【正文】 驗(yàn) 。 由于分組碼中的每一個(gè)碼字均按同一規(guī)則構(gòu)成 ， 故稱(chēng)這種分組碼為一致校驗(yàn)碼 。 顯然 ， 碼中的碼字?jǐn)?shù)目 M＝ 2k＝ 2n1。 第一章 糾錯(cuò)碼的基本概念 62 (1) (2， 1)奇偶校驗(yàn)碼 。 此碼的 n=2， k＝ 1， 按 c1+c0＝ 0求出校驗(yàn)元 c0=c1， 所以?xún)蓚€(gè)許用碼組是 00和 11， 此時(shí) d＝ 2， R＝ 1/2，能發(fā)現(xiàn)一個(gè)錯(cuò)誤 。 若在 pe＝ BSC中傳送 ， 則利用不完備譯碼并與 ARQ相結(jié)合 ， 可使誤碼率大約減至 p＝ 102。 (2) (3， 2)碼 。 此碼有 22＝ 4個(gè)信息組 ， 由式 ()求得校驗(yàn)元 ， 得到相應(yīng)的 4個(gè)碼字為： 000， 011， 101， 110。 由此看出 ， 這 4個(gè)信息組就是在 8個(gè)二進(jìn)制三重中 ， 把重量為偶數(shù)的 4個(gè)三重挑選為許用碼字 ， 重量為奇數(shù)的其它 4個(gè)為禁用碼組 。 顯然 ， 該碼的 d＝ 2， 。 譯碼誤碼率大約為 32?R22 )1(23 ?????????????ee pPp第一章 糾錯(cuò)碼的基本概念 63 (3) (4， 3)碼 。 該碼的 8個(gè)碼字是按照式 ()的要求 ， 在 16個(gè)二進(jìn)制四重中挑選出來(lái)的 ， 其重量均為偶數(shù) 。 該碼的 d＝ 2， R＝ 3／ 4。 其譯碼誤碼率約為 由上看出 ， (n， n1)奇偶校驗(yàn)碼 。 當(dāng)它的 n→∞ 時(shí) ， R→ 1， 但d＝ 2， d／ n→ 0， 譯碼誤碼率 p→ pe， 接近未編碼時(shí)的情況 。 即隨著碼長(zhǎng)的增加 ， 抗干擾能力接近于零 。 上述 (n， 1)和 (n， n1)碼 ， 隨著碼長(zhǎng) n的增加 ， 前者 R→ 0， 后者抗干擾能力接近于零 ， 或 d／ n→ 0， 都不理想 。 那么是否存在有一種碼 ， 隨著 n的增加 。 其糾錯(cuò)能力和傳信率都保持一定呢 ？換言之 ， 在 R一定時(shí) ， 隨著 n→∞ ， d／ n＞ 0， 從而使 p→ 0的碼是否存在 ？ 1949年香農(nóng) (Shannon)的信道編碼定理對(duì)此作了肯定的回答 。 2432 105)1(24 ??????????????eee pppp第一章 糾錯(cuò)碼的基本概念 64 167。 信道編碼定理 信道編碼定理 每個(gè)信道具有確定的信道容量 C， 對(duì)任何小于 C的碼率 R， 存在有速率為 R碼長(zhǎng)為 n的分組碼及 (n0， k0， m)卷積碼 ， 若用最大似然譯碼 ， 則隨著碼長(zhǎng)的增加其譯碼錯(cuò)誤概率 p可任意小 ， 即 )( RnEb beAp??和 )()()1( 0 REncREnmc ccc eAeAp??? ??() 第一章 糾錯(cuò)碼的基本概念 65 式中 ， Ab和 Ac為大于 0的系數(shù) ， Eb(R)和 Ec(R)為正實(shí)函數(shù) ， 稱(chēng)為誤差指數(shù) ， 它與 R、 C的關(guān)系如圖 1 15所示 。 圖 115 信道容量 C、碼長(zhǎng) n和錯(cuò)誤概率 p之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系 第一章 糾錯(cuò)碼的基本概念 66 由式 ()和圖 115可看出 ， 為了滿(mǎn)足一定誤碼率 p的要求 ，可用以下兩類(lèi)方法實(shí)現(xiàn) 。 一是增加信道容量 C， 從而使 E(R)增加 。 由 C的表示式 可知 ， 增加 C的方法可以采用如加大系統(tǒng)帶寬或增加信噪比的方法來(lái)達(dá)到 ， 是通信設(shè)計(jì)工作者經(jīng)常采用的傳統(tǒng)方法 。 )/(1l o g02 sb i tWNPWC S?????? ??第一章 糾錯(cuò)碼的基本概念 67 另一種方法是在 R一定下 ， 增加分組碼長(zhǎng) n， 可使 p隨 n的增加而呈指數(shù)下降 。 但由于碼長(zhǎng) n的增加 ， 當(dāng) R保持一定時(shí) ， 可能發(fā)送的碼字?jǐn)?shù) 2k指數(shù)增加 ， 從而增加了譯碼設(shè)備的復(fù)雜性 。這種方法就是信道編碼定理所指出減少誤碼率的另一方向 ， 它為通信設(shè)計(jì)工作者提供了一條新的途徑 。 下面通過(guò)幾個(gè)具體例子說(shuō)明 R保持一定時(shí) ， 隨著 n的增加 ， 可使 p下降 。 第一章 糾錯(cuò)碼的基本概念 68 例 設(shè)有一個(gè)隨機(jī)產(chǎn)生二進(jìn)制序列的信源和一個(gè)轉(zhuǎn)移概率pe＝ BSC。 如果不編碼 ， 則傳送消息的誤碼率仍為 。 現(xiàn)以 R＝ 1／ 2的碼率進(jìn)行編碼 ， 考察一下編碼效果 。 首先 ， 按 k＝ 2分組 ， 則編出碼的長(zhǎng)度 n＝ 4， 構(gòu)成一個(gè) (4， 2)分組碼 。 編碼規(guī)則如下：設(shè)兩個(gè)信息元為 c c2， 兩個(gè)校驗(yàn)元為c c0， 則 c1 ＝ c2 c0＝ c3 + c2 編出的 4個(gè)許用碼組為 :(0000)， (1001)， (0111)， (1110)。 其余 12個(gè)四重為禁用碼組 。 譯碼按表 11所示的譯碼表進(jìn)行 。 第一章 糾錯(cuò)碼的基本概念 69 表 1 1 (4， 2)碼譯碼表 第一章 糾錯(cuò)碼的基本概念 70 由譯碼表可知 ， 若發(fā)送碼字在傳送過(guò)程中前三位的任一位發(fā)生錯(cuò)誤 ， 接收的四重必位于該碼字所在列中 ， 因而正確譯碼 。 因此正確譯碼概率 8 7 )1(3)1( 34 ????? eee pppQ碼字的錯(cuò)誤譯碼概率 ??? QP由此可得譯碼后的誤碼率 ???p可以看到，編碼使誤碼率由 。 第一章 糾錯(cuò)碼的基本概念 71 如果保持傳信率 R＝ 1／ 2不變 ， 把信息組的長(zhǎng)度 k加大到 3， 構(gòu)成一個(gè) (6， 3)碼 。 設(shè)信息組為 c c c3， 相應(yīng)地 3個(gè)校驗(yàn)元為c c c0， 按下述校驗(yàn)規(guī)則求校驗(yàn)元： c2＝ c3+c4 c1=c3+c5 c0=c4+c5 得到 8個(gè)碼字及其譯碼表 ， 如表 1 2所示 。 由該譯碼表知 ， 發(fā)送碼字的六位碼元中 ， 任一位出現(xiàn)錯(cuò)誤均可糾正 。 第一位和第四位同時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)也能正確譯碼 。 第一章 糾錯(cuò)碼的基本概念 72 表 1 2 (6， 3)碼編譯碼表 第一章 糾錯(cuò)碼的基本概念 73 38 9 )1()1(6)1( 4256 ??????? eeeee pppppQ相應(yīng)的信息元誤碼率 3 ???p 由此可見(jiàn) ， 隨著 n的增加 ， 在保持 R＝ 1/2不變時(shí) ， 可使誤碼率越來(lái)越小 ， 這正是信道編碼定理指出的結(jié)果 。 但也必須看到 ， 隨著 n的增加 ， 其譯碼設(shè)備的復(fù)雜性成指數(shù)增加 。 我們研究糾錯(cuò)編碼的意義就在于：保持一定的信息傳輸效率條件下 ， 通過(guò)編譯碼來(lái)降低誤碼率以實(shí)現(xiàn)可靠通信 ， 并且要求譯碼器盡可能簡(jiǎn)單 。 三位信息組完全正確譯出的概率為 第一章 糾錯(cuò)碼的基本概念 74 應(yīng)用糾錯(cuò)碼后 ， 若仍要求傳輸信息的速率不變 ， 則必然使信道的帶寬 W增加 。 設(shè)原來(lái)的信息傳輸速率為 600bit／ s ， 如用 R＝ 1／ 2碼 ， 則要求信道傳輸速率為 1 200 bit／ s， 一般要求信道帶寬增加一倍 (通常增加 (nk)／ k倍 )。 因此 ， 糾錯(cuò)碼主要應(yīng)用于功率受限而帶寬不太受限的信道中 。 第一章 糾錯(cuò)碼的基本概念 75 在極限情況 n→∞ 時(shí) ， 要求帶寬 W→∞ 。 根據(jù)計(jì)算 ， 此時(shí)只要求信噪比 Eb／ N0＞ ， 就可實(shí)現(xiàn)高斯白噪聲信道下的無(wú)誤傳輸 。 這就是帶寬無(wú)限高斯白噪聲信道的極限傳輸能力 ， 稱(chēng)為 Shannon限 。 圖 1 16給出了未編碼的 PSK與應(yīng)用各類(lèi)糾錯(cuò)碼后 ， 誤碼率與信噪比之間的關(guān)系曲線(xiàn) 。 由此圖看到：應(yīng)用 R＝ 1/2的 (24，12)分組碼后 ， 在誤碼率為 105時(shí)比未編碼的大約可節(jié)省 3 dB的功率 (稱(chēng) 編碼增益 )；而用 R＝ 1/2， 約束度 N為 8的卷積碼軟判決維特比 (Viterbi)譯碼 ， 在誤碼率為 105時(shí) ， 大約可節(jié)省 5dB的功率 。 一般情況下 ， 應(yīng)用糾錯(cuò)碼后 ， 大約能得到從零點(diǎn)幾到幾個(gè)dB程度不等的編碼增益 。 第一章 糾錯(cuò)碼的基本概念 76 圖 1 16 各種碼的性能比較