【正文】 （二）換乘2次的情況換乘次數(shù)s為2時(shí)，從起點(diǎn)到終點(diǎn)所利用的公交線路總數(shù)=s+1=3，模型改寫成以下形式：.其中為從起點(diǎn)到終點(diǎn)所利用的公交線路總數(shù)；為乘客第k次乘坐公交時(shí)所乘坐的站數(shù)（換乘2次時(shí)，k=1，2，3）；為換乘的次數(shù)，s=n1；為乘客第k次乘坐公交時(shí)所需要的費(fèi)用。下面給出從起始站i到終點(diǎn)站j換乘2次時(shí)的求解步驟：step1:令m=n=1；step2:判斷是否為“0”，若非“0”，判斷是否為“0”，若非“0”， 判斷是否為“0”，若非“0”，判斷，是否相等，若，兩兩不等，記錄m，n ,，，。step3:判斷當(dāng)前記錄的，，，是否大于1000，從而來區(qū)分選擇公汽線路還是地鐵線路，并將大于1000的數(shù)據(jù)還原為公汽線路和地鐵線路信息，重新記錄m，n ,，，，；step4:n=n+1, 判斷n是否大于3957，若不大于，轉(zhuǎn)step2。step5:m=m+1, 判斷m是否大于3957，若不大于，轉(zhuǎn)step2。step6:計(jì)算所以可行線路方案需要的時(shí)間和費(fèi)用。由上述步驟，利用Matlab編程，可以得到換乘2次的情況下從任意起點(diǎn)到任意站點(diǎn)的可行線路選擇方案。我們將問題1中給出的6對(duì)起始站和終點(diǎn)站分別代入運(yùn)行，得到換乘2次時(shí)6對(duì)起始站到終點(diǎn)站之間最優(yōu)目標(biāo)為時(shí)間最少或費(fèi)用最少的最佳路線如下： 起點(diǎn)站終點(diǎn)站線路1中轉(zhuǎn)站1線路2中轉(zhuǎn)站2線路3時(shí)間費(fèi)用最優(yōu)目標(biāo)1S3359S1828L015(下)S2903L027(環(huán))S1784L167(下)733同時(shí)2S1557S0481L084(下)S1919L189(下)S3186L460(下)1063同時(shí)3S0971S0485L094(上)S0567T1S0466L051(上)965時(shí)間L013(下)S2517L296(環(huán))S2480L417(下)1063費(fèi)用4S0008S0073L200(上)S2534T1S0609L057(上)5時(shí)間L198(上)S1691L296(環(huán))S2184L345(上)673費(fèi)用5S0148S0485L024(下)S1487T1S0466L051(上)5時(shí)間L308(上)S0036L156(上)S3332L417(下)1063費(fèi)用6S0087S3676L216(下)S0400L099(上)S3874T25時(shí)間L021(下)S0088L231(環(huán))S0427L097(上)463費(fèi)用表11：換乘2次時(shí)6對(duì)起始站→終點(diǎn)站的最佳路線說明：時(shí)間和費(fèi)用相同的最優(yōu)方案同時(shí)存在多種，我們僅在此給出其中的一種方案。由問題1的評(píng)價(jià)中得到的結(jié)論：當(dāng)一條路線的時(shí)間、費(fèi)用和換乘次數(shù)均比另一條路線少時(shí)，認(rèn)為這條路線更優(yōu)，可以將第6對(duì)站點(diǎn)間換乘2次時(shí)得到的時(shí)間和費(fèi)用的最佳路線排除。七、問題三的建模問題1和問題2沒有考慮站點(diǎn)之間步行的情況，而在實(shí)際過程中，乘客可以選擇步行方式從一個(gè)站點(diǎn)到達(dá)另一站點(diǎn)。通過步行和乘坐公交的搭配有可能使時(shí)間或費(fèi)用減少。我們將建立兩種不同的模型，解決這個(gè)問題。模型1的核心思路是將所有站點(diǎn)之間的步行時(shí)間信息添加到問題2的矩陣A、B當(dāng)中，利用問題2中的算法直接求解；模型2的核心思路是直接利用問題2中所求得的結(jié)果，利用步行信息對(duì)其結(jié)果進(jìn)行分析，改進(jìn)。假設(shè)9 ：所有站點(diǎn)之間的步行時(shí)間均已知；假設(shè)10：公交行駛速度遠(yuǎn)大于步行速度。（全局替換模型）首先我們來分析一下步行的意義。根據(jù)假設(shè)，步行速度和公汽的速度差距還是很大的，因此如果乘客是沿著公交線路長距離行走那么步行耗時(shí)將大大多于乘車耗時(shí)，那么在什么樣的情況下步行比乘車更好呢？我們總結(jié)了兩種情況：一，公汽存在繞路的情況，即實(shí)際兩站點(diǎn)i,j距離很近，而公汽并不直接連接兩站卻因?yàn)槠渌蚶@行其他站點(diǎn)才到達(dá)，在這種情況下由步行從i站到j(luò)站的時(shí)間可能會(huì)比乘坐公交的時(shí)間短。二，雖然步行到其他公汽站點(diǎn)的時(shí)間變長了，但是經(jīng)過步行我們可能找到新的行車線路，如果步行時(shí)間加上新線路的時(shí)間少于原線路的時(shí)間時(shí)，即：時(shí)，步行就是有意義的。在第一問中，我們?yōu)榱朔从掣鱾€(gè)公交站點(diǎn)之間的線路聯(lián)系，構(gòu)造了公交站點(diǎn)相關(guān)矩陣A和直達(dá)公交線路矩陣B，公交站點(diǎn)相關(guān)矩陣A中的元素表示僅考慮公汽線路時(shí)，從公汽站i到公汽站j直達(dá)（只乘坐一輛公交就可到達(dá)）行駛所經(jīng)過最少的路段數(shù)目（ij），即公汽站i到公汽站j相關(guān)聯(lián)，在直達(dá)公交線路矩陣B中相應(yīng)位置存放的元素為兩公汽站點(diǎn)間的線路號(hào)。第二問中由于有地鐵的參與使得公交站點(diǎn)之間的聯(lián)系更加豐富，即公交站點(diǎn)相關(guān)矩陣A中的非零元素個(gè)數(shù)變多，第二問的思路是通過轉(zhuǎn)化將地鐵線路的信息也寫入矩陣A中，然后用第一問的模型求解。第三問中，由于步行的存在，也使得公交站點(diǎn)之間的聯(lián)系更加豐富，因此我們延續(xù)第二問的思路，將步行增加的信息也寫入矩陣A，從而轉(zhuǎn)化為第一問的模型來求解。具體方法如下：（1）由于步行給出的是各個(gè)站點(diǎn)間的時(shí)間關(guān)系，而站點(diǎn)相關(guān)矩陣A中的元素是相距站點(diǎn)個(gè)數(shù)（公汽站或者地鐵站），因此我們要先對(duì)矩陣A中的元素進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將全部轉(zhuǎn)化為時(shí)間。在第二問中我們將直達(dá)公交線路矩陣B進(jìn)行了標(biāo)記來區(qū)分在站點(diǎn)相關(guān)矩陣A中相應(yīng)位置的元素代表的是公汽站數(shù)還是地鐵站數(shù)。如果是公汽站，則將3，表示從公汽站i到公汽站j直達(dá)（只乘坐一輛公交就可到達(dá)）行駛所需的最短時(shí)間；如果是地鐵站，則將，表示從公汽站i到公汽站j乘坐地鐵直達(dá)（只乘坐一次地鐵就可到達(dá)）行駛所需的最短時(shí)間；然后將公汽站i到公汽站j的步行時(shí)間與之比較。若乘車時(shí)間短（乘公汽或地鐵），則矩陣A和矩陣B均不變；若步行時(shí)間短，則將步行時(shí)間寫在，并將矩陣B中記為1，表示當(dāng)前從公汽站i到公汽站j最短時(shí)間為，方式為步行。對(duì)于原來無法直達(dá)的公汽站，即在矩陣A中為0的元素，現(xiàn)在因可以步行而存在聯(lián)系，將他們之間的步行時(shí)間經(jīng)判斷寫在中，因?yàn)槿舨叫袝r(shí)間過長是沒有實(shí)際意義的，所以我們只將步行時(shí)間較小的數(shù)據(jù)寫入，不妨設(shè)步行時(shí)間15分鐘的數(shù)據(jù)進(jìn)行寫入，同時(shí)將矩陣B中記為1，表示當(dāng)前從公汽站i到公汽站j最短時(shí)間為，方式為步行。而步行時(shí)間大于15分鐘的我們認(rèn)為兩站點(diǎn)之間仍然沒有聯(lián)系。（2）通過第一步對(duì)A、B矩陣的轉(zhuǎn)化我們已經(jīng)將步行信息寫入矩陣中，然后按照問題一的模型及程序可以直接計(jì)算當(dāng)前情況下任意兩站點(diǎn)之間的最短時(shí)間的線路，輸出的線路號(hào)碼時(shí)若出現(xiàn)1則說明該段是步行。模型評(píng)價(jià)：本模型的核心仍然是圍繞著對(duì)A、B矩陣的修改，轉(zhuǎn)化為問題一的模型。我們對(duì)兩種情況分別將步行數(shù)據(jù)寫入。在寫入時(shí)我們做了判斷，在實(shí)際問題中相當(dāng)于以步行15分鐘為半徑做圓，只對(duì)該圓覆蓋到的公汽站點(diǎn)才進(jìn)行改寫，在圓外的站點(diǎn)因?yàn)椴叫袝r(shí)間過長而排除步行方式。本模型既考慮了因步行帶來的新聯(lián)系又排除了不切合實(shí)際的步行聯(lián)系。（局部替換模型） 模型2的建立是通過對(duì)問題一和問題二得出的數(shù)據(jù)分析而提出的局部替換模型。在前兩問所得數(shù)據(jù)中我們發(fā)現(xiàn)了在有的乘車方案中出現(xiàn)了某些線路只乘坐了1站就下車的情況，通過模型假設(shè)可知，沿公汽線路步行所用時(shí)間一定比乘坐公交行駛時(shí)間長，而且隨著距離的變大兩種方式的時(shí)間差距會(huì)越來越大。但是如果只有1站路程則差距不會(huì)很大。而如果步行通過這一站路的話就可以節(jié)省等車時(shí)間。若節(jié)省的等車時(shí)間大于步行比公汽多花費(fèi)的時(shí)間則說明步行比乘車更快，并且可以節(jié)省車費(fèi)。本模型更具有實(shí)際意義，因?yàn)槿藗兊男睦硎遣辉敢獾溶嚨模械娜松踔练浅Ｓ憛挼溶?，所以這類人在沒有特別緊急的情況下寧愿多花費(fèi)幾分鐘走路也不愿意等車，因此即使選擇步行會(huì)造成總時(shí)間略微增加也會(huì)有人選擇步行。此外，選擇步行可以減少公交的堵塞擁擠，同時(shí)步行鍛煉身體，對(duì)身體健康還是有不少益處的。八、模型進(jìn)一步改進(jìn)我們的模型可以給出任意兩站點(diǎn)之間只乘公汽或者任意選擇公交兩種情況下的最優(yōu)路線，并且在都滿足最少時(shí)間或者最少費(fèi)用的情況下還有可能得出多組最優(yōu)解。當(dāng)系統(tǒng)將這多組乘車方式給乘客之后，乘客通過我們的模型將無法判斷到底應(yīng)該乘坐哪條線路。因此，我們將模型進(jìn)行改進(jìn)，增加一個(gè)目標(biāo)函數(shù)。假設(shè)每條公交線路都具有一個(gè)反饋系統(tǒng)，用來反映當(dāng)前情況下各線路的滿載程度，用符號(hào)R表示，對(duì)于“滿載度”，下面給出它的定義：定義1：某一條線路的“滿載度” ，用等級(jí)0，1，2，3，4，5來標(biāo)志，數(shù)字越大表示線路越繁忙（其中5表示線路已滿載，不能再搭乘更多的乘客，若“滿載度”為5，即使時(shí)間和費(fèi)用都為最少，系統(tǒng)也不能將本路線顯示給乘客）。定義2：從起點(diǎn)到站點(diǎn)利用多條線路時(shí)，整個(gè)方案的“滿載度”為方案中利用的各條線路的“滿載度”的最大值。將“滿載度”作為一個(gè)目標(biāo)加入模型當(dāng)中，改進(jìn)模型如下：.九、模型優(yōu)缺點(diǎn)模型優(yōu)點(diǎn)：我們對(duì)模型作了合理的假設(shè)：假設(shè)每個(gè)乘客從出發(fā)地到達(dá)目的地最多乘坐3輛公交車，并且從理論上證明了假設(shè)的合理性，所以在尋找最佳路線時(shí)我們僅搜索了利用1輛、2輛和3輛公交車的情況，使模型求解大大簡化。 我們所給出的模型和算法可以給出任意兩公汽站點(diǎn)之間的最佳路線，并不是拘泥于問題1中給出的6對(duì)站點(diǎn)。 求解時(shí)利用了矩陣的思想，對(duì)于不同的模型只要對(duì)矩陣進(jìn)行修改，就可以使算法具有通用性。 在模型改進(jìn)中加入的滿載度也非常具有實(shí)用價(jià)值。模型缺點(diǎn)： 構(gòu)造矩陣時(shí)，在兩個(gè)站點(diǎn)間同時(shí)存在幾條直達(dá)線路時(shí)，我們只記錄了一條最短的線路，而將其他線路省略了，所以有一些可行的方案我們沒有輸出，但這并不影響我們得到最佳的路線?？傊灸Ｐ退悸非逦?，簡潔明了，可操作性強(qiáng)，也不乏實(shí)用性及指導(dǎo)性。但是，我們雖然求出了最佳路線，卻并不能將所有的路線給出，這也是本模型的一點(diǎn)遺憾。十、參考文獻(xiàn)[1] 姜啟源. 謝金星. 葉俊. 數(shù)學(xué)模型（第三版）.[2] 陳慧南. 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)使用C++[3] 27