工程數(shù)學習題集(含部分湖大版大學數(shù)學5課后答案)-資料下載頁
2025-06-26 00:02本頁面
【正文】 解：略.16. 映射w=ez將下列區(qū)域映為什么圖形.(1) 直線網(wǎng)Re(z)=C1,Im(z)=C2。(2) 帶形區(qū)域。(3) 半帶形區(qū)域.解：（1） 令z=x+iy, Re(z)=C1, z=C1+iy, Im(z)=C2,則z=x+iC2故將直線Re(z)映成圓周；直線Im(z)=C2映為射線.（2） 令z=x+iy，,則故將帶形區(qū)域映為的張角為的角形區(qū)域.（3） 令z=x+iy，x0，0y , .則故將半帶形區(qū)域Re(z)0,0Im(z), 映為|w|1, ().17. 求將單位圓的外部|z|1保形映射為全平面除去線段1Re(w)1,Im(w)=0的映射.解：先用映射將|z|1映為|w1|1,再用分式線性映射.將|w1|1映為上半平面Im(w2)0, 然后用冪函數(shù)映為有割痕為正實軸的全平面，最后用分式線性映射將區(qū)域映為有割痕[1,1]的全平面.故.18. 求出將割去負實軸,Im(z)=0的帶形區(qū)域映射為半帶形區(qū)域,Re(w)0的映射.解：用將區(qū)域映為有割痕(0,1)的右半平面Re(w1)0；再用將半平面映為有割痕(,1]的單位圓外域；又用將區(qū)域映為去上半單位圓內(nèi)部的上半平面；再用將區(qū)域映為半帶形0Im(w4),Re(w4)0；最后用映為所求區(qū)域，故.19. 求將Im(z)1去掉單位圓|z|1保形映射為上半平面Im(w)0的映射.解：略.20. 映射將半帶形區(qū)域0Re(z),Im(z)0保形映射為平面上的什么區(qū)域.解：因為 可以分解為w1=iz ，由于在所給區(qū)域單葉解析，所以（1） w1=iz將半帶域旋轉(zhuǎn)，映為0Im(w1),Re(w1)0.（2） 將區(qū)域映為單位圓的上半圓內(nèi)部|w2|1,Im(w2)0.（3） 將區(qū)域映為下半平面Im(w)0.習題 七：如果f(t)滿足傅里葉變換的條件，當f(t)為奇函數(shù)時，則有其中當f(t)為偶函數(shù)時，則有其中證明：因為其中為f(t)的傅里葉變換當f(t)為奇函數(shù)時，為奇函數(shù)，從而為偶函數(shù)，從而故 有為奇數(shù)。 =所以，當f(t)為奇函數(shù)時，有同理，當f(t)為偶函數(shù)時，有.其中 ，.解:.解: 解：(2)解：因為所以根據(jù)傅里葉變換的微分性質(zhì)可得(3)解：(4)解:令，則在上半平面有兩個一級極點.故.(5) 解:同(4).利用留數(shù)在積分中的應用,令則.(t)是解析函數(shù)，證明當時，有 對所有的實數(shù)t成立.(書上有推理過程) 的傅里葉變換.解:因為把函數(shù).不難看出 故：解:(t)的傅里葉變換，a為一常數(shù). 證明F當a0時,令u=當a0時,令u=at,則.故原命題成立..證明：，證明：以及證明：同理：計算.解：當時，若則故=0.若則若則故，求下列函數(shù)的傅里葉變換.習題八.(1)， (2)， (3)(4)， (5) 解: (1) (2) (3) (4) (5) .（1） (2)解: (1) (2) ,其中函數(shù)為階躍函數(shù), 求的拉普拉斯變換.解: 解：5. 求下列函數(shù)的拉普拉斯變換.( (2) (3)(4) (5 (6 (7) (8) 解:(1) (2)(4)(5) (6)(7)(8)，對常數(shù)，若，證明證明: 7 記，證明:證明：當n=1時,所以，當n=1時, 顯然成立。假設，當n=k1時, 有現(xiàn)證當n=k時8. 記，如果a為常數(shù),證明:證明：設，由定義9. 記，證明:,即證明：(1) (2) (3) (4) (5) (6 解：(1) (2) (3) (4)(5) (6), g, h均滿足當t0時恒為零，證明以及證明：證明：設，則，則，所以13. 求下列函數(shù)的拉普拉斯逆變換.(1 (2) (3)(4) (5) (6 解：(1)(2)(3故(4)因為所以(5)其中所以(6)所以證明：又因為所以，根據(jù)卷積定理證明：因為所以，根據(jù)卷積定理有16. 求下列函數(shù)的拉普拉斯逆變換.(1) (2) (3)(4)解:(1) 故(2)：(3)故(4)故且所以(1) (2) (3) (4) (5) 解: (1)設方程兩邊取拉氏變換,得為Y(s)的三個一級極點,則(2) 方程兩邊同時取拉氏變換,得(3)方程兩邊取拉氏變換,得因為由拉氏變換的微分性質(zhì)知，若L[f(t)]=F(s),則即因為所以故有(4)方程兩邊取拉氏變換,設L[y(t)]=Y(s),得故(5)設L[y(t)]=Y(s),則方程兩邊取拉氏變換,得故(1) (2) 解:(1) 設微分方程組兩式的兩邊同時取拉氏變換,得得(2)代入(1)，得(3)代入(1)，得(2)設 方程兩邊取拉氏變換,得(3)代入(1)：所以故(1) (2) 解：(1)設L[x(t)]=X(s), 方程兩邊取拉氏變換,得(2)設L[y(t)]=Y(s), 方程兩邊取拉氏變換,得
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