【導(dǎo)讀】標(biāo)確定剪切面、擠壓面；對聯(lián)接件進行剪切和擠壓的強度計算的能力。構(gòu)件在一對大小相等、方向相反、作用線相隔很近的外力作用下，的作用方向發(fā)生相對錯動的變形稱為剪切變形。機械中常用的一些聯(lián)接件：聯(lián)接兩鋼板的精制螺栓；例5-2拖車掛鉤的銷釘連接，圖5-7a所示。已知掛鉤部分的鋼板厚度130mm??，銷釘與鋼板的材料相同，許用切應(yīng)力。所以，選取鉚釘直徑35mmd?例5-3某車床電動機軸與皮帶輪用平鍵聯(lián)接。，鍵的尺寸b×h×l=10×8×60mm，傳遞的力矩446510kNmeM???。鍵材料為45號鋼，許用剪切應(yīng)力??單元教學(xué)設(shè)計分析圓軸扭轉(zhuǎn)的受力特點和變形特點，在講截面法的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出外力法，并且強調(diào)取截面左側(cè)和右側(cè)，計算結(jié)果相同。繞軸線產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)動，這種變形稱為扭轉(zhuǎn)變形。若扭矩矢量的方向與橫截面外法線方向一致，則扭矩為正；反。的上面，負(fù)扭矩畫在橫坐標(biāo)的下面的圖形。，齒輪B、C輸出功率30kWBP?不計軸和軸承的摩擦阻。根據(jù)以上計算的結(jié)果，按比例畫扭矩圖。

　　

【正文】 為截面對某一軸 z 的慣性矩； zcI 為截面對平行 z 軸的形心軸 Cz 的慣性矩；A 為截面面積； a 為二軸之間距離，如圖 719 所示。 組合截面對某一軸 z 的慣性矩等于各個簡單圖形對該軸慣性矩之和 。寫為 12 1nz z z z i z iiI I I I I?? ? ? ? ? ? （ 712） 其中， zI 為截面對某一軸 z 的慣性矩； ziI 為各個簡單圖形對某一軸 z 的慣性矩 。 例 78 圖 720 所示 T 形截面，試計算截面對通過其形心 C 的 Cz 軸的慣性矩。 解 （ 1）確定截面形心 C 的坐標(biāo) 設(shè)參考坐標(biāo)軸 zy ，把截面看成由矩形面積 1A 和 2A 構(gòu)成的組合截面，根據(jù)靜力學(xué)中求截面形心公式知道矩形面積 1A 和形心 1C 的坐標(biāo)為 21 30 20 0 6 00 0 m mA ? ? ?； 1 175 my ? ； 01?z 矩形面積 A2形心 C2的坐標(biāo)為 22 20 16 0 3 20 0 m mA ? ? ?； 2 80 my ? ； 02?z 代入形心公式有 221 1 2 22212 6 0 0 0 m m 1 7 5 m m 3 2 0 0 m m 8 0 m m 1 4 2 m m6 0 0 0 m m 3 2 0 0 m mc A y A yy AA? ? ? ?? ? ??? 0?cz 圖 719 圖 720 37 （ 2）計算截面對通過其形心 C 的 Cz 軸的慣性矩 根據(jù)公式（ 711）得 12zC zC zCI I I?? 其中 ZCI 為截面對 Cz 軸的慣性矩，就是對截面中性軸的慣性矩； C1zI 為矩形面積 1A部分對形心 C 的慣性矩； C2zI 為矩形面積 1A 部分對形心 C 的慣性矩；應(yīng)用平行移軸公式（ 712）分別代入后算出 ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?221 2 1 1 1 2 2 23223226420 0 m m 30 m m6 00 0 m m 17 5 m m 14 2 m m1220 m m 16 0 m m3 20 0 m m 14 2 m m 80 m m1226 .1 10 m mZ C Z C Z C Z ZI I I I A a I A a? ? ? ? ? ????? ? ? ? ??????? ? ????? 例 79 圖 721a 所示一懸臂梁，自由端受集中 力 F = 4 kN 作用，矩形截面的尺寸是 h = 60 mm、 b = 40 mm、 l = 250 mm，試求固定端截面上的最大正應(yīng)力及 A 點的正應(yīng)力。 解 （ 1）繪制彎矩圖 由題意繪出彎矩圖（圖 721b 示），最大彎矩發(fā)生在固定端截面上，其值為 m a x 1 kN mBM M Fl? ? ? ? ? （ 2）求固定端截面上的最大正應(yīng)力 由于矩形截面上下兩邊緣到中性軸 z 的距離相等， m ax 2 30 m myh?? ，所以截面上的最大正應(yīng)力的值也相等，即 max max????? 。由公式（ 78）算出 圖 721 38 ? ?6m a xm a x 31 1 0 N m m 3 0 m m 4 1 M P a4 0 m m 6 0 m m 1 2B zMy I? ??? ? ?? （ 3）求固定端截面上 A 點的正應(yīng)力 截面彎矩 BM 是負(fù)值，因此中性軸上方是拉伸區(qū)域、中性軸下方是壓縮區(qū)域，如圖721c 所示。 A 點位于中性軸上方、應(yīng)力 A? 是拉應(yīng)力，由公式（ 78） ? ?6 31 1 0 k N m m 1 0 m m 1 3 . 9 M P a4 0 m m 6 0 m m 1 2BAA ZMyI? ??? ? ?? 梁彎曲時橫截面上的切應(yīng)力簡介 對于一般細(xì)長梁（跨度與梁高度之比 lh＞ 5），剪力對梁的強度和變形的影響很小，可將純彎曲時的正應(yīng)力公式直接推廣應(yīng)用到剪切彎曲。 在梁的橫截面上，切應(yīng)力的分布比較復(fù)雜，為導(dǎo)出切應(yīng)力的計算式，先作如下兩點假設(shè)： （ 1）截面上各點的切應(yīng)力 ? 的方向和剪力 QF 的方向相同； （ 2）截面上切應(yīng)力沿寬度均勻分布，即距中性軸等距離各點的切應(yīng)力相等。 1．矩形截面梁的切應(yīng)力 按靜力學(xué)關(guān)系導(dǎo)出的矩形截面梁剪切彎曲時橫截面上任意一點的切應(yīng)力計算公式如下： QzzFSIb?? （ 713） 式中 QF —— 橫截面上的剪力； zI —— 橫截面對中性軸的慣性矩； b—— 橫截面上所求應(yīng)力點處截面的寬度； zS —— 所求點以外截面面積 1A 對中性軸的靜矩。 對矩形截面來說，由于 QF 、 b 、 zI 均為常量，故切應(yīng)力 ? 隨 zS 而變 化，代入公式（ 713），得 2Q 224zF h yI? ???????? 切應(yīng)力 ? 沿橫截面高度呈二次拋物線規(guī)律變化，其指向與剪力 QF 的指向一致，在離中性軸最遠(yuǎn)的上、下邊緣處 ( 2hy?? )， 0?? ，而在中性軸上各點處 ( 0y? )有切應(yīng)力的 最 圖 722 39 大值 22 Q Qm a x 0 3z340 1 .522 4 212yhFF F FhbhI b h A?? ???? ? ? ? ? ????? （ 714） 矩形截面梁切應(yīng)力的最大值是整個截面上切應(yīng)力平均值 倍。 2．工字形截面梁的切應(yīng)力 切應(yīng)力沿高度分布如圖 723b 所示，最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，其值為 max1zzF S FbI A? ?? （ 715） 腹板上的最大切應(yīng)力 max? 與最小切應(yīng)力 min? 相差不大。計算結(jié)果顯示，工字形截面上、下翼緣主要承擔(dān)彎矩，而腹板主要承擔(dān)剪力。 3．圓形截面梁的切應(yīng)力 對于圓形截面梁，最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，方向與 y 軸平行，如圖 723c 所示，中性軸處的切應(yīng)力仍可用公式（ 713）計算，即 3 z Qm a x 4z412364dFF S FdI b Ad? ?? ? ? （ 716） 式中， b 為圓截面在中性軸的寬度，即圓的直徑 d ， zS 為半個圓面積對中性軸的靜矩，312z dS ?。上式表明圓截面梁的最大切應(yīng)力為平均切應(yīng)力的 倍。 4．薄壁圓環(huán)型梁截面的切應(yīng)力 最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，方向與剪力 QF 一致 ,其值仍可用公式（ 713）計算，即 圖 723 40 Q z m ax Qz 2F S FI b A? ?? （ 717） 由公式可知，薄壁圓環(huán)截面上的最大切應(yīng)力為平均切應(yīng)力的 2 倍。 例 710 一矩形截面懸臂梁，在自由端承受集中載荷 F ，如圖 724a 所示， l ＞ 5h ，試求最大切應(yīng)力 max? 和最大彎曲正應(yīng)力 max? 的比值。 解 該梁所有截面上的剪力均等于 F ，最大彎矩在 B 截面，其值為 maxM Fl? 。由于應(yīng)力分布規(guī)律（如圖 724b、 c）可知，最大正應(yīng)力發(fā)生在 B 截面的上、下邊緣處，最大切應(yīng)力發(fā)生在各橫截面中性軸處。其值分別為 m a xm a x 2z 6M FlW bh? ??， m a x 3322FFA bh? ?? 兩者之比為 maxmax 4hl?? ? 對于細(xì)長梁（ l ＞ 5h ）， ma x ma x??＜ 5％。即切應(yīng)力相對很小，彎曲正應(yīng)力是主要因素，進一步分析表明，對于圓形、矩形等實心截面梁，只要 lh比值較大，且材料的抗剪能力不差，則切應(yīng)力都可略去不計。 課程名稱 工程力學(xué) 授課班級 授課時間 教學(xué)單元名稱 第 7 章 梁的彎曲 梁彎曲時的強度計算 圖 724 41 【教學(xué)內(nèi)容】 第 7 章 梁的彎曲 梁彎曲時的強度計算 提高梁強度與剛度的措施 單元能力培養(yǎng)目標(biāo) 掌握梁危險截面的確定方法、梁的彎曲正應(yīng)力強度的計算方法。 理解提高梁彎曲強度的主要措施。 知識點 技能點 學(xué)會應(yīng)用強度條件，解決梁的強度校核、設(shè)計截面尺寸和確定許用載荷等三類問題。 單元教學(xué)設(shè)計 以簡支梁為例，分析確定梁危險截面上最大工作應(yīng)力，運用強度條件解決強度校核、設(shè)計截面尺寸和確定許用載荷的方法。 以工程實例介紹提 高梁承載能力的方法。 單元教學(xué)方式 理論授課＋多媒體 作業(yè) 教材 P235 16 167 1610 42 對梁進行強度計算時，應(yīng)同時滿足正應(yīng)力強度條件和切應(yīng)力強度條件。但對工程中常見的細(xì)長實心梁截面而言，截面上最大正應(yīng)力遠(yuǎn)大于最大切應(yīng)力，這表明梁的強度主要由正應(yīng)力控制。 對于等截面直梁，最大彎矩所在的截面稱為危險截面，危險截面上距離中性軸最遠(yuǎn)處的點稱為危險點，要使梁具有足夠的強度，必須使危險截 面上的最大工作應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力，其強度條件為 ? ??? ??zIyM m a xm a xm a x （ 718） 式中 ??? 為材料許用彎曲應(yīng)力。對于材料的抗拉和抗壓強度相同的梁，截面宜采用與中性軸對稱形狀，即當(dāng)截面對中性軸具有對稱性時，強度條件可寫為 ? ??? ?? ZWM m axm ax （ 719） 對于脆性材料（如鑄鐵）制成的梁，由于材料的抗拉與抗壓強度不等，截面宜采用與中性軸不對稱的形狀，其強度條件應(yīng)為 ? ?? ?m a xm a x 1m a xm a x 2zzM yIM yI???????????? （ 720） 式中 max?? 和 max?? 分別為梁上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力； ???? 和 ???? 分別是材料的 許用拉應(yīng)力與許用壓應(yīng)力； 1y 和 2y 分別為最大拉應(yīng)力作用位置和最大壓應(yīng)力作用位置距中性軸的坐標(biāo)值。 若需考慮彎曲切應(yīng)力強度時，對等截面梁，最大切應(yīng)力發(fā)生在最大剪力所在的截面上，其彎曲切應(yīng)力強度條件為 Qmax maxzzFSIb? ? ≤ ??? （ 721） 式中 QmaxF 為梁的最大剪力； maxzS 為中性軸一側(cè)截面對中性軸的截面靜矩； b 為橫截面在中性軸處的寬度； ??? 材料的許用切應(yīng)力。 應(yīng)用強度條件可以解決梁的強度校核，設(shè)計截面尺寸和確定許用載荷等三類問題。 例 711 圖 725a 所示一木制外伸梁，矩形截面，已知 F = 8 kN， a = m，截面尺寸 h = 200 mm， b = 100 mm，木料的許用應(yīng)力 ??? = 10 MPa。試校核梁的強度。 解 （ 1）畫梁的受力圖和求支座反力 43 由圖 1025a 所示梁的受力情況看到，梁的形狀和載荷具有對稱性，根據(jù)對稱性可得 6 2 6 8 kN 2 24 kNABF F F? ? ? ? ? （ 2）畫梁的彎矩圖 由圖 1025b 所示梁的彎矩圖中求出、最大彎矩值為 m a x 8kN m kN mM Fa? ? ? ? ? （ 3）校核梁的強度 矩形截面具有對中性軸的上下對稱性，故強度公式應(yīng)選用式（ 719）為 ? ?6m a xm a x 2Z 10 N m m MP a100 m m 200 m m6MW??? ? ?? ＜ ??? 由計算結(jié)果可知，梁的強度夠用。 例 712 圖 726 所示空氣泵操縱桿， C 點作用力 1 ? ， 11 處矩形截面的高度與寬度之比為 3hb? ；許用應(yīng)力