛稻仃囎C明共焦腔為穩(wěn)定腔，即任意傍軸光線在其中可以往返無(wú)限多次，而且兩次往返即自行閉合。證明：對(duì)于共焦腔，有 12RL?對(duì)稱矩陣 T 中， ， 2A?210LBR????????，1210LCR??????????????1121LD??????????????光線在腔內(nèi)往返 n 次后，有 ， ??110nn nr rT??????????即 ，且當(dāng) 時(shí)有??1nnr???????221r???故命題得證。12. 試求平凹、雙凹、凹凸共軸球面腔鏡的穩(wěn)定性條件。解答：共軸球面腔鏡的穩(wěn)定性條件為 120LR?????????平凹腔，有 ， ，代入穩(wěn)定性條件得1R??2?2L?雙凹腔，有 ， ，代入穩(wěn)定性條件得10或 ，且2R， 12LR?， 12RL??凹凸腔，有 ， ，代入穩(wěn)定性條件得1?，且L?12?13. 激光器的諧振腔由一面曲率半徑為 1m 的凸面鏡和曲率半徑為 2m 的凹面鏡組成，工作物質(zhì)長(zhǎng) ，其折射率為 ，求腔長(zhǎng) L 在什么范圍內(nèi)是穩(wěn)定腔。解答：由已知 ，1R??2代入穩(wěn)定性條件 120R?????????解得 12mL14. 圖 所示三鏡環(huán)形腔，已知 ，試畫出其等效透鏡序列圖，并求球面鏡的曲率半徑 Rl在什么范圍內(nèi)該腔是穩(wěn)定腔。圖示環(huán)形腔為非共軸球面鏡腔。在這種情況下，對(duì)于在由光軸組成的平面內(nèi)傳輸?shù)淖游绻饩€，式（）中的 ，對(duì)于在于此垂直的(Rcos)/2f??平面內(nèi)傳輸?shù)幕∈腹饩€， ， 為光軸與球面鏡法線的夾角。R/(2cos)f??lll 圖 解答：等效透鏡序列圖下圖所示平面鏡 該腔的變換矩陣 RLRABTTCD????????其中 ， ，10R???????102cosR???????1L???????穩(wěn)定性條件 ()2AD???解得15. 有一方形孔徑共焦腔氦氖激光器，腔長(zhǎng) L=30cm，方形孔邊長(zhǎng)d=2a=， =，鏡的反射率為 ， ，其它損耗以每程 ?1r?估計(jì)。此激光器能否作單模運(yùn)轉(zhuǎn)？如果想在共焦鏡面附近加一個(gè)方形小孔闌來(lái)選擇模，小孔的邊長(zhǎng)應(yīng)為多大？試根據(jù)圖 作一大略的估計(jì)。氦氖增益由公式0TEM估算（l 為放電管長(zhǎng)度） 。g4e13l d????解答：把 L=30cm，d=2 = 代入氦氖激光器增益公式a得到激光每程獲得的增益 ?腔的菲涅耳數(shù)27(.6)???由書中方形鏡共焦腔的單程功率損耗圖，可知 時(shí)腔中各模式的單程損耗約為N?量級(jí)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于增益，因此不可以作單模運(yùn)轉(zhuǎn)。610?當(dāng) 模的單程損耗與其它損耗之和恰好等于增益時(shí)，TEM即 ??????????解得 。3am16. 試求出方形鏡共焦腔面上 模的節(jié)線位置，這些節(jié)線是等距分布的嗎？30TE解答：厄米特多項(xiàng)式的零點(diǎn)決定場(chǎng)的節(jié)線，m 階厄米特多項(xiàng)式有 m 個(gè)零點(diǎn)，因此 模沿30TEMx 方向有 3 條節(jié)線，沿 y 方向有 0 條節(jié)線。求解 3 階厄米特多項(xiàng)式 ，得 或??338120HX??X?2?其中 ，因此節(jié)線位置為02sXx??110203ssxx??， ，這些節(jié)線是等距離分布的。17. 求圓形鏡共焦腔 和 模在鏡面上光斑的節(jié)線位置。20TEM02解答：圓形鏡共焦腔模在鏡面上場(chǎng)分布函數(shù) 200(,)(2)()srmimmnmnnssrrCLe???????當(dāng) ， 時(shí)， ，求其節(jié)線位置可令 的實(shí)部為零，20()1s?ie??得到 、 和 、 各自確定的兩條沿幅角方向的節(jié)線14???35234??7當(dāng) ， 時(shí)，令0mn220 01())0=srL????????， 其 中解得 12????，把兩個(gè)值代回到 表達(dá)式中，+?????18. 今有一球面腔， ， ， 。試證明該腔為穩(wěn)定腔；?2?80cmL?它的等價(jià)共焦腔的參數(shù)；在圖上畫出等價(jià)共焦腔的具體位置。解答： ??????????????在 0 到 1 之間，因此是穩(wěn)定腔。2112()(1.)????????212().(.).52121()()0.[]LRRLf?????19. 某二氧化碳激光器采用平、凹腔，L=50cm，R=2m，2a=1cm， 。???、 、 、 、 、 各為多少。s1?20?10?2解答： 60s/.5/??????，??2251LgR?????1 1/4 /