【正文】 c o s)s i n(c o s)c o s(s i n)c o s(?????????????????? ?dAdAdAdAdAyyxxxy列平衡方程 ? ? 0 tF0c o s)s i n(s i n)s i n(s i n)c o s(c o s)c o s(?????????????????? ?dAdAdAdAdAyyxxxy?y a? a??xy dA α n t x?yx?目錄 73 二向應力狀態(tài)分析 解析法 利用三角函數(shù)公式 )2co s1(21co s 2 ?? ??)2cos1(21s in 2 ?? ????? 2s inc o ss in2 ?{并注意到 化簡得 xyyx ?? ????????? ? 2s i n2co s)(21)(21 xyyxyx ??????????? ? 2co s2s i n)(21 xyyx ???目錄 73 二向應力狀態(tài)分析 解析法 正應力： 拉為正；壓為負 切應力： 使微元順時針方向轉(zhuǎn)動為正；反之為負。 α 角： 由 x 軸正向逆時針轉(zhuǎn)到斜截面外法線時為正；反之為負。 ?y a? a??xyα n t x?yx?x 目錄 73 二向應力狀態(tài)分析 解析法 x y ?x?y?yx?xy????????? ? 2s i n2co s)(21)(21 xyyxyx ?????確定正應力極值 ??????? ? 2co s22s i n)( xyyxdd ????設 α ＝ α 0 時，上式值為零，即 02c o s22si n)( 00 ???? ????? xyyx3. 正 應力極值和方向 02τc o s 2 ατs i n 2 α2 )σ(σ20α0xy0yx ????????? ???即 α ＝ α 0 時，切應力為零 目錄 73 二向應力狀態(tài)分析 解析法 yxxy???????22t a n0 由上式可以確定出兩個相互垂直的平面，分別為最大正應力和最小正應力（主應力）所在平面。 所以，最大和最小正應力分別為： ? ? 22m a x 4212 xyyxyx ?????? ?????? ? 22m i n 4212 xyyxyx ?????? ?????主應力按代數(shù)值排序： σ 1 ? σ 2 ? σ 3 目錄 73 二向應力狀態(tài)分析 解析法 試求 （ 1） ? 斜面上的應力； （ 2）主應力、主平面； （ 3）繪出主應力單元體。 例題 1： 一點處的平面應力狀態(tài)如圖所示。 y?? x?xy?。?30???M P a ，60?x? MP a,30??xy?,M P a40??y?已知 目錄 73 二向應力狀態(tài)分析 解析法 解： （ 1） ? 斜面上的應力 ???????? ? 2si n2c o s22 xyyxyx ?????)60s i n (30)60c o s (2 40602 4060 ?? ???????M ??????? ? 2c o s2si n2 xyyx ???)60co s (30)60s i n (2 4060 ?? ?????M ??y?? x?xy?目錄 73 二向應力狀態(tài)分析 解析法 （ 2）主應力、主平面 2yx ?? ??xyyx 22)2( ??????max?M ?2yx ?? ??xyyx 22)2( ??????min?M ??M P ,0M P a , 321 ???? ???y?? x?xy?目錄 73 二向應力狀態(tài)分析 解析法 主平面的方位： yxxytg???????22 0 60 ?????, ?????? ????y?? x?xy?代入 表達式可知 ??主應力 方向： 1? ? ??主應力 方向： 3? ? ??目錄 73 二向應力狀態(tài)分析 解析法 （ 3）主應力單元體： y?? x?xy??1?3?目錄 73 二向應力狀態(tài)分析 解析法 73 二向應力狀態(tài)分析 解析法 022 xyxytg ?? ???? ? ? ??2m a x 2m i n 22x y x yxy? ? ? ? ??????? ??? ? ??? ??????m a x 1m in 3xyxy? ? ?? ? ???? ? ?xy??? ?1?? ??3此現(xiàn)象稱為純剪切 純剪切應力狀態(tài) 0 45? ??135?或 45????????? ? 2s i n2co s)(21)(21 xyyxyx ??????????? ? 2co s2s i n)(21 xyyx ???xyyxyx 2222 )2()2( ??????? ?? ??????這個方程恰好表示一個圓，這個圓稱為應力圓 74 二向應力狀態(tài)分析 圖解法 目錄 xyyxyx 2222 )2()2( ????????? ????????R C xyyxR 22)2( ??? ???2yx ?? ?： 目錄 74 二向應力狀態(tài)分析 圖解法 ??D (?x ,?xy) D/ (?y ,?yx) c ? ?x y?2R xyyxR 22)2( ??? ???y??yx?xyA D x y x?目錄 74 二向應力狀態(tài)分析 圖解法 點面對應 — 應力圓上某一點的坐標值對應著 微元某一截面上的正應力和切應力 幾種對應關系 ??D (?x ,?xy) D/ (?y ,?yx) c ? ?x y?2?y?yx?xy?xx y H n ?),( aa ??H ?2目錄 74 二向應力狀態(tài)分析 圖解法 定義 2?3?1?三個主應力都不為零的應力狀態(tài) 75 三向應力狀態(tài) 目錄 由三向應力圓可以看出： 231m a x??? ??結(jié)論： 代表單元體任意斜 截面上應力的點， 必定在三個應力圓 圓周上或圓內(nèi)。 2 1 3?3 2? 1???0 75 三向應力狀態(tài) 目錄 1. 基本變形時的胡克定律 xx E ?? ?Exxy????? ????x?y x 1）軸向拉壓胡克定律 橫向變形 2）純剪切胡克定律 ?? G?? 78 廣義胡克定律 目錄 三向應力狀態(tài)的廣義胡克定律 －疊加法 2?3?1?? ?? ?3211 1 ????? ???E1?2?3?1? 1()E? 2()E??? 3()E??? 78 廣義胡克定律 目錄 = + +