【正文】 e{T data。TNode *firstchild, *rightsib。}。具體算法如下：學(xué)習(xí)自測(cè)及答案1．前序遍歷和中序遍歷結(jié)果相同的二叉樹是（ ）。A 根結(jié)點(diǎn)無左孩子的二叉樹 B 根結(jié)點(diǎn)無右孩子的二叉樹C 所有結(jié)點(diǎn)只有左子樹的二叉樹 D 所有結(jié)點(diǎn)只有右子樹的二叉樹【解答】D1．前序遍歷和中序遍歷結(jié)果相同的二叉樹是（ ）。 A 根結(jié)點(diǎn)無左孩子的二叉樹 B 根結(jié)點(diǎn)無右孩子的二叉樹 C 所有結(jié)點(diǎn)只有左子樹的二叉樹 D 所有結(jié)點(diǎn)只有右子樹的二叉樹【解答】D 2．由權(quán)值為{3, 8, 6, 2, 5}的葉子結(jié)點(diǎn)生成一棵哈夫曼樹，其帶權(quán)路徑長(zhǎng)度為（ ）。A 24 B 48 C 53 D 72【解答】C 3．用順序存儲(chǔ)的方法將完全二叉樹中的所有結(jié)點(diǎn)逐層存放在數(shù)組A[1] ~ A[n]中，結(jié)點(diǎn)A[i]若有左子樹，則左子樹的根結(jié)點(diǎn)是（ ）?！?A A[2i1] B A[2i+1] C A[i/2] D A[2i]【解答】D4．對(duì)任何一棵二叉樹T，如果其終端結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n0，度為2的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為n2，則（ ）。A n0=n21 B n0=n2 C n0=n2+1 D 沒有規(guī)律【解答】C5．一棵滿二叉樹中共有n個(gè)結(jié)點(diǎn)，其中有m個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，深度為h，則（ ）。A n=h+m B h+m=2n C m=h1 D n=2h1【解答】D 6．對(duì)于完全二叉樹中的任一結(jié)點(diǎn)，若其右分支下的子孫的最大層次為h，則其左分支下的子孫的最大層次為（ ）。A h B h+1 C h或h+1 D 任意【解答】C7．假定一棵度為3的樹中結(jié)點(diǎn)數(shù)為50，則其最小高度應(yīng)為 。A 3 B 4 C 5 D 6【解答】C8．在線索二叉樹中，一個(gè)結(jié)點(diǎn)是葉子結(jié)點(diǎn)的充要條件為（ ）。A 左線索標(biāo)志為0，右線索標(biāo)志為1 B 左線索標(biāo)志為1，右線索標(biāo)志為0C 左、右線索標(biāo)志均為0 D 左、右線索標(biāo)志均為1【解答】C9．對(duì)于一棵具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的樹，其所有結(jié)點(diǎn)的度之和為（ ）。【解答】n110．在順序存儲(chǔ)的二叉樹中，編號(hào)為i和j的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)處在同一層的條件是（ ）。【解答】 11．現(xiàn)有按前序遍歷二叉樹的結(jié)果ABC，問有哪幾種不同的二叉樹可以得到這一結(jié)果？【解答】共有5種二叉樹可以得到這一結(jié)果，如圖515所示。12．試找出分別滿足下列條件的所有二叉樹：⑴ 前序序列和中序序列相同。⑵ 中序序列和后序序列相同。⑶ 前序序列和后序序列相同?！窘獯稹?⑴ 空二叉樹、只有一個(gè)根結(jié)點(diǎn)的二叉樹和右斜樹。⑵ 空二叉樹、只有一個(gè)根結(jié)點(diǎn)的二叉樹和左斜樹。⑶ 空二叉樹、只有一個(gè)根結(jié)點(diǎn)的二叉樹13．將下面圖516所示的樹轉(zhuǎn)換為二叉樹，圖517所示的二叉樹轉(zhuǎn)換為樹或森林。【解答】圖516所示樹轉(zhuǎn)換的二叉樹如圖518所示，圖517所示二叉樹轉(zhuǎn)換的森林如圖519所示。 14．以孩子兄弟表示法作為存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，編寫算法求樹的深度?！窘獯稹坎捎眠f歸算法實(shí)現(xiàn)。若樹為空樹，則其深度為0，否則其深度等于第一棵子樹的深度+1和兄弟子樹的深度中的較大者。具體算法如下：15．設(shè)計(jì)算法，判斷一棵二叉樹是否為完全二叉樹?！窘獯稹扛鶕?jù)完全二叉樹的定義可知，對(duì)完全二叉樹按照從上到下、從左到右的次序（即層序）遍歷應(yīng)該滿足：⑴ 若某結(jié)點(diǎn)沒有左孩子，則其一定沒有右孩子；⑵ 若某結(jié)點(diǎn)無右孩子，則其所有后繼結(jié)點(diǎn)一定無孩子。若有一結(jié)點(diǎn)不滿足其中任意一條，則該二叉樹就一定不是完全二叉樹。因此可采用按層次遍歷二叉樹的方法依次對(duì)每個(gè)結(jié)點(diǎn)進(jìn)行判斷是否滿足上述兩個(gè)條件。為此，需設(shè)兩個(gè)標(biāo)志變量BJ和CM，其中BJ表示已掃描過的結(jié)點(diǎn)是否均有左右孩子，CM存放局部判斷結(jié)果及最后的結(jié)果。具體算法如下：第 6 章 圖 課后習(xí)題講解 1. 填空題 ⑴ 設(shè)無向圖G中頂點(diǎn)數(shù)為n，則圖G至少有（ ）條邊，至多有（ ）條邊；若G為有向圖，則至少有（ ）條邊，至多有（ ）條邊。【解答】0，n(n1)/2，0，n(n1)【分析】圖的頂點(diǎn)集合是有窮非空的，而邊集可以是空集；邊數(shù)達(dá)到最多的圖稱為完全圖，在完全圖中，任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都存在邊。⑵ 任何連通圖的連通分量只有一個(gè)，即是（ ）。【解答】其自身⑶ 圖的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)主要有兩種，分別是（ ）和（ ）?！窘獯稹苦徑泳仃?，鄰接表【分析】這是最常用的兩種存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，此外，還有十字鏈表、鄰接多重表、邊集數(shù)組等。⑷ 已知無向圖G的頂點(diǎn)數(shù)為n，邊數(shù)為e，其鄰接表表示的空間復(fù)雜度為（ ）?！窘獯稹浚?n+e)【分析】在無向圖的鄰接表中，頂點(diǎn)表有n個(gè)結(jié)點(diǎn)，邊表有2e個(gè)結(jié)點(diǎn)，共有n+2e個(gè)結(jié)點(diǎn)，其空間復(fù)雜度為Ｏ(n+2e)=Ｏ(n+e)。⑸ 已知一個(gè)有向圖的鄰接矩陣表示，計(jì)算第j個(gè)頂點(diǎn)的入度的方法是（ ）?！窘獯稹壳蟮趈列的所有元素之和⑹ 有向圖G用鄰接矩陣A[n][n]存儲(chǔ)，其第i行的所有元素之和等于頂點(diǎn)i的（ ）?！窘獯稹砍龆娶?圖的深度優(yōu)先遍歷類似于樹的（ ）遍歷，它所用到的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是（ ）；圖的廣度優(yōu)先遍歷類似于樹的（ ）遍歷，它所用到的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是（ ）?！窘獯稹壳靶?，棧，層序，隊(duì)列⑻ 對(duì)于含有n個(gè)頂點(diǎn)e條邊的連通圖，利用Prim算法求最小生成樹的時(shí)間復(fù)雜度為（ ），利用Kruskal算法求最小生成樹的時(shí)間復(fù)雜度為（ ）。【解答】Ｏ(n2)，Ｏ(elog2e)【分析】Prim算法采用鄰接矩陣做存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，適合于求稠密圖的最小生成樹；Kruskal算法采用邊集數(shù)組做存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，適合于求稀疏圖的最小生成樹。⑼ 如果一個(gè)有向圖不存在（ ），則該圖的全部頂點(diǎn)可以排列成一個(gè)拓?fù)湫蛄??！窘獯稹炕芈发?在一個(gè)有向圖中，若存在弧、則在其拓?fù)湫蛄兄?，頂點(diǎn)vi, vj, vk的相對(duì)次序?yàn)椋?）?！窘獯稹縱i, vj, vk【分析】對(duì)由頂點(diǎn)vi, vj, vk組成的圖進(jìn)行拓?fù)渑判颉?. 選擇題⑴ 在一個(gè)無向圖中，所有頂點(diǎn)的度數(shù)之和等于所有邊數(shù)的（ ）倍。A 1/2 B 1 C 2 D 4【解答】C【分析】設(shè)無向圖中含有n個(gè)頂點(diǎn)e條邊，則 。⑵ n個(gè)頂點(diǎn)的強(qiáng)連通圖至少有（　　）條邊，其形狀是（ ）。A n B n+1 C n1 D n(n1)E 無回路　　　F 有回路　 　G 環(huán)狀　　 　H 樹狀【解答】A，G⑶ 含n 個(gè)頂點(diǎn)的連通圖中的任意一條簡(jiǎn)單路徑，其長(zhǎng)度不可能超過（ ）。A 1 B n/2 C n1 D n 【解答】C【分析】若超過n1，則路徑中必存在重復(fù)的頂點(diǎn)。⑷ 對(duì)于一個(gè)具有n個(gè)頂點(diǎn)的無向圖，若采用鄰接矩陣存儲(chǔ)，則該矩陣的大小是（ ）。A n B (n1)2 C n1 D n2【解答】D⑸ 圖的生成樹（　?。?，n個(gè)頂點(diǎn)的生成樹有（ ）條邊。A 唯一 　　　　B 不唯一　　 　C 唯一性不能確定D n E n +1 F n1【解答】C，F(xiàn)⑹ 設(shè)無向圖G=(V, E)和G39。 =(V39。, E39。 )，如果G39。 是G的生成樹，則下面的說法中錯(cuò)誤的是（ ）。A G39。 為 G的子圖 B G39。 為 G的連通分量C G39。 為G的極小連通子圖且V = V39。 D G39。 是G的一個(gè)無環(huán)子圖【解答】B【分析】連通分量是無向圖的極大連通子圖，其中極大的含義是將依附于連通分量中頂點(diǎn)的所有邊都加上，所以，連通分量中可能存在回路。⑺ G是一個(gè)非連通無向圖，共有28條邊，則該圖至少有（ ）個(gè)頂點(diǎn)。A 6 B 7 C 8 D 9 【解答】D【分析】n個(gè)頂點(diǎn)的無向圖中，邊數(shù)e≤n(n1)/2，將e=28代入，有n≥8，現(xiàn)已知無向圖非連通，則n=9。⑻ 最小生成樹指的是（ ） 。A 由連通網(wǎng)所得到的邊數(shù)最少的生成樹B 由連通網(wǎng)所得到的頂點(diǎn)數(shù)相對(duì)較少的生成樹C 連通網(wǎng)中所有生成樹中權(quán)值之和為最小的生成樹D 連通網(wǎng)的極小連通子圖⑼ 判定一個(gè)有向圖是否存在回路除了可以利用拓?fù)渑判蚍椒ㄍ?，還可以用（ ）。A 求關(guān)鍵路徑的方法　　　 B 求最短路徑的方法C 廣度優(yōu)先遍歷算法　　　 D 深度優(yōu)先遍歷算法【解答】D【分析】當(dāng)有向圖中無回路時(shí)，從某頂點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行深度優(yōu)先遍歷時(shí)，出棧的順序（退出DFSTraverse算法）即為逆向的拓?fù)湫蛄?。?下面關(guān)于工程計(jì)劃的AOE網(wǎng)的敘述中，不正確的是（ ）?br / A 關(guān)鍵活動(dòng)不按期完成就會(huì)影響整個(gè)工程的完成時(shí)間B 任何一個(gè)關(guān)鍵活動(dòng)提前完成，那么整個(gè)工程將會(huì)提前完成C 所有的關(guān)鍵活動(dòng)都提前完成，那么整個(gè)工程將會(huì)提前完成D 某些關(guān)鍵活動(dòng)若提前完成，那么整個(gè)工程將會(huì)提前完【解答】B【分析】AOE網(wǎng)中的關(guān)鍵路徑可能不止一條，如果某一個(gè)關(guān)鍵活動(dòng)提前完成，還不能提前整個(gè)工程，而必須同時(shí)提高在幾條關(guān)鍵路徑上的關(guān)鍵活動(dòng)。3. 判斷題⑴ 一個(gè)有向圖的鄰接表和逆鄰接表中的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)一定相等?！窘獯稹繉?duì)。鄰接表和逆鄰接表的區(qū)別僅在于出邊和入邊，邊表中的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)都等于有向圖中邊的個(gè)數(shù)。⑵ 用鄰接矩陣存儲(chǔ)圖，所占用的存儲(chǔ)空間大小只與圖中頂點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)，而與圖的邊數(shù)無關(guān)。【解答】對(duì)。鄰接矩陣的空間復(fù)雜度為Ｏ(n2)，與邊的個(gè)數(shù)無關(guān)。⑶ 圖G的生成樹是該圖的一個(gè)極小連通子圖【解答】錯(cuò)。必須包含全部頂點(diǎn)。⑷ 無向圖的鄰接矩陣一定是對(duì)稱的，有向圖的鄰接矩陣一定是不對(duì)稱的【解答】錯(cuò)。有向圖的鄰接矩陣不一定對(duì)稱，例如有向完全圖的鄰接矩陣就是對(duì)稱的。⑸ 對(duì)任意一個(gè)圖，從某頂點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行一次深度優(yōu)先或廣度優(yōu)先遍歷，可訪問圖的所有頂點(diǎn)?！窘獯稹垮e(cuò)。只有連通圖從某頂點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行一次遍歷，可訪問圖的所有頂點(diǎn)。⑹ 在一個(gè)有向圖的拓?fù)湫蛄兄校繇旤c(diǎn)a在頂點(diǎn)b之前，則圖中必有一條弧?！窘獯稹垮e(cuò)。只能說明從頂點(diǎn)a到頂點(diǎn)b有一條路徑。⑺ 若一個(gè)有向圖的鄰接矩陣中對(duì)角線以下元素均為零，則該圖的拓?fù)湫蛄斜囟ù嬖??！窘獯稹繉?duì)。參見第11題的證明。⑻ 在AOE網(wǎng)中一定只有一條關(guān)鍵路徑?br /【解答】錯(cuò)。AOE網(wǎng)中可能有不止一條關(guān)鍵路徑，他們的路徑長(zhǎng)度相同。4．n個(gè)頂點(diǎn)的無向圖，采用鄰接表存儲(chǔ)，回答下列問題?br /⑴ 圖中有多少條邊？⑵ 任意兩個(gè)頂點(diǎn)i和j是否有邊相連？⑶ 任意一個(gè)頂點(diǎn)的度是多少?br /【解答】⑴ 邊表中的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)之和除以2。⑵ 第i個(gè)邊表中是否含有結(jié)點(diǎn)j。⑶ 該頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的邊表中所含結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。5．n個(gè)頂點(diǎn)的無向圖，采用鄰接矩陣存儲(chǔ)，回答下列問題：⑴ 圖中有多少條邊？⑵ 任意兩個(gè)頂點(diǎn)i和j是否有邊相連？⑶ 任意一個(gè)頂點(diǎn)的度是多少？【解答】⑴ 鄰接矩陣中非零元素個(gè)數(shù)的總和除以2。⑵ 當(dāng)鄰接矩陣A中A[i][j]=1（或A[j][i]=1）時(shí)，表示兩頂點(diǎn)之間有邊相連。⑶ 計(jì)算鄰接矩陣上該頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的行上非零元素的個(gè)數(shù)。6．證明：生成樹中最長(zhǎng)路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)的度均為１?！窘獯稹坑梅醋C法證明。設(shè)v1, v2, …, vk是生成樹的一條最長(zhǎng)路徑，其中，v1為起點(diǎn)，vk為終點(diǎn)。若vk的度為2，取vk的另一個(gè)鄰接點(diǎn)v，由于生成樹中無回路，所以，v在最長(zhǎng)路徑上，顯然v1, v2, …, vk , v的路徑最長(zhǎng)，與假設(shè)矛盾。所以生成樹中最長(zhǎng)路徑的終點(diǎn)的度為1。同理可證起點(diǎn)v1的度不能大于1，只能為1。7．已知一個(gè)連通圖如圖66所示，試給出圖的鄰接矩陣和鄰接表存儲(chǔ)示意圖，若從頂點(diǎn)v1出發(fā)對(duì)該圖進(jìn)行遍歷，分別給出一個(gè)按深度優(yōu)先遍歷和廣度優(yōu)先遍歷的頂點(diǎn)序列?！窘獯稹苦徑泳仃嚤硎救缦拢荷疃葍?yōu)先遍歷序列為：v1 v2 v3 v5 v4 v6廣度優(yōu)先遍歷序列為：v1 v2 v4 v6 v3 v5鄰接表表示如下：8．圖67所示是一個(gè)無向帶權(quán)圖，請(qǐng)分別按Prim算法和Kruskal算法求最小生成樹?！窘獯稹堪碢rim算法求最小生成樹的過程如下：按Kruskal算法求最小生成樹的過程如下：9．對(duì)于圖68所示的帶權(quán)有向圖，求從源點(diǎn)v1到其他各頂點(diǎn)的最短路徑?！窘獯稹繌脑袋c(diǎn)v1到其他各頂點(diǎn)的最短路徑如下表所示。源點(diǎn) 終點(diǎn) 最短路徑 最短路徑長(zhǎng)度v1 v7 v1 v7 7v1 v5 v1 v5 11v1 v4 v1 v7 v4 13v1 v6 v1 v7 v4 v6 16v1 v2 v1 v7 v2 22v1 v3 v1 v7 v4 v6 v3 2510．如圖69所示的有向網(wǎng)圖，利用Dijkstra算法求從頂點(diǎn)v1到其他各頂點(diǎn)的最短路徑?！窘獯稹繌脑袋c(diǎn)v1到其他各頂點(diǎn)的最短路徑如下表所示。源點(diǎn) 終點(diǎn) 最短路徑 最短路徑長(zhǎng)度v1 v3 v1 v3 15v1 v5 v1 v5 15v1 v2 v1 v3 v2 25v1 v6 v1 v3 v2 v6 40v1 v4 v1 v3 v2 v4 4511．證明：只要適當(dāng)?shù)嘏帕许旤c(diǎn)的次序，就能使有向無環(huán)圖的鄰接矩陣中主對(duì)角線以下的元素全部為0?！窘獯稹咳我鈔個(gè)結(jié)點(diǎn)的有向無環(huán)圖都可以得到一個(gè)拓?fù)湫蛄小ＴO(shè)拓?fù)湫蛄袨関0v1v2…vn1，我們來證明此時(shí)的鄰接矩陣A為上三角矩陣。證明采用反證法。假設(shè)此時(shí)的鄰接矩陣不是上三角矩陣，那么，存在下標(biāo)i和j（ij），使得A[i][j]不等于零，即圖中存在從vi到vj的一條有向邊。由拓?fù)湫蛄械亩x可知，在任意拓?fù)湫蛄兄校瑅i的位置一定在vj之前，而在上述拓?fù)湫蛄衯0v1v2…vn1中，由于ij，即vi的位置在vj之后，導(dǎo)致矛盾。因此命題正確。12. 算法設(shè)計(jì)⑴ 設(shè)計(jì)算法，將一個(gè)無向圖的鄰接矩陣轉(zhuǎn)換為鄰接表?！窘獯稹肯仍O(shè)置一個(gè)空的鄰接表，然后在鄰接矩陣上查找值不為零的元素，找到后在鄰接表的對(duì)應(yīng)單鏈表中插入相應(yīng)的邊表結(jié)點(diǎn)。鄰接矩陣存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)定義如下：const int MaxSize=10。template struct AdjMatrix{