【正文】 96。t =T/4，即 249。196。t = π / 2 ，則式(26)和式(27)可以簡化為：12第 2 章數(shù)字濾波器及計算機算法2U 2 = u12 + u222I 2 = i12 + i22(28)(29)將式(23)和式(24)相除，并利用 u1和 u 2 的時間間隔為 π / 2 ，可得：tan 232。1u =u1u 2(210)上述關(guān)系表明，只要知道任意兩個相隔 π / 2 的正弦量的瞬時值，就可以很方便地計算出該正弦量的有效值和相位。若要求阻抗，可以根據(jù)上述結(jié)論，得：Z =u12 + u 22i12 + i22(211)232。 Z = arctan(u1i2 ? u 2i1u1i1 + u 2i2)(212)兩采樣值乘積算法具有如下特點：(1)由于采用了兩個相隔 π / 2 的采樣值，算法本身所需的數(shù)據(jù)窗長度為工頻的 1/4 周期，時延為 5 ms。(2)此算法是基于正弦波基礎(chǔ)上，因此要與帶通濾波器配合使用。(3)算法本身與采樣頻率無關(guān)，因此對采樣頻率無特殊要求，由于數(shù)據(jù)須先經(jīng)過數(shù)字濾波，故采樣頻率的選擇由所用的濾波器來確定。(4)算法本身無誤差。(5)算法中要進行較多的乘除運算，運算工作量較大。三采樣值乘積算法三采樣值乘積算法是利用三個連續(xù)的等時間間隔為 196。t 的采樣值，通過適當?shù)慕M合消去 249。t 項，以求出采樣值的幅值和相位的方法[20]。下面以電壓為例說明三采樣值乘積算法，設(shè)電壓表達式如下：u = 2 sin(249。t + 246。 + 232。 )(213)對上述電壓波形進行采樣，取任意 3 個連續(xù)采樣時刻為： t n 、t n?1 = t n ? 196。t 、 t n?2 = t n ? 2196。t ，對應(yīng)于上述 3 個時刻的電壓采樣值分別為：u n 、 u n?1 、 u n?2 ，可表示為：u n = 2U sin(249。t n + 246。 + 232。 )u n?1 = 2U sin(249。t n + 246。 + 232。 ? 249。196。t )13(214)(215)燕山大學工學碩士學位論文u n?2 = 2U sin(249。t n + 246。 + 232。 ? 2249。196。t)(216)將式(214)、(215)、(216)經(jīng)過一定的數(shù)學運算，求得電壓的有效值為：2U 2 =u 22 ? u1u 3sin 2 (249。196。t )(217)同理，可求得電流的有效值、測量電阻 R 及測量電抗 X 的表達式如下：2I 2 =i22 ? i1i3sin 2 (249。196。t)(218)u i + u3i3 ? u 2i2i1 + i32 ? i22u i ? u ii1 + i3 ? i2(219)(220)三采樣值乘積算法具有與兩采樣值乘積算法相似的特點，只是三采樣值乘積算法的響應(yīng)較快，它只需要等待 2249。196。t = π / 3 的時間，而兩采樣值乘積算法則需要等待 π / 2 的時間；其缺點是它需要用較多的乘除，其計算比兩采樣值乘積算法更加復雜。 導數(shù)算法導數(shù)算法也叫微分法。這種算法只需知道輸入正弦量在某一時刻 t1 的采樣值和該時刻的導數(shù)，即可算出其有效值和相位。以電流為例進行說明。設(shè) i1為 t1 時刻的電流瞬時值，表達式為：i1 = 2I sin(249。t1 + 225。 0 ) = 2I sin 225。 1則 t1 時刻電流的導數(shù)為：(221)i1′249。= 2I cos225。 1(222)由式(221)和式(222)可得電流的有效值為：i′249。(223)式(223)中， t1 時刻電流的導數(shù)，可以由采樣值求得。取 t1 為兩個相鄰的采樣時刻 n 和 n ? 1中間的某時刻，如圖 23 所示，然后用差分代替該點的導數(shù)：14R = 1 1 2X = 21 2 2 2 122I 2 = i12 + ( 1 ) 2第 2 章數(shù)字濾波器及計算機算法i1′ =1T S(in ? in?1 )(224)式中T S ——時刻 n 和 n ? 1中間的間隔時間。這相當于用直線 ab 的斜率來代替直線 mn 的斜率，顯然這是近似的，但當 T S 足夠小時，這種近似會有足夠的精度[21]。in ? 1t1n圖 23差分近似求導示意圖Fig. 23 Schematic drawing of difference approximate derivation上面所求得的導數(shù)是 t1 時刻的，但 t1 不在采樣點上，為了使采樣值與導數(shù)在同一點，可以用相鄰兩點采樣值取平均值i1 =12(in?1 + in )(225)再將式(224)和式(225)代入式(223)中即可求得電流的有效值。導數(shù)算法具有以下特點：(1)數(shù)據(jù)窗短，僅需兩個或三個采樣點。(2)運算工作量與采樣值乘積算法相似。(3)在導數(shù)時，由于用差分代替微分，因此算法的精度與采樣頻率有關(guān)。當采樣頻率越高時，這種近似的精確度越高。故采用此算法時，為達到一定的精度，要合理選擇采樣頻率。(4)本算法具有一定的抑制直流分量的能力，但對高次諧波具有放大作用，因此要求所配數(shù)字濾波器應(yīng)有良好的濾除高頻分量的能力。15燕山大學工學碩士學位論文傅氏算法前面所講的正弦函數(shù)算法要求輸入量為正弦函數(shù)，而實際的電力系統(tǒng)在故障狀態(tài)下輸入量不是純正弦函數(shù)，而是直流分量、基波和高次諧波的合成量。因此，若要采用前面介紹的算法，則要求預先對信號進行嚴格的濾波。濾波和算法總的計算時間和計算容量就比較大。本節(jié)所要講述的傅氏算法對輸入信號的要求就不那么嚴格，只要輸入信號可以看作周期函數(shù)或者可以近似地作為周期函數(shù)處理就可以采用傅氏算法進行運算。傅氏算法的基本思想來自傅立葉級數(shù)，它假設(shè)被采樣信號是一個周期性時間函數(shù)，除基波外還含有不衰減的直流分量和各次諧波。設(shè)該周期信號為 x(t ) ，它可表示為各次諧波分量的疊加：∞n=0(226)式中 n ——諧波的次數(shù)，n 為自然數(shù)，n=0，1，2，……；249。1——基波的角頻率；a n ——各次諧波正弦項的振幅；bn ——各次諧波余弦項的振幅。由于各次諧波的相位可能是任意的，所以把它分解成任意振幅的正弦項和余弦項之和。a1 和 b1 分別為基波分量的正、余弦項的振幅，a0 為直流分量的值。根據(jù)傅氏級數(shù)的原理，可求出 an 和 bn 分別為：式中T —— x(t ) 的周期。an =bn =2 T2 Tx(t ) sin(n249。1t )dtx(t) cos(n249。1t )dt(227)(228)繼電保護中感興趣的是基波分量(n=1)，基波分量可以表示為：x1 (t ) = a1 sin (249。1t ) + b1 cos (249。1t ) = 2 X sin (249。1t + 232。1 )(229)式中X ——基波分量的有效值；232。 ——當 t＝0 時基波分量的相角。16x ( ) = ∑ ?? ??t an sin ( n249。1t ) + bn cos ( n249。1t )T ∫ 0T ∫ 0第 2 章數(shù)字濾波器及計算機算法可以根據(jù) a1 和 b1 求出有效值和相角：X =a12 + b122(230)ba1(231)由上述計算公式可以看出，傅氏算法本身具有很強的濾波功能，它能濾除信號中的直流分量和高次諧波，因此，采用傅氏算法時無須再采用數(shù)字濾波。保護功能算法保護功能算法是一種根據(jù)繼電保護的功能或繼電器的動作特性，直接用采樣數(shù)據(jù)進行保護功能判斷的算法[22]。常用的保護功能算法有：移相算法、負序分量算法、繼電器特性算法、相電流突變量算法等。 移相算法已知電量 a = A sin 249。t ，欲將其移相232。 角。設(shè)第 n 個和第 n + k 個采樣值分別為：??an = A sin 249。t?(232)式中T S ——采樣間隔。由式(232)可得，移相232。 角后的波形為：a232。 = a n+ k ? a n = kA sin(249。t + 232。 )(233)式中k ——幅值系數(shù)， k = ? 2 ? 2 cos 249。T S ；232。 ——移相角度，232。 = arctgsin k249。T S1 ? cos k249。T S。 序分量算法在保護中，常用到序分量，特別是負序、零序分量的應(yīng)用更加廣泛。這是由于負序和零序分量只有在故障時才產(chǎn)生，它們具有不受負荷電流的17??an+ k = A sin(249。t + k249。T S)燕山大學工學碩士學位論文影響、靈敏度高等優(yōu)點。下面以電壓為例說明序分量元件的算法。采樣序列中三相電壓分別為 u a (n) 、 u b(n) 、 u c(n) ，對應(yīng) A 相電壓的各序分量序列為 u1 (n) 、 u 2 (n) 、 u 0 (n) ，相應(yīng)的計算公式如下：?3u1 (n) = u a (n) + au b(n) + a 2u c(n)?3u2 (n) = u a (n) + a 2u b(n) + au c(n)?? 0 a b c(234)式中o 1 32 2；o 1 32 2。采用移相算法，得出的電壓各序分量為：? 2 1??3 3?3u0 (n) = u a (n) + u b(n) + u c(n)N )(235)式中N ——每周期的采樣點數(shù)。若采樣頻率為 600 Hz，工頻為 50 Hz，則每周采樣點數(shù) N 為 12 個點，式(235)中算法的數(shù)據(jù)窗為 2 / 3 N，即 K=8。此外，根據(jù)移相原理還有數(shù)據(jù)窗 K=4，K=2，K=1 等算法，這些算法與數(shù)據(jù)窗 K=8 的算法在原理上是相同的，不同之處在于 a 和 a 2 的移相原則。如：在數(shù)據(jù)窗 K=2 的算法中，o o窗為 2。 繼電器算法繼電器特性算法是已知某種繼電器動作特性，用采樣值直接得到該繼電器特性方程的算法。方向阻抗繼電器算法方向阻抗繼電器的特性是在 R ? X 平面上通過坐標原點的圓，如圖 24 所示。它可由絕對值比較或相位比較方法構(gòu)18???3u (n) = u (n) + u (n) + u (n)a = e j120 = ? + ja 2 = e j240 = ? ? j?3u1 (n) = u a (n) + u b(n ? 3 3 N )N ) + u c(n ??3u2 (n) = u a (n) + u b(n ? N ) + u c(n ?? 1 2??a = ?e? j60 ，a 2 = e? j60 ?1，當每周采樣點數(shù) N 為 12 時，此算法采用的數(shù)據(jù)第 2 章數(shù)字濾波器及計算機算法成，當按相位比較方法構(gòu)成時，其動作方程為：?π2 argIZs ? UUπ2(236)式中Uamp。 ——加在繼電器上的電壓；Iamp。 ——加在繼電器上的電流；Zamp。s ——整定阻抗。取電流為基準， Zs = Ze j232。 ，于是，IZs = ZI e j232。 = ZI232。(237)式中Iamp。232。 —— Iamp。 前移相位232。 后的電流。由繼電器的動作方程可知，當 Zi232。 ? u 的相位在 90 o ~ 90 o 之間時，式(236)與下式等價。(Zi232。 ? u)u cos? 0(238)以三采樣值乘積算法為例構(gòu)成方向阻抗繼電器，設(shè)電壓和電流的任意三個連續(xù)采樣值為 u n?2 、 u n?1 、 u n 和 in?2 、 in?1 、 in ，向前移 232。 相位的電流為 i232。 ?n?2 、 i232。 ?n? i232。 ?n 。當采樣頻率 f s =600 Hz， 249。196。t = 30 o 時，用三采樣值乘積算法表示方向阻抗繼電器的動作特性為：(Zi232。 ?n?2 ? un?2 )un?2 ? (Zi232。 ?n?1 ? un?1 )un?1 + (Zi232。 ?n ? un )un k0(239)式中k 0 ——檢測電平。jX232。UIZ s ? U?R圖 24方向阻抗繼電器動作特性Fig. 24 Operating characteristic of direction impedance relay 偏移特性阻抗繼電器算法 偏移特性阻抗繼電器的動作條件為：19amp。 amp。 amp。amp。amp。amp。 amp。 amp。燕山大學工學碩士學位論文(Z1i232。 ? u)(u + Z 2i232。 ) cos246。 0(240)式中Z1——偏移特性阻抗繼電器的正向整定阻抗的大??；Z 2 ——偏移特性阻抗繼電器的反向整定阻抗的大小。同理，由三采樣值乘積算法可以得出偏移特性阻抗繼電器的算法為：(Z1i232。 ?n?2 ? un?2 ) ? (un?2 + Z 2i232。 ?n?2 ) ? (Z1i232。 ?n?1 ? un?1 ) ?(un?1 + Z 2i232。 ?n?1 ) + (Z1i232。 ?n ? un ) ? (un + Z 2i232。 ?n ) k0(241) 電流差動繼電器算法 電流差動原理廣泛應(yīng)用于發(fā)電機、變壓器、母線及線路保護中。差動繼電器的動作條件為：I D2 ? kI T2 k 0(242)式中I D ——動作電流；I T ——制動電流；k ——制動系數(shù)；k 0 ——繼電器整定值。設(shè)輸電線路(被保護線路)M 端和 N 端電流分別為：?iM = I M sin 249。t?(243)采用三采樣值積算法，設(shè)在任意三個連續(xù)的采樣時刻 t k ?2 、 t k ? t k 采樣，由動作條件有?I D2 = (iM?k ?2 + iN?k ?2 ) 2 ? (iM?k ?1 + iN?k ?1 ) 2 + (iM?k + iN?k ) 2? 2 2 2 2 相電流突變量算法相電流突變量常用作啟動元件，相電流突變量為：196。ik = ik ? ik ? N(244)(245)式中196。ik —— kT S 采樣時刻的電流突變量；ik —— kT S 時刻的采樣值；N ——一個工頻周期的采樣點數(shù)；ik ? N —— ik 前 NT S 時刻的采樣值。電流突變量采樣值如圖 25 所示，當某一時刻發(fā)生短路故障時，故障20?i N = I N sin(249。t ? 232。 )? I T = (iM?k ?2 ? iN?k ?2 ) ? (iM?k ?1 ? iN?k ?1 ) + (iM?k ? iN?k )第 2 章數(shù)字濾波器及計算機算法電流突然增大，如圖 25 中虛線所示。采樣值 ik 突然增大很多，其中包括含有負荷分量，與 ik ? N 作差后，得到的 196。ik 中部包含負荷分量，僅為短路時的故障分量電流， 196。ik ≠ 0，使啟動元件動作。但是，系統(tǒng)正常運行時，當電網(wǎng)頻率波動偏離 50 Hz 時， ik 與 ik ? N 將不是同一相角的電流值，將會產(chǎn)生較大的不平衡電流，致使啟動元件誤動作[23]。為消除因電網(wǎng)頻率波動引起的不平衡電流，相電流突變量按下式計算：196。ik = (ik ? ik ? N ) ? (ik ? N ? ik ?2 N )(246)式(246)中， (ik ? ik ? N ) 和 (ik ? N ? ik ?2 N ) 兩相中的不平衡電流相抵消，防止了啟動元件的誤動作。為提高抗干擾能力，避免突變量元件誤動作，可在連續(xù)幾次計算 196。ik 都超過定值時，元件才啟動。iidik ? Ni0ikk ? 2 Nk ? Nkt圖 25電流突變量啟動原理圖Fig. 25 Starting theory diagram of jump current各種算法的比較前面幾節(jié)介紹了幾種典型的算法，下面對幾種算法的選擇和應(yīng)用范圍進行一下比較。正弦函數(shù)算法的輸入要求是正弦函數(shù)，故采集的信號進行濾波處理后，才能采用此算法。常用的正弦函數(shù)算法有：兩采樣值乘積算法、三采樣值乘積算法和導數(shù)算法，這一類算法的特點是數(shù)據(jù)窗很短，算法本身的計算21燕山大學工學碩士學位論文量小，計算速度快。但若考慮濾波過程，則濾波和算法總的計算時間和計算容量就比較大，且精度不高，適合于輸入信號中暫態(tài)分量不豐富或計算精度要求不高的保護或復雜保護的啟動元件算法。傅氏算法的輸入信號為周期函數(shù)，此算法本身即具有較強的濾波作用，它能把基波與各次諧波分開，能完全濾除整次諧波和直流分量，對高頻分量，按指數(shù)衰減的非周期分量以及所包含的低頻分量都有一定的抑制作用。這種算法的數(shù)據(jù)窗為一個基波周期?？梢姡怯幂^長計算時間來獲取良好的濾波效果和計算準確度。正弦函數(shù)算法和傅氏算法的共性就是都要輸入信號計算基本電參數(shù)，然后再進行保護分析和判斷，從而實現(xiàn)保護功能。而保護功能算法則省去基本電參數(shù)計算這一中間環(huán)節(jié)，根據(jù)繼電保護的功能或繼電器的動作特性，直接用輸入采樣值完成保護的分析和判斷。常用的保護算法有：移相算法、序分量算法、繼電器算法、相電流突變量算法。這類算法能實現(xiàn)某種繼電保護功能或繼電器的動作特性，因此，具有獨特性和保護功能的針對性。本章小結(jié)數(shù)字濾波器是數(shù)字系統(tǒng)的重要組成部分，它可以濾除信號中的無用信號，提取信號中的有用信號，以便對信號進行分析處理。本章介紹了數(shù)字濾波器的優(yōu)點、分類以及設(shè)計方法。此外，本章還介紹了兩類算法：一類是先根據(jù)采樣值進行一定數(shù)學運算，