【正文】 號Γ表示)的極座標圖。反射系數(shù)也可以從數(shù)學上定義為單端口散射參數(shù)，即s11。 史密斯圓圖是通過驗證阻抗匹配的負載產生的。這里我們不直接考慮阻抗，而是用反射系數(shù)ΓL，反射系數(shù)可以反映負載的特性(如導納、增益、跨導)，在處理RF頻率的問題時ΓL更加有用。 我們知道反射系數(shù)定義為反射波電壓與入射波電壓之比:圖3. 負載阻抗 負載反射信號的強度取決于信號源阻抗與負載阻抗的失配程度。反射系數(shù)的表達式定義為： 由于阻抗是復數(shù)，反射系數(shù)也是復數(shù)。 為了減少未知參數(shù)的數(shù)量，可以固化一個經(jīng)常出現(xiàn)并且在應用中經(jīng)常使用的參數(shù)。這里Zo(特性阻抗)通常為常數(shù)并且是實數(shù)，是常用的歸一化標準值，如50Ω、75Ω、100Ω和600Ω。于是我們可以定義歸一化的負載阻抗： 據(jù)此，將反射系數(shù)的公式重新寫為：從上式我們可以看到負載阻抗與其反射系數(shù)間的直接關系。但是這個關系式是一個復數(shù)，所以并不實用。我們可以把史密斯圓圖當作上述方程的圖形表示。為了建立圓圖，方程必需重新整理以符合標準幾何圖形的形式(如圓或射線)。首先，；并且，得到兩個獨立的關系式：。這個方程是在復平面(Γr, Γi)上、圓的參數(shù)方程(xa)2+ (yb)178。 = R178。，它以(r/r+1, 0)為圓心，半徑為1/1+r.更多細節(jié)參見圖4a。 圖4a. 圓周上的點表示具有相同實部的阻抗。例如，r＝1的圓，以(, 0)為圓心。它包含了代表反射零點的原點(0, 0) (負載與特性阻抗相匹配）。以(0，0)為圓心、半徑為1的圓代表負載短路。負載開路時，圓退化為一個點(以1，0為圓心，半徑為零)。與此對應的是最大的反射系數(shù)1，即所有的入射波都被反射回來。 在作史密斯圓圖時，有一些需要注意的問題。下面是最重要的幾個方面： 所有的圓周只有一個相同的，唯一的交點(1, 0)。 代表0Ω、也就是沒有電阻(r = 0)的圓是最大的圓。 無限大的電阻對應的圓退化為一個點(1, 0) 實際中沒有負的電阻，如果出現(xiàn)負阻值，有可能產生振蕩。 選擇一個對應于新電阻值的圓周就等于選擇了一個新的電阻。作圖。同樣，(Γr, Γi)上的圓的參數(shù)方程(xa)178。 + (yb)178。 = R178。,它的圓心為(1, 1/x)，半徑1/x。更多細節(jié)參見圖4b。 圖4b. 圓周上的點表示具有相同虛部x的阻抗。例如，x=1的圓以(1, 1)為圓心，半徑為1。所有的圓(x為常數(shù))都包括點(1, 0)。與實部圓周不同的是，x既可以是正數(shù)也可以是負數(shù)。這說明復平面下半部是其上半部的鏡像。所有圓的圓心都在一條經(jīng)過橫軸上1點的垂直線上。完成圓圖為了完成史密斯圓圖，我們將兩簇圓周放在一起?？梢园l(fā)現(xiàn)一簇圓周的所有圓會與另一簇圓周的所有圓相交。若已知阻抗為r + jx，只需要找到對應于r和x的兩個圓周的交點就可以得到相應的反射系數(shù)。可互換性上述過程是可逆的，如果已知反射系數(shù)，可以找到兩個圓周的交點從而讀取相應的r和x的值。過程如下：確定阻抗在史密斯圓圖上的對應點找到與此阻抗對應的反射系數(shù)(Γ)已知特性阻抗和Γ，找出阻抗將阻抗轉換為導納找出等效的阻抗找出與反射系數(shù)對應的元件值(尤其是匹配網(wǎng)絡的元件，見圖7)推論因為史密斯圓圖是一種基于圖形的解法，所得結果的精確度直接依賴于圖形的精度。下面是一個用史密斯圓圖表示的RF應用實例：例:已知特性阻抗為50Ω，負載阻抗如下：Z1= 100 + j50Ω Z2= 75 j100Ω Z3= j200Ω Z4= 150ΩZ5= ∞ (開路) Z6= 0 (短路) Z7= 50Ω Z8= 184 j900Ω對上面的值進行歸一化并標示在圓圖中(見圖5)：z1= 2 + j z2= j2 z3= j4 z4= 3z5= 8 z6= 0 z7= 1 z8= j18S圖5. 史密斯圓圖上的點 現(xiàn)在可以通過圖5的圓圖直接解出反射系數(shù)Γ。畫出阻抗點(等阻抗圓和等電抗圓的交點)，只要讀出它們在直角坐標水平軸和垂直軸上的投影，就得到了反射系數(shù)的實部Γr和虛部Γi (見圖6)。該范例中可能存在八種情況，在圖6所示史密斯圓圖上可以直接得到對應的反射系數(shù)Γ：Γ1= + Γ2= Γ3= + Γ4= Γ5= 1 Γ6= 1 Γ7= 0 Γ8= 圖6. 從XY軸直接讀出反射系數(shù)Γ的實部和虛部用導納表示史密斯圓圖是用阻抗(電阻和電抗)建立的。一旦作出了史密斯圓圖，就可以用它分析串聯(lián)和并聯(lián)情況下的參數(shù)?？梢蕴砑有碌拇?lián)元件，確定新增元件的影響只需沿著圓周移動到它們相應的數(shù)值即可。然而，增加并聯(lián)元件時分析過程就不是這么簡單了，需要考慮其它的參數(shù)。通常，利用導納更容易處理并聯(lián)元件。我們知道，根據(jù)定義Y = 1/Z，Z = 1/Y。導納的單位是姆歐或者Γ1(早些時候導納的單位是西門子或S)。并且，如果Z是復數(shù)，則Y也一定是復數(shù)。所以Y = G + jB (), 其中G叫作元件的“電導”，B稱“電納”。在演算的時候應該小心謹慎，按照似乎合乎邏輯的假設，可以得出：G = 1/R及B = 1/X，然而實際情況并非如此，這樣計算會導致結果錯誤。用導納表示時，第一件要做的事是歸一化， y = Y/Yo，得出 y = g + jb。但是如何計算反射系數(shù)呢？通過下面的式子進行推導：結果是G的表達式符號與z相反，并有Γ(y) = Γ(z).如果知道z，就能通過將的符號取反找到一個與(0，0)的距離相等但在反方向的點。圍繞原點旋轉180176?？梢缘玫酵瑯拥慕Y果(見圖7)。圖7. 180176。度旋轉后的結果 當然，表面上看新的點好像是一個不同的阻抗，實際上Z和1/Z表示的是同一個元件。(在史密斯圓圖上，不同的值對應不同的點并具有不同的反射系數(shù)，依次類推)出現(xiàn)這種情況的原因是我們的圖形本身是一個阻抗圖，而新的點代表的是一個導納。因此在圓圖上讀出的數(shù)值單位是姆歐。 盡管用這種方法就可以進行轉換，但是在解決很多并聯(lián)元件電路的問題時仍不適用。導納圓圖 在前面的討論中，我們看到阻抗圓圖上的每一個點都可以通過以Γ復平面原點為中心旋轉180176。后得到與之對應的導納點。于是，將整個阻抗圓圖旋轉180176。就得到了導納圓圖。這種方法十分方便，它使我們不用建立一個新圖。所有圓周的交點(等電導圓和等電納圓)自然出現(xiàn)在點(1, 0)。使用導納圓圖，使得添加并聯(lián)元件變得很容易。在數(shù)學上，導納圓圖由下面的公式構造：解這個方程接下來，我們得到兩個新的獨立的關系：，我們可以推導出下面的式子：它也是復平面 (Γr, Γi)上圓的參數(shù)方程(xa)178。 + (yb) 178。 = R178。 ()，以(g/g+1, 0)為圓心，半徑為1/(1+g)。，我們可以推導出下面的式子：同樣得到(xa)178。 + (yb)178。 = R178。型的參數(shù)方程()。求解等效阻抗 當解決同時存在串聯(lián)和并聯(lián)元件的混合電路時，可以使用同一個史密斯圓圖，在需要進行從z到y(tǒng)或從y到z的轉換時將圖形旋轉。 考慮圖8所示網(wǎng)絡(其中的元件以Zo= 50Ω進行了歸一化)。串聯(lián)電抗(x)對電感元件而言為正數(shù)，對電容元件而言為負數(shù)。而電納(b)對電容元件而言為正數(shù)，對電感元件而言為負數(shù)。圖8. 一個多元件電路 這個電路需要進行簡化(見圖9)。從最右邊開始，有一個電阻和一個電感，數(shù)值都是1，我們可以在r＝1的圓周和I＝1的圓周的交點處得到一個串聯(lián)等效點，即點A。下一個元件是并聯(lián)元件，我們轉到導納圓圖(將整個平面旋轉180176。)，此時需要將前面的那個點變成導納，記為A39?，F(xiàn)在我們將平面旋轉180176。，于是我們在導納模式下加入并聯(lián)元件，沿著電導圓逆時針方向(負值)，得到點B。然后又是一個串聯(lián)元件。現(xiàn)在我們再回到阻抗圓圖。圖9. 將圖8網(wǎng)絡中的元件拆開進行分析 在返回阻抗圓圖之前，還必需把剛才的點轉換成阻抗(此前是導納)，變換之后得到的點記為B39。，用上述方法，將圓圖旋轉180176?；氐阶杩鼓Ｊ?。，注意是逆時針移動(負值)。進行同樣的操作可增加下一個元件(進行平面旋轉變換到導納)，沿著等電導圓順時針方向(因為是正值)移動指定的距離()。這個點記為D。最后，我們回到阻抗模式增加最后一個元件(串聯(lián)電感)。于是我們得到所需的值，z。至此，得出z＝ + 。如果系統(tǒng)的特性阻抗是50Ω,有 Z = 10 + j25Ω (見圖10)。圖10. 在史密斯圓圖上畫出的網(wǎng)絡元件逐步進行阻抗匹配 史密斯圓圖的另一個用處是進行阻抗匹配。這和找出一個已知網(wǎng)絡的等效阻抗是相反的過程。此時，兩端(通常是信號源和負載)阻抗是固定的，如圖12所示。我們的目標是在兩者之間插入一個設計好的網(wǎng)絡已達到合適的阻抗匹配。圖11. 阻抗已知而元件未知的典型電路 初看起來好像并不比找到等效阻抗復雜。但是問題在于有無限種元件的組合都可以使匹配網(wǎng)絡具有類似的效果，而且還需考慮其它因素(比如濾波器的結構類型、品質因數(shù)和有限的可選元件)。 實現(xiàn)這一目標的方法是在史密斯圓圖上不斷增加串聯(lián)和并聯(lián)元件、直到得到我們想要的阻抗。從圖形上看，就是找到一條途徑來連接史密斯圓圖上的點。同樣，說明這種方法的最好辦法是給出一個實例。 我們的目標是在60MHz工作頻率下匹配源阻抗(ZS)和負載阻抗(ZL) (見圖12)。網(wǎng)絡結構已經(jīng)確定為低通，L型(也可以把問題看作是如何使負載轉變成數(shù)值等于ZS的阻抗，即ZS復共軛)。下面是解的過程：圖12. 圖11的網(wǎng)絡，將其對應的點畫在史密斯圓圖上 要做的第一件事是將各阻抗值歸一化。如果沒有給出特性阻抗，選擇一個與負載/信號源的數(shù)值在同一量級的阻抗值。假設 Zo為50Ω。于是 zS= , z*S= + , ZL= 2 。 下一步，在圖上標出這兩個點，A代表zL，D代表Z*S 然后判別與負載連接的第一個元件(并聯(lián)電容)，先把zL轉化為導納，得到點A39。 確定連接電容C后下一個點出現(xiàn)在圓弧上的位置。由于不知道C的值，所以我們不知道具體的位置，然而我們確實知道移動的方向。并聯(lián)的電容應該在導納圓圖上沿順時針方向移動、直到找到對應的數(shù)值，得到點B (導納)。下一個元件是串聯(lián)元件，所以必需把B轉換到阻抗平面上去，得到B39。B39。必需和D位于同一個電阻圓上。從圖形上看，從A39。到D只有一條路徑，但是如果要經(jīng)過中間的B點(也就是B39。)，就需要經(jīng)過多次的嘗試和檢驗。在找到點B和B39。后，我們就能夠測量A39。到B和B39。到D的弧長，前者就是C的歸一化電納值，后者為L的歸一化電抗值。A39。到B的弧長為b = ，則B = x Yo= 。因為ωC = B,所以 C = B/ω = B/(2πf) = (2π607) = 。B到D的弧長為 x = ,于是X = x Zo= 60Ω。 由ωL = X, 得L = X/ω = X/(2πf) = 60/(2π607) = 159nH?？偨Y 在擁有功能強大的軟件和高速、高性能計算機的今天，人們會懷疑在解決電路基本問題的時候是否還需要這樣一種基礎和初級的方法。 實際上，一個真正的工程師不僅應該擁有理論知識，更應該具有利用各種資源解決問題的能力。在程序中加入幾個數(shù)字然后得出結果的確是件容易的事情，當問題的解十分復雜、并且不唯一時，讓計算機作這樣的工作尤其方便。然而，如果能夠理解計算機的工作平臺所使用的基本理論和原理，知道它們的由來，這樣的工程師或設計者就能夠成為更加全面和值得信賴的專家，得到的結果也更加可靠。參考文獻[1] S. 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