【正文】 (27)????XtAStN???由以上得到的窄帶遠場信號的 DOA 數(shù)學(xué)模型進行 MUSIC 算法的分析：因為在窄帶遠場信號的 DOA 數(shù)學(xué)模型為 (28)????XtAStN???陣列數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為 (29)22HEHHSRSIARI????????????由于信號與噪聲相互獨立，數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣可分解為與信號、噪聲相關(guān)的兩部分，其中 是信號的協(xié)方差矩陣， 是信號部分。s Hs對 R 進行特征分解有 (210)HHSNRU???式中， 是由大特征值對應(yīng)的特征矢量張成的子空間也即信號子空間，而s是由小特征值對應(yīng)的特征矢量張成的子空間也即噪聲子空間。在理想條件下數(shù)據(jù)空間中的信號子空間與噪聲子空間是相互正交的，即信號子空間中的導(dǎo)向矢量也與噪聲子空間正交 (211)??0HNU???經(jīng)典的 MUSIC 算法正式基于上述這個性質(zhì)提出的，但考慮到實際接收數(shù)據(jù)矩陣是有限長的，即數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的最大似然估計為XV (212)39。1LHiRX???對 進行特征分解可計算得到噪聲子空間特征矢量矩陣 。由于噪聲的39。 39。NU存在， 與 并不能完全正交，也就是說式(24)并不成立。因此，實際上????39。NU求 DOA 是以最小優(yōu)化搜索實現(xiàn)的，即 (213)????39。39。argminHHMUSICNU????所以，MUSIC 算法的譜估計公式為 (214)????39。39。1MUSICHHNP????若信號源相干，則(214)式不成立，即失效，在仿真中驗證。MUSIC 算法的計算步驟如下：(1)有陣列的接收數(shù)據(jù)得到數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣 ；(2)對 進行特征分解；(3)對 的特征值進行信號源判斷；(4)確定信號子空間 與噪聲子空間 ；(5)根據(jù)信號參數(shù)范圍由式(214) 進行譜峰搜索； (6)找出極大值點對應(yīng)的角度就是信號入射方向。　MUSIC 算法性能分析MUSIC 算法的在各種情況下的性能比較分析： （1）非相干信號源，取兩個信號 0 和 20 度，信噪比是 5dB,快拍數(shù)是 800點，陣元數(shù)為 8 個，結(jié)果如圖 21, 這兩個角度能很好的126,70fHzfz?分辨出來。XVI10 80 60 40 20 0 20 40 60 80 1035302520151050MUSICDOA/degreSpectrum/dBMUSIC 圖 21　MUSIC 譜估計圖 圖 22　MUSIC 譜估計圖 （2）非相干信號源，取兩個信號 0 和 20 度，信噪比是5dB,快拍數(shù)是 800點，陣元數(shù)為 8 個，結(jié)果如圖 22, 這兩個角度還是能很126,70fHzfz?好的分辨出來。（3）非相干信號源，取兩個信號 0 和 20 度，信噪比是20dB,快拍數(shù)是 800點，陣元數(shù)為 8 個，結(jié)果如圖 23, 126,70fzfz結(jié)果如圖 23 這兩個角度分辨率已經(jīng)降低，說明信噪比對 MUSIC 算法有很大影響，分辨率大大降低但在低信噪比下仍可分辨出角度。 圖 23　MUSIC 譜估計圖（4）非相干信號源，取兩個信號 0 和 2 度，信噪比是 5dB,快拍數(shù)是 800點，陣元數(shù)為 8 個。結(jié)果如圖 24,這兩個角度不能很好的分辨出來。這說明 MUSIC 算法對角度的分辨并不能達到無窮小。10 80 60 40 20 0 20 40 60 80 1020181614121086420MUSICDOA/degreSpectrum/dBMUSIC10 80 60 40 20 0 20 40 60 80 0MUSICDOA/degreSpectrum/dBMUSIC10 80 60 40 20 0 20 40 60 80 10454035302520151050MUSICDOA/degreSpectrum/dBMUSICXVII 圖 24　MUSIC 譜估計圖（5）取兩個信號 0 和 5 度，信噪比是 5dB,快拍數(shù)是 800 點，陣元數(shù)為 8個 結(jié)果如圖 25,這兩個角度不能很好的分辨出來。MUSIC 算法不具備良好的分辨性能了。 圖 25　MUSIC 譜估計圖通過以上分析可以看出，MUSIC 算法在信噪比低的情況下，會有影響，且分辨率較低。（6）取兩個信源 0 度和 20 度，信噪比是 5dB 且相干, 快1260fHz?拍數(shù)是 800 點，陣元數(shù)為 8結(jié)果如圖 26 表明，MUSIC 算法在相干信源下已經(jīng)失效 圖 26　MUSIC 譜估計圖10 80 60 40 20 0 20 40 60 80 1035302520151050MUSICDOA/degreSpectrum/dBMUSIC10 80 60 40 20 0 20 40 60 80 105MUSICDOA/degreSpectrum/dBMUSICXVIII這兩個角度能被很好的分辨出來的均方根誤差與信噪比關(guān)系如圖 38。由圖可以看出 MUSIC 算法的精確度很高，而且隨著信噪比增大，分辨的誤差越來越小，說明 MUSIC 算法可分辨的角度也越來越小。 圖 27　MUSIC 算法均方根誤差圖 圖 28　MUSIC 分辨率圖 由以上各種情況下的性能分析可以看出，MUSIC 算法在非相干信號源情況下有較良好的估計結(jié)果。但隨著信噪比的下降和估計角度分辨率要求的增加，MUSIC 算法會差生較大的誤差。所以，MUSIC 算法還需要進一步的改進。為提高其能夠在相干信源下，且提高分辨率，就產(chǎn)生了空間平滑算法。3　空間平滑算法　空間平滑算法概述MUSIC 算法在理想條件下具有良好的性能，但在信號源相干時算法的性能變得很壞。從相干信號源的數(shù)學(xué)模型可知，當(dāng)信號源完全相干時，陣列接收的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的秩為 1，顯然這就會導(dǎo)致信號子空間的維數(shù)小于信號源數(shù)。也就是說信號子空間“擴散”到了噪聲子空間，這會導(dǎo)致某些相干源的導(dǎo)向矢量與噪聲子空間不完全正交，從而無法正確估計信號源方向。所以解相干的核心問題是如何通過一系列處理或變換使得信號協(xié)方差矩陣的秩得到有效恢復(fù)，4 2 0 2 4 6 1位位位/dB位位位位MUSIC5 6 7 8 9 10 1 12 13 14 位位位/dB位位位位位/位MUSICXIX從而正確估計信號源的方向?？臻g平滑法是針對一般超分辨算法不能解相干而提出的一種有效方法，它在一般情況下只適用于均勻線陣（ULA） 。下面簡要介紹空間平滑 MUSIC 法　空間平滑算法原理　前向空間平滑算法對于一窄帶情況下的均勻線陣，第 個陣元接收的數(shù)據(jù)為l ????1 1,.NllilixtastnlM??????式中， ， ， 為陣元數(shù)， 為信號源數(shù)。0iljliae???/l idcN其中 為均勻線陣的間距， 為信號傳播速度。另外，對于均勻線陣，令dc2sin,1.,i N????空間平滑技術(shù)的原理如圖 31 所示，將均勻線陣(M 個陣元)分成相互交錯的 個子陣，每個子陣的陣元數(shù)為 ，即有LmMLl??? 圖 31　前向空間平滑算法原理如圖 31 所示，取第一個子陣（一般為最左邊子陣）為參考子陣，則對于第 個子陣有數(shù)據(jù)模型k (41)????????111,TkkkmkxtxADstnt????????…其中 是子陣列的方向矩陣，對于均勻線列陣而言是 維的范德蒙矩A Km?陣于是該子陣數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣為12[,]kjjjdaigee???D? 12+1…1 …??1xt2??1Lxt?XX????112HkkksRADAI?????前向空間平滑 MUSIC 方法對滿秩協(xié)方差矩陣的恢復(fù)是通過求各子陣協(xié)方差矩陣的均值來實現(xiàn)的，即取前向平滑修正的協(xié)方差矩陣為其中 (42)????11LHiifssiRD????在全相干環(huán)境中， 的秩為1，故 可以用一個矢量的相乘來表示，即ssR，Hs=d其中 ，把它代入(42)式得 ??T12K,d. (43)1Lf(i)H(i)Hsi=RDCL式中， (44)[]2C,??顯然 的秩等于 的秩fs將(44)進一步簡化可得 ： (45)TLA?式中 ， 是 范德蒙矩陣12(,)Kdaigd??? ()?K? (46)1[,]LLL?a? (47)(1)()kkjjTke????由于 ， ，故)rank????min,TLran?A，((i(,)fs KRC只要滿足 ，則 ，即秩可以恢復(fù)到源數(shù) 。L?fskRK由以上可知，若 ， ，則可將 個相干源轉(zhuǎn)變?yōu)楠毩⒃矗藭r?L?陣列的有效陣元數(shù)減少到 ，所需的陣元數(shù) 最少應(yīng)為 ，mNmin12LK????說明對 個相干源處理，陣元數(shù)要犧牲 個。K1K?????1122 =Lfi HiisifSRADAII?????????????XXI前向空間平滑算法的步驟：(1)先把陣列分成大小為 ，相互重疊的 個子陣列；mL(2)構(gòu)造 ；12[,]kjjjdiagee???D?(3)計算所有子陣列協(xié)方差的平均值，即 ；fR(4)對 進行特征值分解，利用MUSIC算法，判定信號入射角度；fR　后向空間平滑 圖 42 后向空間平滑算法原理圖如果不按圖 41 劃分子陣，而按圖 42 劃分子陣，即采用后向平滑的方法劃分子陣，則第 個子陣數(shù)據(jù)矢量i (48)????12,TbiMiiMmixtx?????????比較式(42)和式(41)可得如下關(guān)系，即前向第 個子陣與后向第 個k1pk??子陣存在如下關(guān)系： ??????11b kpkk kxtJxtADstJnt??????????????其中， 為 維的交換矩陣。m所以后向平滑第 個子陣的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣為Lk (49)????*11**21 HkkbSRJARDAJI???????又因為 所以式(49)可以寫成如下形式：??*mJAD????22*21mkkb HLkSI??????12m+1…M1 …??bxt2??1bLxt?tXXII則后向空間平滑修正的數(shù)據(jù)矩陣為 其中， (410)????221LmiibSSiRDR??????如果子陣陣元數(shù) ，則當(dāng) 時前向空間平滑數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣 和N?LfR后向空間平滑數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣 均是滿秩的，即協(xié)方差矩陣的秩得到有效恢復(fù)，b可以用 MUSIC 算法進行 DOA 估計。其計算方法與前向空間平滑相同不再贅述?！∏昂笙蚩臻g平滑單向平滑雖然可以解決相干信號的問題，但犧牲的陣元個數(shù)太多，所以，通常采用前后向平滑技術(shù)，即取前向平滑和后向平滑協(xié)方差矩陣的算術(shù)平均值作為前后向平滑協(xié)方差矩陣，其表達式為 (411)??12fbfbssR??對于前后向平滑，只要滿足 即可將平滑信號協(xié)方差矩陣的秩恢復(fù)/LK?為 ，此時最小陣元數(shù)為K (412)mN231in ?????犧牲陣元數(shù)相比前向平滑減少了很多。同樣的理由，對于 個信源，其中K有 個相干源，其最小陣元數(shù)為J (413)KJL??2min前后向空間平滑算法的步驟：????122*21 =LfbiimimiHSibHSRARDAII?????