【正文】 坐標(biāo)原點，左焦點為， 為橢圓的上頂點，且.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）已知直線：與橢圓交于，兩點，直線：（）與橢圓交于，兩點，且，如圖所示.（?。┳C明：。（ⅱ）求四邊形的面積的最大值.解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 因為，所以.所以 . 所以 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. （Ⅱ）設(shè)，，.（?。┳C明：由消去得：.則， 所以 .同理 . 因為 ,所以 .因為 ，所以 . （ⅱ）解：由題意得四邊形是平行四邊形，設(shè)兩平行線間的距離為,則 .因為 ，所以 . 所以 .（或）所以 當(dāng)時， 四邊形的面積取得最大值為. ，定點，橢圓短軸的端點是，且.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過點且斜率不為的直線交橢圓于，使平分？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 解：（Ⅰ）由 ， 得 . 依題意△是等腰直角三角形，從而，故. 所以橢圓的方程是. （Ⅱ）設(shè)，直線的方程為. 將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去得 . [來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]所以 ，. 若平分，則直線，的傾斜角互補，所以. 設(shè)，則有 .[來源:學(xué)|科|網(wǎng)Z|X|X|K]將 ，代入上式，整理得 ，所以 . 將 ，代入上式，整理得 . 由于上式對任意實數(shù)都成立，所以 . 綜上，存在定點，使平分.：的左、右頂點分別為，為短軸的端點，△的面積為，離心率是．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若點是橢圓上異于，的任意一點，直線，與直線分別交于，兩點，證明：以為直徑的圓與直線相切于點 (為橢圓的右焦點)．解：（Ⅰ）由已知 解得，． 故所求橢圓方程為． 證明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，設(shè)橢圓右焦點．設(shè)，則．于是直線方程為 ，令，得；所以，同理． 所以，.所以 ． 所以 ，點在以為直徑的圓上． [來源:學(xué)科網(wǎng)] 設(shè)的中點為，則． 又，所以 ．[來源:]所以 ． 因為是以為直徑的圓的半徑，為圓心，故以為直徑的圓與直線相切于右焦點．：的離心率為，且經(jīng)過點．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線l：與橢圓C相交于，兩點，連接MA，MB并延長交直線x=4于P，Q兩點，設(shè)yP，yQ分別為點P，Q的縱坐標(biāo)，且．求證：直線過定點． 解：（Ⅰ）依題意，所以． …2分因為， 所以．…3分橢圓方程為． …5分（Ⅱ）消y得 ，． …6分因為，所以 ，． …7分設(shè)直線MA：，則；同理…9分因為 ，所以 ， 即．…10分所以 ，所以 ，，所以 ，得 ． ……13分則，故過定點． …14分，.點與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知點的坐標(biāo)為，兩點，設(shè)直線，的斜率分別為，，若，試求滿足的關(guān)系式.解: （Ⅰ）依題意， ， 所以. 故橢圓的方程為. ……4分 （Ⅱ）①當(dāng)直線的斜率不存在時，由解得. 不妨設(shè)， 因為，又，所以， 所以的關(guān)系式為，即. …7分[來源:學(xué)167?？?67。網(wǎng)] ②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為. 將代入整理化簡得，. 設(shè)，則,. …9分又，.所以 12分所以，所以，所以的關(guān)系式為.……13分綜上所述，的關(guān)系式為. …14分，焦點在軸正半軸的拋物線上有一點，點到拋物線焦點的距離為1.（1）求該拋物線的方程；（2）設(shè)為拋物線上的一個定點，過作拋物線的兩條互相垂直的弦,求證：恒過定點.（3）直線與拋物線交于,兩點，在拋物線上是否存在點，使得△為以為斜邊的直角三角形.解：（1）由題意可設(shè)拋物線的方程為，則由拋物線的定義可得，即，所以拋物線的方程為 . ……4分 （2）由題意知直線與軸不平行，設(shè)所在直線方程為得 其中 即 所以 [來源:學(xué)+科+網(wǎng)] 所以直線的方程為 即 …9分（3）假設(shè)（上，的解，消去得 .……14分（）右頂點與右焦點的距離為，短軸長為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過左焦點的直線與橢圓分別交于、兩點，若三角形的面積為，求直線的方程．解：（Ⅰ）由題意， 1分 解得. 2分 即：橢圓方程為 3分 （Ⅱ）當(dāng)直線與軸垂直時， 此時不符合題意故舍掉； 4分 當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)直線 的方程為：， 代入消去得：. 6分 設(shè) ，則， 7分所以 . 9分原點到直線的距離，所以三角形的面積.由， 12分所以直線或. 13分，焦點在軸上，一個頂點為，離心率為．（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點．當(dāng)時，求的取值范圍．解：（I）依題意可設(shè)橢圓方程為 ，則離心率為故，而，解得， ………4分故所求橢圓的方程為. ………5分（II）設(shè)，P為弦MN的中點，由 得 ，直線與橢圓相交， ，① …7分，從而，（1）當(dāng)時 (不滿足題目條件)∵，則 ，即 ， ② …………9分把②代入①得 ，解得 ， ……10分 由②得，解得．故 ………11分（2）當(dāng)時∵直線是平行于軸的一條直線，∴ ……13分綜上，求得的取值范圍是． …14分28. 如圖所示，已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的3倍且經(jīng)過點M（3，1）.平行于OM的直線在y軸上的截距為m(m≠0)，且交橢圓于A，B兩不同點.（I） 求橢圓的方程；（II） 求m的取值范圍；（III） 求證：直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.解：（I） 設(shè)橢圓的方程為(ab0)由題可得所求橢圓的方程為 . …4分（II）∴直線∥OM且在y軸上的截距為m,∴直線l方程為：y=x+m.聯(lián)立消y化簡得∵直線交橢圓于A，B兩點，∴解得又因為m≠0.m的取值范圍為2m2且m≠0. …8分（III）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為，則問題只需證明.設(shè)A,B則.[來源:學(xué)科網(wǎng)]由（2）[來源:學(xué)科網(wǎng)]又代入整理得 ∴.從而直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形. …13分，離心率為，過點的直線與橢圓交于不同的兩點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求的取值范圍． 解: （Ⅰ）由離心率為，可設(shè)，則因為經(jīng)過點所以，解得，所以橢圓方程為 ……4分（Ⅱ）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，直線與橢圓的交點坐標(biāo)為 ……5分由消元整理得： ………7分 得 …8分，…………9分 …10分因為，所以所以的取值范圍是．………14分 專業(yè)整理分享