【正文】 d(c≤d)，所圍成的平面圖形的面積A為。=2x所圍成的平面圖形的面積。[解析]畫出圖形，解方程組得兩曲線的交點(diǎn)O（0，0），A（2，4）。則曲線及直線y=2x所圍成的平面圖形的面積=x2所圍成的平面圖形的面積。解析]畫出圖形，解方程組得兩曲線的交點(diǎn)A（1，1），B（4，2）。則曲線及直線y=x2所圍成的平面圖形的面積另解以x為積分變量例3.[9826]求由拋物線及其在點(diǎn)（1，0）處的切線和y軸所圍成的平面圖形的面積。[解析]畫出圖形，過點(diǎn)（1，0）處的切線方程為y=2(x1)。則所求就是拋物線及其在點(diǎn)（1，0）處的切線y=2(x1)和y軸所圍成的平面圖形的面積。求由曲線圍成的平面圖形面積的解題步驟：(1)畫草圖，求出曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)用穿線掃描法選擇類型；(3)確定被積函數(shù)及積分區(qū)間；(4)計(jì)算定積分。(1)X型由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)≥0)和直線x=a,x=b(ab)及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積(2)Y型由連續(xù)曲線和直線y=c,y=d(cd)及y軸所圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積例1[0028](1)求由直線x=0,x=2,y=0與拋物線所圍成的平面圖形的面積；(2)求上述平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積[解析](1)(2)（六）綜合題與證明題例1[0127]設(shè)（n為正整數(shù)），證明f(3)+f(5)=1/4.[證明]例2[0228]己知證明。[證明]由己知，得等式兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)，得即在上式中，令，得即例3設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，證明[解析]本小題主要考查用換元積分法證明等式。滿分10分。證明：作變換，令12x=t，得x=(1t)/2，dx=(1/2)dt，當(dāng)x=0時(shí)，t=1；當(dāng)x=1/2時(shí)，t=0則有例4[9927]設(shè)函數(shù)f(x)滿足證明[證明]令由己知，得f(x)=lnxA上式兩邊同時(shí)取區(qū)間[1,e]上的定積分，得即得eA=1，A=1/e即例5．設(shè),證明f(x)=x+2[證明]：本章小結(jié)一元函數(shù)積分學(xué)是微積分學(xué)的核心內(nèi)容之一，在考試中約占32%，約為48分左右，主要內(nèi)容總結(jié)歸納如下：一、概念部分重點(diǎn)：原函數(shù)與不定積分的概念、不定積分的性質(zhì)，定積分的概念與性質(zhì)，無窮區(qū)間上廣義積分的概念。二、運(yùn)算部分重點(diǎn)：第一換元積分法、分部積分法計(jì)算不定積分、定積分，變上限定積分及其求導(dǎo)汁計(jì)算，廣義積分的計(jì)算。三、應(yīng)用部分重點(diǎn)：定積分的幾何應(yīng)用，求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積。第四章多元函數(shù)微分學(xué)[復(fù)習(xí)考試要求]，會求二元函數(shù)的定義域。了解二元函數(shù)的幾何意義。，掌握二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。掌握二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的求法，掌握二元函數(shù)的全微分的求法。第一節(jié)多元函數(shù)（一）多元函數(shù)的概念定義:設(shè)D為Oxy坐標(biāo)平面上的一個區(qū)域，如果對于D上每一點(diǎn)(x,y)，變量z依照某一對應(yīng)規(guī)律總有惟一確定的數(shù)值與之對應(yīng)，則稱z為x,y的二元函數(shù)，記為z=f(x,y)其中D稱為二元函數(shù)的定義域。類似地可以定義三元函數(shù)，記作u=f(x,y,z)二元及二元以上函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)。設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)的定義域?yàn)镈，則在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中z=f(x,y)表示一張空間曲面，且這個曲面在Oxy坐標(biāo)平面上的投影即為函數(shù)的定義域D。如z=ax+by+c表示一個平面；定義:平面上使二元函數(shù)z=f(x,y)有定義的一切點(diǎn)的集合，稱為二元函數(shù)的定義域，記為D或D(f)。二元函數(shù)的定義域D是Oxy坐標(biāo)平面或Oxy坐標(biāo)平面上的某一個區(qū)域。求二元函數(shù)定義域與一元函數(shù)相仿，需遵照以下幾個原則：（1）分式的分母不為零；（2）開偶此方根號下的表達(dá)式必須大于或等于零；（3）對數(shù)的真數(shù)必須大于零；（4）arcsinf(x,y)，arccosf(x,y)中的。（5）求復(fù)合函數(shù)定義域時(shí)，宜于由外層到里層進(jìn)行。(1)[答](2)y=ln(xy)[答](3)[答]例2．求下列二元函數(shù)的函數(shù)值(1),。 [答](2),則f(x,y)=。f(x+y,xy)=(x+y)(xy)令x+y=u,xy=vf(u,v)=uvf(x,y)=xy[答]xy(3),則f(x,y)=。[答]（二）二元函數(shù)的極限定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，P(x,y)為該鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)，當(dāng)P(x,y)以任意方式趨近于時(shí)，函數(shù)f(x,y)的值都趨近于一個確定的常數(shù)A，則稱A是函數(shù)z=f(x,y)當(dāng)點(diǎn)P(x,y)趨近于點(diǎn)時(shí)的極限，記作（三）二元函數(shù)的連續(xù)性定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)該鄰域內(nèi)的點(diǎn)P(x,y)以任意方式趨近于點(diǎn)時(shí)，函數(shù)z=f(x,y)的極限存在，且等于該函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值，即則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)處連續(xù)。如果z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)的每一個點(diǎn)(x,y)處都連續(xù)，則稱函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)。多元函數(shù)具有以下性質(zhì)：（1）多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)。在分母不為零的點(diǎn)處，連續(xù)函數(shù)之商仍為連續(xù)函數(shù)。（2）多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)。（3）多元初等函數(shù)在其定義域上都是連續(xù)函數(shù)。（4）最大（?。┲刀ɡ碛薪玳]區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)，在區(qū)域D上必能取得最大值與最小值。（5）介值定理有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)，在區(qū)域D上必能取得介于最大值與最小值之間的任何值。第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分（一）偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)的某一鄰域D內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在取得改變量,而保持不變，函數(shù)z=f(x,y)有相應(yīng)的改變量。如果當(dāng)時(shí)，極限存在，則稱此極限值為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)處對x的偏導(dǎo)數(shù)。記作同理，可以定義z=f(x,y)在點(diǎn)處對y的偏導(dǎo)數(shù)，即如果極限如果f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都有偏導(dǎo)數(shù)，則可以將這兩個偏導(dǎo)數(shù)認(rèn)定為二元函數(shù)，常稱之為偏導(dǎo)函數(shù)，簡稱偏導(dǎo)數(shù)。二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)處對x的偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：在曲面z=f(x,y)與平面相交的曲線，即曲線上，過點(diǎn)所作切線對x軸的斜率tanα同理，二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)處對y的偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：在曲面z=f(x,y)與平面相交的曲線，即曲線上，過點(diǎn)所作切線對y軸的斜率。設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)，當(dāng)求z=f(x,y)對x的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，只要將二元函數(shù)中的y看作常數(shù)，而只要對x求導(dǎo)即可。同理，當(dāng)求z=f(x,y)對y的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，只要將二元函數(shù)中的x看作常數(shù)，而只要對y求導(dǎo)即可。例1[9515]設(shè)=。[答]例2[9805]設(shè)，則=。..[答]C例3[0005]設(shè),則=。..[答]D例4[0014]設(shè)。[答]例5[0608]。例[0114]設(shè)。[答]e例6[9710]已知。+2y +2y [答]A（二）全微分定義:設(shè)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的某一鄰域內(nèi)有定義，對于自變量x,y的改變量，如果函數(shù)z=f(x,y)的全改變量可表示為其中A,B與無關(guān)，可能是x,y的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是比的較高階無窮小量，則稱為函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的全微分，記作dz，即，并稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)處可微。如果z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)(x,y)都可微分，則稱f(x,y)在D內(nèi)可微分，由此可以看出，如果z=f(x,y)在D內(nèi)可微分，則該微分必定為(x,y)的函數(shù)。相應(yīng)地，函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)處的微分可以理解為微分函數(shù)dz在點(diǎn)處的值，常記為 （1）全微分存在的必要條件設(shè)z=f(x,y)在點(diǎn)處可微分，則z=f(x,y)在點(diǎn)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)，必定存在，且或記為因此，如果z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)可微分，則有同樣，如果z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)可微分，則（2）全微分存在的充分條件定理1如果z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)處有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)處可微分，且求z=f(x,y)的全微分的表達(dá)式，可先求出兩個一階偏導(dǎo)數(shù)，然后代入全微分公式即可。若要計(jì)算全微分的值，則要將的值代入，并將dx用的值代入。例1[0404]函數(shù)在點(diǎn)（1，1）處的全微分=。+dy +2dy +dy +2dy[答]B例2[0221]設(shè)，求dz。例3[9825]設(shè)，求dz。例4[9924]設(shè)，求dz。（三）復(fù)合函數(shù)微分法定理：設(shè)函數(shù)u=u(x,y)，v=v(x,y)在點(diǎn)(x,y)處有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(diǎn)(u,v)處有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)Z=f[u(x,y),v(x,y)]在點(diǎn)(x,y)有對x,y連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且以上公式稱為復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t設(shè)下面幾種特殊形式都符合上述定理中的條件：（1）如果z=f(u,v)，u=u(x)，u=v(x)，即z=f[u(x),v(x)]，則函數(shù)z對x的全導(dǎo)數(shù)：（2）如果z=f(x,y)，y=y(x)，即z=f[x,y(x)]，則函數(shù)z對x的全導(dǎo)數(shù)：。（四）隱函數(shù)微分法設(shè)由二元方程F(x,y)=0所確定的隱函數(shù)y=y(x)，如果F(x,y)對x,y存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則y對x的導(dǎo)數(shù)為。設(shè)三元方程F(x,y,z)=0確定隱函數(shù)z=z(x,y)，如果F(x,y,z)對x,y,z存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則z對x、y的偏導(dǎo)數(shù)為。例1[0225]設(shè)z=f(x,y)由方程所確定，求。例2[0125]設(shè)z=f(x,y)由方程所確定，求。例3[0025]設(shè)z=f(x,y)由方程所確定，求dz。（五）二階偏導(dǎo)數(shù)如果z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處都存在偏導(dǎo)數(shù)，則仍可將這兩個偏導(dǎo)數(shù)認(rèn)定為偏導(dǎo)函數(shù)。如果這兩個偏導(dǎo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們?yōu)閒(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)。記稱為f(x,y)為二階混合偏導(dǎo)數(shù)。定理2如果f(x,y)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)則在該區(qū)域D的這兩個二階偏導(dǎo)數(shù)必定相等。例1[0305]設(shè)=，則=。+cosy [答]D例2[0414]設(shè)z=ycosx，則=。[答]sinx例3[0024]設(shè)，求=。（六）二元函數(shù)的極值（1）定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，對在該鄰域內(nèi)任何異于的點(diǎn)，如果總有，則稱點(diǎn)為的極大值點(diǎn)，稱為的極大值；如果總有，則稱點(diǎn)為的極小值點(diǎn)，稱為的極小值。（2）極值存在的必要條件使同時(shí)成立的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)，由上述定理可知，可微函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，但是，駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。例如z=xy，（0，0）不是極值點(diǎn)。（3）極值存在的充分條件定理4（極值存在的充分條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的一階與二階偏導(dǎo)數(shù)，且點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)，即記則①當(dāng)，且或時(shí)，為的極大值點(diǎn)，為的極大值；②當(dāng)，且或時(shí)，為的極小值點(diǎn)，為的極小值；③當(dāng)時(shí)，不為的極值。④當(dāng)時(shí)，可能為極值；也可能不為極值，要用其它方法另作討論。例1[0325]求函數(shù)的極值。[解析]解方程組得駐點(diǎn)（2，2）,計(jì)算所以為極大值.[答]極大值。[解析]解方程組得駐點(diǎn)（1，0）,計(jì)算所以為極小值[答]極小值求函數(shù)在條件下的極值，稱為條件極值。條件極值問題常可轉(zhuǎn)化為無約束條件的極值問題，只需構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：求解方程組解出，則其中的點(diǎn)就是在約束條件下的可能取得極值的極值點(diǎn)坐標(biāo)。通常判定點(diǎn)（x,y）是否為所給條件極值的極值點(diǎn)，?？筛鶕?jù)所給出問題的實(shí)際意義判定：如果所求的“駐點(diǎn)”唯一，且實(shí)際問題存在最大值（或最小值），則所求的“駐點(diǎn)”（x,y）就是極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）。也是所給實(shí)際問題的最大值點(diǎn)（或最小值點(diǎn)）。+y=1的極值。[解析]構(gòu)造拉格朗日函數(shù)求解設(shè)解得所以為極值。，問兩直角邊分別為多少時(shí)面積最大？[解析]設(shè)直角三角形的兩條直角邊的長分別為,則三角形面積為,約束條件設(shè)解得,此時(shí)只有唯一的駐點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際問題必有所求，即當(dāng)直角三角形為等腰直角三角形時(shí)面積最大，且最大面積為。[答]兩直角邊的邊長各為時(shí)，面積最大。本章小結(jié)多元函數(shù)微分學(xué)是一元函數(shù)微分學(xué)的發(fā)展與延續(xù)，本章內(nèi)容在考試中約占15%，約為23分左右。主要內(nèi)容總結(jié)歸納如下：一、概念部分多元函數(shù)的概念，偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，二元函數(shù)極值的概念。二、運(yùn)算部分重點(diǎn)：一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，全微分的計(jì)算，隱函數(shù)的求導(dǎo)法，二元函數(shù)極值的求法。三、應(yīng)用部分條件極值簡單應(yīng)用題。注：二元函數(shù)微分學(xué)考試題多屬于基本計(jì)算題，屬于常規(guī)圖形。第五章概率論初步[復(fù)習(xí)考試要求]、隨機(jī)試驗(yàn)的基本特點(diǎn)；理解基本事件、樣本空間、隨機(jī)事件的概念。：包含關(guān)系、相等關(guān)系、互不相容關(guān)系及對立關(guān)系。（和）、交（積）、差運(yùn)算的意義，掌握其運(yùn)算規(guī)律。，掌握事件概率的基本性質(zhì)及事件概率的計(jì)算。；掌握概率的乘法公式及事件的獨(dú)立性。、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。[主要知識內(nèi)容]第0節(jié)預(yù)備知識（一）兩個原理（加法原理）做一件事，完成它有n類方式，第一類方式有種方法，第二類方式有種方法，…，第n類方式有種方法，無論利用哪種方式的哪種方法都可以完成這件事，那么完成這件事的方法總數(shù)為。（乘法原理）做一件事，完成它有n個步驟，第一個步驟有種方法，第二個步驟有種方法，…，第n個步驟有種方法，必須經(jīng)過所有步驟才能完成這件事，那么完成這件事的方法總數(shù)為。例如，某人由甲地經(jīng)過乙地到丙