九章算術開方算法系統(tǒng)及其與現(xiàn)代計算機程序的比較-資料下載頁
2025-06-16 23:21本頁面
【正文】 的計算機牛頓開方算法。計算機：一般牛頓法開方有兩個缺點：1) 在理論上初始值x1 0即可，然而計算時此值若不在根附近，則往往不收斂。2) 在計算機中用到一階微分f 39。(x)，但它可能無法得到或不易列出。這兩點在一般的開方中還并不明顯，但在以后的高次方程的數(shù)值解中則顯得突出?！』I算：1. 對初始值的選取，由于一開始倍根，使得初始值很容易估計在根附近，并由于采用位置值制，使這一步極易做到。由于這個方法被一直保留到高次 方程的數(shù)值解中，因而在高次方程數(shù)值解中亦不存在問題?！?. 一階微分即減根方程中的「方」，由于是用二次展開式系數(shù)得到，所以很好計算，在以后的高次方程數(shù)值解中，因用「增乘」方法得到，亦是很易 計算與表達的?！∮嬎銠C：在求根的下一位有效值時，其值不取整，亦無倍根過程，因而迭代次 數(shù)是籌算的1－2倍，當然對計算機這并不算甚么?！』I算：因用手移動籌來計算，計算次數(shù)不僅勞作繁忙且易出錯，對此籌算采 取了取整的方法，使運算一次即可得到一位有效值，減少了計算量，使用籌開方成為可能，這些方法均保留至以后的高次方程數(shù)值解中。（注一） 中算史學家們對開方算法的代數(shù)意義及其構造性和機械化思想方法進 行了深入的探究，發(fā)現(xiàn)開方算法用來求方程的數(shù)值解不僅較目前的牛頓一類的迭代法直截了當，而且可排除各種病態(tài)的優(yōu)越性是頗為顯著的[8]。 以上討論為此觀點提供了又一佐證?！ 毒耪滤阈g》中的開方程序一方面奠定了中國開方術歷史的良好基 礎，開方術后來不斷改進和發(fā)展，成為中國古代數(shù)學的一個重要分支，同時也是中國古算中最發(fā)達的領域——解一般高次數(shù)字方程的程序，并取得了具有世界意義的重大成就：但另一方面，中國古代雖然能解高次方程，但沒有考慮過用一個公式來表示一方程的根，唐代僧一行和元代朱世杰雖然有類似的公式表示法，但中國古代重視數(shù)值計算，用公式求正根不如直接開方便捷，故公式表示一直沒有受到重視?！⒖嘉墨I與注釋[1][3] 《九章算術》，郭書春匯校，遼寧教育出版社，1990年。第25261頁。[2][4] 郭書春：《古代世界數(shù)學泰斗劉徽》，山東科技出版社，1992年。第29－30頁。[5] 李兆華：「《九章算術》開立方術的代數(shù)意義」載《〈九章算術〉與劉徽》（吳文俊主編），北京師范大學出版社，1993年，第261頁[6] . Smith: History of Mathematics, 1950, Vol. II. －473[7] 沙娜：「籌算開方術的計算機程序與算法研究」，載《數(shù)學史研究文集》第四輯。[8] 吳文俊：「從《數(shù)書九章》看中國傳統(tǒng)數(shù)學的構造性和機械化特色」，載吳文俊主編，《秦九韶與〈數(shù)書九章〉》，北師大出版社，1987年，第80頁。（注一）在國外，高次方程數(shù)值解的霍納算法即沒有倍根過程，這可能因其用筆算而 致。
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