【正文】 特性，這是格林函數(shù)積分方程法的優(yōu)點(diǎn)之一。此外，格林函數(shù)在解決電磁場(chǎng)和直流電場(chǎng)的積分方程法和邊界單元法等方法中有著廣泛的應(yīng)用。因?yàn)榛陔姶艌?chǎng)的積分方程的數(shù)值模擬中，只有源分布的區(qū)域中才存在未知量，源點(diǎn)的散射或者輻射場(chǎng)已知，所有的信息都包含在格林函數(shù)積分方程中，格林函數(shù)確定的話，場(chǎng)點(diǎn)的場(chǎng)就可以確定。近年來，計(jì)算機(jī)仿真的高速化和電磁建模的精確化，廣大學(xué)者致力于研究平面分層參考系統(tǒng)中的電磁散射、輻射。FDTD用于時(shí)域問題的求解中，但是對(duì)于復(fù)雜的邊界條件卻很難處理，并且存在截?cái)嗾`差和網(wǎng)格色散的問題需要處理。積分方程方法主要用于頻域問題的求解中，關(guān)鍵在于建立分層參考系統(tǒng)的格林函數(shù)。而求解矢量源偶極子的散射和輻射是格林函數(shù)積分方程法求解分層參考系統(tǒng)問題的關(guān)鍵。格林函數(shù)積分方程法包括格林函數(shù)體積積分方程法、格林張量面積積分方程法和格林函數(shù)表面積分方程法。矢量源確定，再根據(jù)目標(biāo)的疊加關(guān)系來建立這些積分方程的數(shù)學(xué)模型，場(chǎng)點(diǎn)的場(chǎng)就可以計(jì)算出來。本論文著重討論電偶極子對(duì)應(yīng)的電場(chǎng)型格林函數(shù)。格林函數(shù)是點(diǎn)源所產(chǎn)生的位或者場(chǎng)，是模型對(duì)于點(diǎn)源的響應(yīng)。源為標(biāo)量源時(shí)，格林函數(shù)為標(biāo)量格林函數(shù)[46,47]；源為矢量電流源，其相應(yīng)格林函數(shù)為并矢格林函數(shù)[46,47]。并矢格林函數(shù)法是處理電磁場(chǎng)問題的一種系統(tǒng)理論和有效方法，它彌補(bǔ)了坐標(biāo)變換法的不足。 并矢的定義并矢以符號(hào)表示，它定義為矢量與的乘積，即，式中矢量稱為前元素，矢量稱為后元素。已知在直角坐標(biāo)系中， () ()因此將此表示式代入式中，得知并矢可表示為： ()由此可見并矢可由三階矩陣表示為顯然該矩陣的9個(gè)元素中僅有6個(gè)是獨(dú)立變量，這是一種特殊的并矢。一般說來，一個(gè)并矢應(yīng)該有9個(gè)獨(dú)立系數(shù)，即 ()若令 () () () ()則并矢可用三個(gè)矢量，表示為由上式可見，一個(gè)并矢代表了三個(gè)矢量，所以并矢函數(shù)比矢量函數(shù)包含更多的信息。在電磁理論中，每當(dāng)要同時(shí)設(shè)計(jì)三個(gè)矢量函數(shù)時(shí)，使用并矢可以獲得更為簡潔的表示，能夠簡化三個(gè)標(biāo)量的運(yùn)算。如果標(biāo)量為零階張量，矢量為一階張量，那么，并矢可以當(dāng)作二階張量。 并矢格林函數(shù)的空間表示并矢格林函數(shù)通過聯(lián)系電場(chǎng)與電流密度 ()由于是波動(dòng)方程 ()的解，由以上兩式可得 ()并矢Green函數(shù)是一種點(diǎn)源函數(shù)，但此點(diǎn)源不是標(biāo)量，而是位于處的單位并矢。對(duì)于任何非齊次的二階微分方程都可以定義相應(yīng)的Green函數(shù)。不同的微分方程定義的Green函數(shù)具有不通的形式。在直角坐標(biāo)系中，并矢Green函數(shù)可以表示為 ()式中，，可以成為矢量Green函數(shù)。單位并矢在直角坐標(biāo)系中，可表示為 ()可分解為下面三個(gè)矢量方程： () () ()下面由電流源產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度導(dǎo)出并矢Green函數(shù)的表達(dá)式。電場(chǎng)強(qiáng)度與矢量磁位的關(guān)系在Lorentz規(guī)范下應(yīng)為： ()式中在自由空間中應(yīng)為 ()式中為三維空間的Green函數(shù)，即 ()設(shè)電流源為 ()則它在全空間產(chǎn)生的矢量磁位為 ()因此該電流源式產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為 ()將電流源式()代入的波動(dòng)方程式()得 ()將此式與式()對(duì)比可知，矢量Green函數(shù)與電場(chǎng)強(qiáng)度滿足的微分方程完全相同，因此，兩者在全空間的解應(yīng)該相同，所以可表示為 ()同理， () ()將式()、()、()代入式()得 ()其中，所以，并矢格林函數(shù)的9個(gè)分量可表示為： 因此，用矩陣表示為： ()全空間并矢格林函數(shù)滿足下列輻射條件：式中，為矢量的單位矢量。如果場(chǎng)的觀察點(diǎn)處于內(nèi)，則可能為0，當(dāng)，變?yōu)槠娈?，而?xiàng)作用于后產(chǎn)生的項(xiàng)，所以積分項(xiàng)不收斂。 并矢格林函數(shù)奇異性的處理由于在應(yīng)用格林函數(shù)時(shí)會(huì)遇到格林函數(shù)奇異性的問題，即其在源區(qū)域的內(nèi)部，當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)重合時(shí)，格林函數(shù)為無窮大，積分出現(xiàn)奇異性。在利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)，會(huì)導(dǎo)致溢出，使得計(jì)算無法進(jìn)行下去或者得到無意義的結(jié)果。針對(duì)這一實(shí)際問題，國內(nèi)外很多學(xué)者用進(jìn)行了廣泛的研究，運(yùn)用不同的方法消除格林函數(shù)的奇異性[48]。目前，標(biāo)量格林函數(shù)奇異性問題的處理方法有：挖去法、級(jí)數(shù)展開法、繞開法和解析法等；并矢格林函數(shù)奇異性問題的處理方法有：分量處理法、源并矢法和擬源并矢法等處理方法。并矢格林函數(shù)分為電并矢格林函數(shù)和磁并矢格林函數(shù)，下面主要討論了消除并矢格林函數(shù)奇異性的方法。1. 分量處理法并矢格林函數(shù)有9個(gè)分量，分別對(duì)這些分量進(jìn)行奇異性消除。針對(duì)于各個(gè)分量的不同的特點(diǎn)，進(jìn)行分析，選擇合適處理標(biāo)量格林函數(shù)的方法進(jìn)行處理。2. 源并矢法Van J B等人[49]對(duì)源區(qū)域內(nèi)的并矢格林函數(shù)進(jìn)行了研究。Arthua D．Yaghjian在對(duì)電并矢格林函數(shù)進(jìn)行研究的基礎(chǔ)上，總結(jié)并給出了處理源區(qū)域內(nèi)的電張量并矢格林函數(shù)奇異性的方法，稱為源并矢法。表達(dá)式如下：上式電場(chǎng)的積分計(jì)算中含有電并矢格林函數(shù)。如果需要計(jì)算場(chǎng)源體積（r∈V）中的場(chǎng)，則必須引入主體積用于排除r=r’處的奇異性。利用源并矢法處理奇異性：將源區(qū)域分為兩部分和，其中為奇異點(diǎn)的小鄰域，積分中對(duì)區(qū)域上的積分沒有奇異性，對(duì)存在奇異性的進(jìn)行去極化，將對(duì)應(yīng)的體積分轉(zhuǎn)化到對(duì)小鄰域表面的面積分。這種情況下，源并矢給出排除體積的去極化，并且完全依賴于主體積的幾何形狀：式中，為鄰域表面的法向矢量，為方向的單位矢量，． 源并矢示意圖 Sketch diagram of the source dyadic 通過源并矢進(jìn)而消除了奇異性后，方程變?yōu)橄率剑? () 不同形狀的三維小鄰域的源并矢 The source dyadicof different 3D small neighborhood小鄰域形狀源并矢球體立方體圓盤針狀體直立橢球體如Yaghjian 所指出，體積分的值也會(huì)隨著主體積形狀而改變，只有在最正確的方法里，才能保證體積加表面的積分與主體積的幾何形狀無關(guān)。對(duì)于不同的形狀的小鄰域，所對(duì)應(yīng)的源并矢是不同的，不同形狀的小鄰域所對(duì)應(yīng)的源并矢。3. 擬源并矢法在研究直流電場(chǎng)的擬解析近似方法時(shí)，直流電場(chǎng)的核函數(shù)磁并矢格林函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式與電并矢格林函數(shù)的表達(dá)不一樣。因此，適用于電并矢格林函數(shù)奇異性處理的方法不適用于磁并矢格林函數(shù)奇異性的消除。在處理直流電場(chǎng)積分方程的奇異性時(shí)，得到了擬源并矢方法。直流電場(chǎng)異常電場(chǎng)的內(nèi)部場(chǎng)的計(jì)算公式：從上式中可以看出，磁并矢格林函數(shù)存在積分方程中。利用擬源并矢法處理奇異性：將積分域分為兩部分分和，對(duì)存在奇異性的上的體積分進(jìn)行近似處理，得到消除奇異性后的方程為： ()三維目標(biāo)散射的一種典型的技術(shù)是矩量法（Method of Moments，MOM），基于混合電位電場(chǎng)積分方程（MixedPotential Electric Field Integral Equation，MPIE），利用Michalski和Zheng提出的Rao–Wilton–Glission基本函數(shù)[50]。這一算法的巨大優(yōu)勢(shì)是只有格林函數(shù)中的Sommerfeld積分，而沒有與之相關(guān)的場(chǎng)，收斂速度更快。不幸的是，這一算法只能計(jì)算理想導(dǎo)體目標(biāo)，并給出導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電流。計(jì)算三維目標(biāo)散射的另一種方法是基于電場(chǎng)積分方程（electric field integral equation，EFIE）和脈沖基函數(shù)的矩量法（method of moments，MOM）[51]。這一方法可以計(jì)算多層電介質(zhì)和導(dǎo)電目標(biāo)，其中包括導(dǎo)體表面上的散射場(chǎng)和感應(yīng)電流（或介質(zhì)目標(biāo)的內(nèi)部場(chǎng)）。然而，這一方法需考慮更多的Sommerfeld積分。隨著格林函數(shù)空間對(duì)稱性的使用[52]，Xiong和Tripp提出了一種有效的方法，可以減少導(dǎo)電介質(zhì)中格林函數(shù)的Sommerfeld積分。無論哪一種方法是用于目標(biāo)問題，將會(huì)有一個(gè)共同的困難：Sommerfeld積分的計(jì)算，這是非常費(fèi)時(shí)的。一般來說，這樣問題的計(jì)算有三個(gè)瓶頸：矩陣分量、矩陣求逆和散射場(chǎng)的計(jì)算。對(duì)于中等大小的散射體，在涉及積分計(jì)算的矩陣分量和散射場(chǎng)的計(jì)算中的CPU耗時(shí)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于在矩陣求逆中的耗時(shí)。因此，研究Sommerfeld積分的快速計(jì)算方法是必要的。在TM波入射的2D情況下，加速Sommerfeld積分計(jì)算的詳細(xì)過程已經(jīng)被描述。然而，這不能直接用于3D情況，因?yàn)楦窳趾瘮?shù)和Sommerfeld積分更復(fù)雜。在本論文中，研究適用于3D目標(biāo)EM散射和輻射的快速算法，推導(dǎo)了格林函數(shù)的一種新的形式，這樣可以減少基于嵌入目標(biāo)的Sommerfeld積分項(xiàng)，同時(shí)給出了沿最陡下降路徑積分的計(jì)算實(shí)例，實(shí)現(xiàn)了積分的快速計(jì)算。在Sommerfeld積分的快速計(jì)算的基礎(chǔ)上，分析和計(jì)算了半空間任意方向電偶極子的輻射。假定任意方向電偶極子在半空間，如圖1所示。半空間由相對(duì)介電常數(shù)和磁導(dǎo)率、和、分別表示。一般，上半空間是自由空間和。時(shí)諧因子是假定的和可控制的。 半空間中任意電偶極子 An arbitrarily oriented electric dipole buried in a half space.令，其中。如果偶極子位于均勻空間，和。然后，得到電場(chǎng)公式中。利用得到譜域中z分量上的電場(chǎng)：公式中各個(gè)符號(hào)定義為：，，。在這一部分，將給出直角坐標(biāo)中偶極子的譜域表達(dá)式。對(duì)于主要場(chǎng)，利用并矢格林函數(shù)9個(gè)分量的表達(dá)式和的計(jì)算公式，得到： () () ()當(dāng)時(shí)。于是。對(duì)于反射場(chǎng)，有 ()公式中， ()其中，對(duì)于半空間，反射系數(shù)為：，因此，當(dāng)，可以表示為 ()考慮到的表達(dá)式和上面公式，可以由表示 ()于是， ()其中。對(duì)變量作變換，得和。公式()的雙重積分變成單重積分為 ()利用Bessel’s函數(shù)，有?？紤]到Hankel函數(shù)的對(duì)稱性，式()式可以寫成 ()聯(lián)系公式()和()得到： ()其中，和是Sommerfeld積分的其他表達(dá)式，由下式定義 () ()由公式()知，反射場(chǎng)中只涉及4個(gè)sommerfeld積分，和。這些積分計(jì)算是快速有效的。 Sommerfeld積分的快速計(jì)算在這一部分，研究Sommerfeld積分的快速計(jì)算。為了得到參考數(shù)值，考慮沿著原路徑和修改路徑的積分。1. 沿著原路徑和修改路徑的積分選擇式()和式()的積分形式計(jì)算沿著原路徑（Original Path，OP）的積分。在這種情況下，OP是沿著正方向的實(shí)部。數(shù)值結(jié)果表明沿著這一路徑的積分是相當(dāng)耗時(shí)。舉個(gè)例子，當(dāng)利用高斯求積法時(shí)。當(dāng)，（這里和之后的討論，代表波長），積分的100個(gè)點(diǎn)的計(jì)算。除了耗時(shí)，當(dāng)?shù)闹敌〉臅r(shí)候（），精確性差[53]。加速積分計(jì)算的一種簡單的方法是修正OP為ROP（Revised Original Path，ROP）。因?yàn)樵贠P和ROP之間沒有奇異點(diǎn)，這一改變可以直接的實(shí)現(xiàn)。，的選擇對(duì)于沿ROP的積分十分重要。建議的值是（是自由空間的波數(shù)）。如果太小，計(jì)算時(shí)間將很長。對(duì)于和OP同樣的情況，沿ROP的積分。在這里，設(shè)置。在這樣的結(jié)果中，當(dāng)，積分的精確性也很好[53]。 原路徑和修改路徑 Original path and revised original path(a) (b) (c) 最陡下降路徑 Steepest descent paths2. 沿最陡下降路徑的積分從公式()和式()中所表示的開始分析。簡單地處理以后，可以寫成 () ()其中，是慢變函數(shù)。比較()和()與二維情況中的積分I(m, n)，有相同的指數(shù)因子。因此可以采用文獻(xiàn)[53]中相同的方法處理。然而，鞍點(diǎn)為，(a)中所示，最陡下降路徑（the steepest descent path，SDP）經(jīng)過。(a)中，當(dāng)，如或者，最陡下降路徑不經(jīng)過分支和。在這種情況下，原始路徑（的實(shí)軸）將直接轉(zhuǎn)變