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2025-05-02 07:37本頁面
【正文】 P(1)MB2P(1/2)B1P39。(1/2)是什么曲線？ 與 Bezier曲線有 何差別？ 結(jié)論：分段二次 B樣條曲線是一條拋 物線；有 n個頂點(diǎn)定義的二次 B樣條曲 線，其實(shí)質(zhì)上是 n2段拋物線（相鄰三 點(diǎn)定義）的連接，并在接點(diǎn)處達(dá)到一 階連續(xù)。（見下圖） P3P0P2P1P4 ４ .三次Ｂ樣條曲線 分段三次Ｂ樣條曲線由相鄰四個頂點(diǎn) 定義，其表達(dá)式為： P( t )=F0,3(t)?B0+F1,3(t)?B1+F2,3(t)?B2 +F3,3(t)?B3 (0? t ?1) 可見，由 n 個頂點(diǎn)定義的完整的三次 Ｂ樣條曲線是由 n3 段 分段曲線連接 而成的。很容易證明，三次Ｂ樣條曲 線在連接處達(dá)到二階連續(xù)。 *** Ｂ樣條曲線是一種非常靈活的曲線， 曲線的局部形狀受相應(yīng)頂點(diǎn)的控制很 直觀。這些頂點(diǎn)控制技術(shù)如果運(yùn)用得 好，可以使整個Ｂ樣條曲線在某些部 位滿足一些特殊的技術(shù)要求。如： 可以在 曲線中構(gòu)造一段直線； 使曲線與特征多邊形相切； 使曲線通過指定點(diǎn)； 指定曲線的端點(diǎn)； 指定曲線端點(diǎn)的約束條件。 三、 B樣條曲面 在數(shù)學(xué)上，可以很容易將參數(shù)曲線段 拓張為參數(shù)曲面片。因?yàn)闊o論是前面 的 Bezier 曲線還是Ｂ樣條曲線 ,它們 都是由特征多邊形控制的。而曲面是 由兩個方向（比如 u 和 v）的特征多 邊形來決定，這兩個方向的特征多邊 形構(gòu)成特征網(wǎng)格。 22P01Pv00P10uPP 20P 02P 11P12PvP 01PP 0020uP10P 0221P 12P11P21P22雙二次 Bezier曲面和Ｂ樣條曲面 １ .Bezier 曲面 給定了 (m+1)(n+1)個空間點(diǎn)列 bi,j (i=0,1,2,… ,n。 j=0,1,2,… ,m)后， 可以定義 m?n次 Bezier 曲面如下式所 示： 式中： (0 ≤ u,v ≤ 1)。 Bi,n(u) 為 n 次 Bernstein 基函數(shù)；連接點(diǎn)列 bi,j 中相 鄰兩點(diǎn)組成特征網(wǎng)格。 ? ?? ????nimjjimjni bvBuBvuP0 0, )()(),( 在實(shí)際應(yīng)用中，次數(shù) m 和 n 均不宜 超過 5，否則網(wǎng)格對于曲面的控制力 將會減弱，這同 Bezier曲線的情況 是相似的。其中最重要的應(yīng)用是 m=n =3，即雙三次 Bezier曲面。 雙三次 Bezier曲面的表達(dá)式為： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? TTi jjijiVNbNUbvBuBvuP???????? ? ?? ?3030,3,3,)()(),( 式中： ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?????????????????????????????????33323130232221201312111003020220232300010033036313311。1bbbbbbbbbbbbbbbbbNvvvVuuuU ２ .Ｂ樣條曲面 從Ｂ樣條曲線到Ｂ樣條曲面的拓展完 全類似于從 Bezier曲線到 Bezier曲面的 拓展。 給定了 (m+1)(n+1)個空間點(diǎn)列 bi,j (i=0,1,2,… ,n。 j=0,1,2,… ,m)后，可 以定義 m?n次 B樣條 曲面片如下式所示： ? ?? ????nimjjimjni bvFuFvuP0 0, )()(),( 同樣，式中的 Fi,n(u)稱為 n次Ｂ樣條 基函數(shù)族，連結(jié) bi,j組成的空間網(wǎng)格 稱為Ｂ特征網(wǎng)格。 在實(shí)際應(yīng)用中，最為重要的一種曲面 是雙三次Ｂ樣條曲面片 ,此時 m=n=3。 其表達(dá)式為： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? TT VNbNUvuP ?????),( 式中： 其余的 [U]、 [V]和 [b]同 Bezier曲面。 ? ???????????????????014103030363133161N 表達(dá)式中的矩陣展開，其實(shí)就可以得 到如類似于在曲線中的混合函數(shù)。如 展開 [U][N]可得： 上面介紹的 Bezier曲面與此相同。 33,3233,2233,1233,061)()1333(61)()463(61)()133(61)(uuFuuuuFuuuFuuuuF?????????????? 整個Ｂ樣條曲面是由Ｂ樣條曲面片連 接而成的（這正如Ｂ樣條曲線），并 且在連接處達(dá)到了Ｃ 178。連續(xù)，這一點(diǎn)是 由三次Ｂ樣條基函數(shù)族 Fi,j(u) 的連續(xù) 性保證的。所以，雙三次Ｂ樣條曲面 的突出特點(diǎn)就在于相當(dāng)輕松地解決了 曲面片之間的連接問題。 **
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