【正文】 個陣元在t時刻的接收信號排成一個列矢量，可得： (38)在理想情況下，陣列中每個陣元是各向同性且不存在通道不一致、互耦等因素，設第一個陣元為參考陣元，即：=0，=1，…，D，式(38)可以化簡為： (39)式中：；為向量省略符號；；。假設陣列為間距為的均勻直線陣，則各陣元之間的相對時延為： (310)式中：=2，…，M，=1，…，D。為聲速。 麥克風陣列近場信號模型本節(jié)主要討論麥克風陣列近場模型。當聲源位于基陣的近場區(qū)域內，其所產生的聲波波陣面是球面的，輻射的是球狀諧波，信號波前到達基陣時不能再看作平面波。假設系統(tǒng)由D個聲源，…，M個全向無差異麥克風，…，如圖31所示。圖31 麥克風陣列接收信號模型Fig. 31 Model of Microphone array received signal設聲源為點源，其位置矢量分別為：；其中， 表示第個陣元與Z軸的夾角，表示第個聲源在XOY平面的投影與X軸的夾角。陣元的位置矢量分別為，其中。設第個點聲源發(fā)出的信號為。由聲音傳播學可知，第個麥克風接收到來自第個點聲源的信號為： (311)式中：為聲音在大氣中傳播的幅度衰減因子；為信號的時延；為第個麥克風與個聲源之間的距離。則第一個麥克風(參考麥克風)接收到第個聲源的信號為： (312)對式(311)和式(312)進行傅立葉變換，可得： (313) (314)把式(313)代入式(314)中并取傅立葉反變換，可得： (315)定義第個麥克風與個信號的相對幅度衰減因子： (316)定義第個麥克風與個信號的相對時間延遲因子： (317)則第個麥克風接收到來自第個聲源的信號可以表示為： (318)由圖31的幾何關系可知： (319) (320)式中：是聲波波速，在室溫時取340m/s；表示向量的范數。則第個麥克風接收到的信號為： (321)式中：=1，…，M；=1，…，D；=1；=0；為第個麥克風接收到的噪聲。 麥克風陣列遠場信號模型本節(jié)主要討論麥克風陣列遠場模型。當聲源與麥克風陣列的距離較遠時，即，可以近似為1，即兩個麥克風之間的幅度衰減差異很小，可以近似認為相等。例如，聲源位置為=(300,400,200)，聲源與參考麥克風(坐標原點)的距離為= cm，麥克風的位置為=(10,0,0)，=10 cm時，=。此時麥克風接收信號之間的幅度差異很小，可以忽略，則式(318)可以簡化為： (322)此時，聲源位于麥克風陣列的遠場，麥克風接收的信號在頻域可以表示為： (323)實際上，當聲源與麥克風陣列相距較遠時，即，圖31中的矢量與聲源位置矢量可以看成是平行矢量，相對時延可以轉換成式(324)的形式： (324)在式(324)中，為聲源位置矢量與麥克風位置矢量的夾角，為矢量的單位矢量： (325)近場模型轉化為遠場模型如圖32所示。圖32 近場模型演化為遠場模型Fig. 32 Nearfield model evolvements to farfield model由于聲源距麥克風陣列很遠，可以采用近似的平面波前模型，聲源的位置矢量實際上只是一個方向而已，故用單位方向矢量來表示其位置信息。 信號模型的主要差異及應用場合當信源離麥克風陣列較近時，人們熟知的基于平面波前的遠場模型不再適用，必須采用更為精確也更為復雜的基于球面波前的近場模型。聲波在傳播過程中要發(fā)生幅度衰減，其幅度衰減因子與傳播距離成正比。信源到麥克風陣列各陣元的距離是不同的，因此聲波波前到達各陣元時，幅度也是不同的。近場模型和遠場模型最主要的區(qū)別在于是否考慮麥克風陣列各陣元因接收信號幅度衰減的不同所帶來的影響。對于遠場模型，信源到各陣元的距離差與整個傳播距離相比非常小，可忽略不計；對于近場模型，信源到各陣元的距離差與整個傳播距離相比較大，必須考慮各陣元接收信號的幅度差。當麥克風陣列系統(tǒng)應用于室內環(huán)境時，聲源位于麥克風陣列的距離在大部分情況下小于500 cm，麥克風陣列信號接收模型應采用精確的近場模型，信號波前為球面波波前，接收信號在時域可以用式(318)來描述。當麥克風系統(tǒng)應用于戶外環(huán)境，聲源與麥克風陣列相距較遠時，信號波前為平面波前，幅度衰減影響較小，可以采用簡化的式(322)來作為麥克風陣列的信號模型。 麥克風陣列的拓撲結構麥克風陣列的構建要考慮陣列的幾何結構、陣元間距、陣元個數和采用的麥克風類型等因素。在傳統(tǒng)的天線系統(tǒng)中，陣列的幾何結構為均勻直線陣、均勻圓陣等。均勻直線陣列由于結構簡單，同時間序列的采樣完全對應，可以采用絕大多數基于時間序列的算法，因此受到了極大的重視，應用也十分廣泛。 然而，均勻直線陣列也有很多局限性，適用于分扇區(qū)的測向系統(tǒng)，每一扇區(qū)均需一個直線陣，如扇區(qū)的照射角度為120度，整個系統(tǒng)需要呈三角形放置的三個直線陣。由于系統(tǒng)是分扇區(qū)工作，因此，在陣列處理中需要切換。圓形陣的陣元均勻分布在一個圓環(huán)上，不需要扇區(qū)切換，處理較為容易，得到了廣泛的應用。這些陣列一般是針對一維DOA系統(tǒng)設計的，用于二維或三維定位系統(tǒng)時，定位性能上不可避免有些缺陷。下面分別討論在麥克風陣列設計中，陣元間距、陣元個數、麥克風種類以及結構的選擇問題。 麥克風陣元間距陣元間距的選擇與信號源的頻率以及系統(tǒng)的采樣頻率密切相關。在子空間理論中，陣列接收一次數據(一次快拍)，就是對空間的一次采樣，陣列收到的是一次空間采用后的數據。對于均勻直線陣列，陣元間距相當于時間處理中的采樣頻率，因此必須滿足空間采樣定理，即陣元間距必須小于或等于波長的一半。設聲波波速為340 m/s，采樣頻率選擇16 KHz， ms， cm。為了保證兩個陣元之間接收信號所需要的空間信息，陣元間距應遠遠大于距離精度。 麥克風陣元個數陣元個數的選擇，應考慮子系統(tǒng)的成本和處理的難易程度。陣元個數選擇過少，陣列的空間信息太少，嚴重影響系統(tǒng)性能；過多又會增加成本和實現的難度。綜合考慮以上因素，麥克風陣列一般選擇4～20個陣元。 麥克風種類麥克風的種類很多，通常包括動圈式、電容式、壓電式等幾種。按照指向性可分為全向、心形指向和超心形指向等；依照內部結構的不同，分為動圈式、電容式、鋁帶式、炭粒式等；按產生電壓的作用原理不同，可分為恒速度式和恒幅度式兩類；按對話筒膜片作用力性質不同，可分為壓力式和壓差式兩類。用于定位系統(tǒng)的麥克風，一般選擇全向、電容式麥克風。理論分析時，均假設麥克風的體積遠遠小于陣列間距，從而可以將麥克風近似成一個點。 麥克風陣列結構選擇 一維陣列(均勻直線麥克風陣列) 最簡單的陣列結構為一維均勻直線陣列(ULA，uniform linear array)。把M個麥克風等間距地放置在一條直線上，就組成了均勻直線陣。陣元數目一般為6～18個，陣元間距為波長的一半。在麥克風陣列處理中，由于聲源的頻率在100～3400 Hz之間，在空氣中聲波的波長為10～340 cm。綜合考慮空間采樣定理、陣列尺寸等因素，陣元間距一般為6～15 cm。設M個全向麥克風均勻分布在X軸上，且陣元的坐標為： (326)由式(326)、(323)和式(324)，可得均勻直線陣列的接收信號模型，如式(327)所示： (327)式中：；；；為向量省略符號。 二維陣列(均勻圓形麥克風陣列) 二維均勻陣列，最常見的均勻圓形陣列(UCA，uniform circle array)。把M個麥克風等間角度地放置在一個半徑為的圓周上，就組成了均勻圓形陣。麥克風的個數一般選取6～20個，陣列的半徑一般選擇15～40 cm。設M個陣元均勻分布在以坐標原點為半徑，半徑為的XOY平面上，則陣元坐標為： (328)式中：，由式(328)、(323)和式(324)，可得到均勻圓形陣列的接收信號模型如式(329)所示： (329)式中：；；；為向量省略符號； 三維陣列(均勻球面麥陣列和三維均勻直線陣列) 從前面的討論可以看出，對于二維或三維定位問題，應該對二維或三維空間均勻采樣，即空間分布完全對稱的陣列，對每一個方向的增益大致相同，因此具有優(yōu)良的定位性能。按照對稱的原則，這里討論兩種三維陣列：均勻球面陣列(USA, Uniform Spherical Array)和三維均勻直線陣列。(1)均勻球面陣列 把M個麥克風均勻放在一個半徑為的球面上，組成均勻球面陣。按照等空間采樣，陣元個數一般選取8個(分別位于正六面體的8個頂點上)，12個(分別位于正20面體的12個頂點上)，20個(分別位于正12面體的20個頂點上)?；蛘甙吹冉嵌炔蓸樱x取18個(分別位于三個相互垂直的平面上，每個平面取8元均勻圓形陣)等。(2) 三維均勻直線陣列 把一維均勻直線陣推廣到三維空間，即三維均勻直線陣列。M個麥克風以間距均勻放在X、Y、Z軸上，組成三維均勻直線陣。 麥克風陣列結構性能評價從上面的討論可以看出，均勻直線陣列具有結構簡單，可選擇定位算法多，對應得算法復雜度較低等優(yōu)點，因此應用十分廣泛。但是，在整個360度范圍內定位時，必須分扇區(qū)工作，即由多個均勻直線陣列組成一個多邊形陣列，增加了系統(tǒng)復雜度和實現成本。如果只需要對部分區(qū)域定位(實際系統(tǒng)大多如此)，可以選擇均勻直線陣列。均勻圓形陣列在平面內定位性能十分優(yōu)越，在三維空間內定位性能也比較好，可以選擇的定位算法也很多，適合于絕大部分的定位系統(tǒng)。三維陣列結構較復雜，可以選擇的算法不是很豐富，實現成本較高，但是對三維空間定位性能好，適用于需要對三維空間定位的系統(tǒng)。 基于時間延遲的定位方法 角度距離定位法在一些實際的系統(tǒng)中，可提供的麥克風數量少，而且擺放比較固定，圖33就是一種由4個麥克風組成的典型麥克風陣列擺放方法。圖33 角度距離法麥克風擺放結構Fig. 33 Microphone placed structure with angle and distance method 假定麥克風2在原點，麥克風陣列中心與聲源的距離為，麥克風之間的間距為，聲源到各麥克風對的距離差為，，(距離差等于時間延遲乘以聲速)。當聲源離麥克風遠時，即變得很大時，根據第二章的近似，可以求得聲源相對原點和的水平角為： (330)聲源相對于原點和的仰角為： (331)聲源相對原點的距離可以由下推出。假定聲源坐標為，則麥克風1和3的坐標是和，可得： (332) (333)將移到方程的右邊并平方，得： (334) (335)兩式相加可得： (336) 球形插值法球形插值法根據多個麥克風對的時間延遲求得一組方程，并在滿足最小均方誤差準則下解這個方程組。下面給出詳細的推導過程。首先給出麥克風、和聲源的幾何關系圖如圖34所示。在圖中，，是到的矢量，是到聲源的矢量，是聲源到麥克風和間的距離差(由時延算法估計時間延遲再乘以聲速)。圖34 麥克風和聲源的幾何關系圖Fig. 34 Geometric relationships diagram between microphone and source由矢量幾何和三角形三邊關系可得： (337)將上式展開并整理得： (338)由于是通過估計時延得到的，自然與實際值相比有一個偏差，因此上式不為零，其誤差為： (339)假設有M個麥克風，記為(0，1，…，M1)，則可以估計出第(2，…，M1)個麥克風到第1個麥克風的距離差，從而根據式(339)得到M1個方程，將這些方程寫成矩陣形式，可得下式： (340)式中：；； 。由于和的非線性關系，這樣若將帶入(340)式，就不能給出線性最小均方意義下的聲源的估計值。而如果給定，則該方程相對于是線性的；反之，如果給定，則該方程相對于也是線性的。因此該方程的求解必需分為兩步，首先假設給定，可以求得當時，式(340)的均方誤差為最小，其中。然后將代入式(340)，可求得。將代入中，即可得到線性最小均方意義下聲源的估計值。 線性插值法線性插值法的基本麥克風擺放如圖35所示。圖35 線性插值法的麥克風擺放結構Fig. 35 Microphone placed structure with linear interpolation method其中麥克風和的連線與和的連線相互垂直平分，原點為。當聲源離麥克風距離比較遠時，根據第二章中的方向角估計的近似可得： (341) (342)式中：是聲源到麥克風和的距離差(等于時延乘以聲速)；聲源到麥克風和的距離差；是麥克風和間的距離；麥克風和的距離。由空間解析幾何可知，聲源就在由角和角唯一確定的直線上。用線性插值法實現聲源的定位需要多組如圖35擺放的麥克