【正文】 特性，這是格林函數(shù)積分方程法的優(yōu)點之一。此外，格林函數(shù)在解決電磁場和直流電場的積分方程法和邊界單元法等方法中有著廣泛的應(yīng)用。因為基于電磁場的積分方程的數(shù)值模擬中，只有源分布的區(qū)域中才存在未知量，源點的散射或者輻射場已知，所有的信息都包含在格林函數(shù)積分方程中，格林函數(shù)確定的話，場點的場就可以確定。近年來，計算機(jī)仿真的高速化和電磁建模的精確化，廣大學(xué)者致力于研究平面分層參考系統(tǒng)中的電磁散射、輻射。FDTD用于時域問題的求解中，但是對于復(fù)雜的邊界條件卻很難處理，并且存在截斷誤差和網(wǎng)格色散的問題需要處理。積分方程方法主要用于頻域問題的求解中，關(guān)鍵在于建立分層參考系統(tǒng)的格林函數(shù)。而求解矢量源偶極子的散射和輻射是格林函數(shù)積分方程法求解分層參考系統(tǒng)問題的關(guān)鍵。格林函數(shù)積分方程法包括格林函數(shù)體積積分方程法、格林張量面積積分方程法和格林函數(shù)表面積分方程法。矢量源確定，再根據(jù)目標(biāo)的疊加關(guān)系來建立這些積分方程的數(shù)學(xué)模型，場點的場就可以計算出來。本論文著重討論電偶極子對應(yīng)的電場型格林函數(shù)。格林函數(shù)是點源所產(chǎn)生的位或者場，是模型對于點源的響應(yīng)。源為標(biāo)量源時，格林函數(shù)為標(biāo)量格林函數(shù)[46,47]；源為矢量電流源，其相應(yīng)格林函數(shù)為并矢格林函數(shù)[46,47]。并矢格林函數(shù)法是處理電磁場問題的一種系統(tǒng)理論和有效方法，它彌補(bǔ)了坐標(biāo)變換法的不足。 并矢的定義并矢以符號表示，它定義為矢量與的乘積，即，式中矢量稱為前元素，矢量稱為后元素。已知在直角坐標(biāo)系中， () ()因此將此表示式代入式中，得知并矢可表示為： ()由此可見并矢可由三階矩陣表示為顯然該矩陣的9個元素中僅有6個是獨(dú)立變量，這是一種特殊的并矢。一般說來，一個并矢應(yīng)該有9個獨(dú)立系數(shù)，即 ()若令 () () () ()則并矢可用三個矢量，表示為由上式可見，一個并矢代表了三個矢量，所以并矢函數(shù)比矢量函數(shù)包含更多的信息。在電磁理論中，每當(dāng)要同時設(shè)計三個矢量函數(shù)時，使用并矢可以獲得更為簡潔的表示，能夠簡化三個標(biāo)量的運(yùn)算。如果標(biāo)量為零階張量，矢量為一階張量，那么，并矢可以當(dāng)作二階張量。 并矢格林函數(shù)的空間表示并矢格林函數(shù)通過聯(lián)系電場與電流密度 ()由于是波動方程 ()的解，由以上兩式可得 ()并矢Green函數(shù)是一種點源函數(shù)，但此點源不是標(biāo)量，而是位于處的單位并矢。對于任何非齊次的二階微分方程都可以定義相應(yīng)的Green函數(shù)。不同的微分方程定義的Green函數(shù)具有不通的形式。在直角坐標(biāo)系中，并矢Green函數(shù)可以表示為 ()式中，，可以成為矢量Green函數(shù)。單位并矢在直角坐標(biāo)系中，可表示為 ()可分解為下面三個矢量方程： () () ()下面由電流源產(chǎn)生的電場強(qiáng)度導(dǎo)出并矢Green函數(shù)的表達(dá)式。電場強(qiáng)度與矢量磁位的關(guān)系在Lorentz規(guī)范下應(yīng)為： ()式中在自由空間中應(yīng)為 ()式中為三維空間的Green函數(shù)，即 ()設(shè)電流源為 ()則它在全空間產(chǎn)生的矢量磁位為 ()因此該電流源式產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為 ()將電流源式()代入的波動方程式()得 ()將此式與式()對比可知，矢量Green函數(shù)與電場強(qiáng)度滿足的微分方程完全相同，因此，兩者在全空間的解應(yīng)該相同，所以可表示為 ()同理， () ()將式()、()、()代入式()得 ()其中，所以，并矢格林函數(shù)的9個分量可表示為： 因此，用矩陣表示為： ()全空間并矢格林函數(shù)滿足下列輻射條件：式中，為矢量的單位矢量。如果場的觀察點處于內(nèi)，則可能為0，當(dāng)，變?yōu)槠娈?，而項作用于后產(chǎn)生的項，所以積分項不收斂。 并矢格林函數(shù)奇異性的處理由于在應(yīng)用格林函數(shù)時會遇到格林函數(shù)奇異性的問題，即其在源區(qū)域的內(nèi)部，當(dāng)場點和源點重合時，格林函數(shù)為無窮大，積分出現(xiàn)奇異性。在利用計算機(jī)進(jìn)行數(shù)值模擬時，會導(dǎo)致溢出，使得計算無法進(jìn)行下去或者得到無意義的結(jié)果。針對這一實際問題，國內(nèi)外很多學(xué)者用進(jìn)行了廣泛的研究，運(yùn)用不同的方法消除格林函數(shù)的奇異性[48]。目前，標(biāo)量格林函數(shù)奇異性問題的處理方法有：挖去法、級數(shù)展開法、繞開法和解析法等；并矢格林函數(shù)奇異性問題的處理方法有：分量處理法、源并矢法和擬源并矢法等處理方法。并矢格林函數(shù)分為電并矢格林函數(shù)和磁并矢格林函數(shù)，下面主要討論了消除并矢格林函數(shù)奇異性的方法。1. 分量處理法并矢格林函數(shù)有9個分量，分別對這些分量進(jìn)行奇異性消除。針對于各個分量的不同的特點，進(jìn)行分析，選擇合適處理標(biāo)量格林函數(shù)的方法進(jìn)行處理。2. 源并矢法Van J B等人[49]對源區(qū)域內(nèi)的并矢格林函數(shù)進(jìn)行了研究。Arthua D．Yaghjian在對電并矢格林函數(shù)進(jìn)行研究的基礎(chǔ)上，總結(jié)并給出了處理源區(qū)域內(nèi)的電張量并矢格林函數(shù)奇異性的方法，稱為源并矢法。表達(dá)式如下：上式電場的積分計算中含有電并矢格林函數(shù)。如果需要計算場源體積（r∈V）中的場，則必須引入主體積用于排除r=r’處的奇異性。利用源并矢法處理奇異性：將源區(qū)域分為兩部分和，其中為奇異點的小鄰域，積分中對區(qū)域上的積分沒有奇異性，對存在奇異性的進(jìn)行去極化，將對應(yīng)的體積分轉(zhuǎn)化到對小鄰域表面的面積分。這種情況下，源并矢給出排除體積的去極化，并且完全依賴于主體積的幾何形狀：式中，為鄰域表面的法向矢量，為方向的單位矢量，． 源并矢示意圖 Sketch diagram of the source dyadic 通過源并矢進(jìn)而消除了奇異性后，方程變?yōu)橄率剑? () 不同形狀的三維小鄰域的源并矢 The source dyadicof different 3D small neighborhood小鄰域形狀源并矢球體立方體圓盤針狀體直立橢球體如Yaghjian 所指出，體積分的值也會隨著主體積形狀而改變，只有在最正確的方法里，才能保證體積加表面的積分與主體積的幾何形狀無關(guān)。對于不同的形狀的小鄰域，所對應(yīng)的源并矢是不同的，不同形狀的小鄰域所對應(yīng)的源并矢。3. 擬源并矢法在研究直流電場的擬解析近似方法時，直流電場的核函數(shù)磁并矢格林函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式與電并矢格林函數(shù)的表達(dá)不一樣。因此，適用于電并矢格林函數(shù)奇異性處理的方法不適用于磁并矢格林函數(shù)奇異性的消除。在處理直流電場積分方程的奇異性時，得到了擬源并矢方法。直流電場異常電場的內(nèi)部場的計算公式：從上式中可以看出，磁并矢格林函數(shù)存在積分方程中。利用擬源并矢法處理奇異性：將積分域分為兩部分分和，對存在奇異性的上的體積分進(jìn)行近似處理，得到消除奇異性后的方程為： ()三維目標(biāo)散射的一種典型的技術(shù)是矩量法（Method of Moments，MOM），基于混合電位電場積分方程（MixedPotential Electric Field Integral Equation，MPIE），利用Michalski和Zheng提出的Rao–Wilton–Glission基本函數(shù)[50]。這一算法的巨大優(yōu)勢是只有格林函數(shù)中的Sommerfeld積分，而沒有與之相關(guān)的場，收斂速度更快。不幸的是，這一算法只能計算理想導(dǎo)體目標(biāo)，并給出導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電流。計算三維目標(biāo)散射的另一種方法是基于電場積分方程（electric field integral equation，EFIE）和脈沖基函數(shù)的矩量法（method of moments，MOM）[51]。這一方法可以計算多層電介質(zhì)和導(dǎo)電目標(biāo)，其中包括導(dǎo)體表面上的散射場和感應(yīng)電流（或介質(zhì)目標(biāo)的內(nèi)部場）。然而，這一方法需考慮更多的Sommerfeld積分。隨著格林函數(shù)空間對稱性的使用[52]，Xiong和Tripp提出了一種有效的方法，可以減少導(dǎo)電介質(zhì)中格林函數(shù)的Sommerfeld積分。無論哪一種方法是用于目標(biāo)問題，將會有一個共同的困難：Sommerfeld積分的計算，這是非常費(fèi)時的。一般來說，這樣問題的計算有三個瓶頸：矩陣分量、矩陣求逆和散射場的計算。對于中等大小的散射體，在涉及積分計算的矩陣分量和散射場的計算中的CPU耗時，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于在矩陣求逆中的耗時。因此，研究Sommerfeld積分的快速計算方法是必要的。在TM波入射的2D情況下，加速Sommerfeld積分計算的詳細(xì)過程已經(jīng)被描述。然而，這不能直接用于3D情況，因為格林函數(shù)和Sommerfeld積分更復(fù)雜。在本論文中，研究適用于3D目標(biāo)EM散射和輻射的快速算法，推導(dǎo)了格林函數(shù)的一種新的形式，這樣可以減少基于嵌入目標(biāo)的Sommerfeld積分項，同時給出了沿最陡下降路徑積分的計算實例，實現(xiàn)了積分的快速計算。在Sommerfeld積分的快速計算的基礎(chǔ)上，分析和計算了半空間任意方向電偶極子的輻射。假定任意方向電偶極子在半空間，如圖1所示。半空間由相對介電常數(shù)和磁導(dǎo)率、和、分別表示。一般，上半空間是自由空間和。時諧因子是假定的和可控制的。 半空間中任意電偶極子 An arbitrarily oriented electric dipole buried in a half space.令，其中。如果偶極子位于均勻空間，和。然后，得到電場公式中。利用得到譜域中z分量上的電場：公式中各個符號定義為：，，。在這一部分，將給出直角坐標(biāo)中偶極子的譜域表達(dá)式。對于主要場，利用并矢格林函數(shù)9個分量的表達(dá)式和的計算公式，得到： () () ()當(dāng)時。于是。對于反射場，有 ()公式中， ()其中，對于半空間，反射系數(shù)為：，因此，當(dāng)，可以表示為 ()考慮到的表達(dá)式和上面公式，可以由表示 ()于是， ()其中。對變量作變換，得和。公式()的雙重積分變成單重積分為 ()利用Bessel’s函數(shù)，有?？紤]到Hankel函數(shù)的對稱性，式()式可以寫成 ()聯(lián)系公式()和()得到： ()其中，和是Sommerfeld積分的其他表達(dá)式，由下式定義 () ()由公式()知，反射場中只涉及4個sommerfeld積分，和。這些積分計算是快速有效的。 Sommerfeld積分的快速計算在這一部分，研究Sommerfeld積分的快速計算。為了得到參考數(shù)值，考慮沿著原路徑和修改路徑的積分。1. 沿著原路徑和修改路徑的積分選擇式()和式()的積分形式計算沿著原路徑（Original Path，OP）的積分。在這種情況下，OP是沿著正方向的實部。數(shù)值結(jié)果表明沿著這一路徑的積分是相當(dāng)耗時。舉個例子，當(dāng)利用高斯求積法時。當(dāng)，（這里和之后的討論，代表波長），積分的100個點的計算。除了耗時，當(dāng)?shù)闹敌〉臅r候（），精確性差[53]。加速積分計算的一種簡單的方法是修正OP為ROP（Revised Original Path，ROP）。因為在OP和ROP之間沒有奇異點，這一改變可以直接的實現(xiàn)。，的選擇對于沿ROP的積分十分重要。建議的值是（是自由空間的波數(shù)）。如果太小，計算時間將很長。對于和OP同樣的情況，沿ROP的積分。在這里，設(shè)置。在這樣的結(jié)果中，當(dāng)，積分的精確性也很好[53]。 原路徑和修改路徑 Original path and revised original path(a) (b) (c) 最陡下降路徑 Steepest descent paths2. 沿最陡下降路徑的積分從公式()和式()中所表示的開始分析。簡單地處理以后，可以寫成 () ()其中，是慢變函數(shù)。比較()和()與二維情況中的積分I(m, n)，有相同的指數(shù)因子。因此可以采用文獻(xiàn)[53]中相同的方法處理。然而，鞍點為，(a)中所示，最陡下降路徑（the steepest descent path，SDP）經(jīng)過。(a)中，當(dāng)，如或者，最陡下降路徑不經(jīng)過分支和。在這種情況下，原始路徑（的實軸）將直接轉(zhuǎn)變