【正文】 2)＝100x＋20＋y－10x－y－2＝90x＋18＝6(15x＋3)，∵15x＋3為整數(shù)，∴6(15x＋3)能被6整除，即對(duì)任意一個(gè)兩位正整數(shù)A，其“誠(chéng)勤數(shù)”與“立達(dá)數(shù)”之差能被6整除；(2)解：設(shè)B＝10a＋b，1≤a≤9，0≤b≤9(13加上2后各數(shù)字之和變小，說(shuō)明個(gè)位發(fā)生了進(jìn)位)，B＋2＝10a＋b＋2，則B的“立達(dá)數(shù)”為10(a＋1)＋(b＋2－10)，a＋1＋b＋2－10＝(a＋b)，整理得：a＋b＝14，∵1≤a≤9，0≤b≤9，∴、經(jīng)檢驗(yàn)：86和95不符合題意舍去，∴所求兩位數(shù)為68或59.23. (1)證明：設(shè)m＝10t＋8，1≤t≤9，且t為整數(shù)．∴m2－64＝(10t＋8)2－64＝100t2＋160t＋64－64＝20(5t2＋8t)．∵1≤t≤9，t為正整數(shù)，∴5t2＋8t是正整數(shù)．∴m2－64一定為20的倍數(shù)；(2)解：∵m＝p2－q2，p，q為正整數(shù)，∴10t＋8＝(p＋q)(p－q)，當(dāng)t＝1時(shí)，18＝118＝29＝36，沒(méi)有滿(mǎn)足條件的p，q.當(dāng)t＝2時(shí)，28＝128＝214＝47.其中滿(mǎn)足條件的p，q的數(shù)對(duì)有(8，6)，即28＝82－62，∴H(28)＝＝.當(dāng)t＝3時(shí)，38＝138＝219，沒(méi)有滿(mǎn)足條件的p，q.當(dāng)t＝4時(shí)，48＝148＝224＝316＝412＝68.滿(mǎn)足條件的p，q的數(shù)對(duì)為或或，解得或或.即48＝132－112＝82－42＝72－12.∴H(48)＝或H(48)＝＝或H(48)＝.∵＞＞＞，∴H(m)的最大值為.24. 解：(1)∵m，n都是四位“格調(diào)數(shù)”，則設(shè)m＝a(a＋1)(a＋2)(a＋3)，n＝b(b＋1)(b＋2)(b＋3)，即m＝1000a＋100(a＋1)＋10(a＋2)＋(a＋3)＝1111a＋123，n＝1000b＋100(b＋1)＋10(b＋2)＋(b＋3)＝1111b＋123，∴m－n＝1111a＋123－(1111b＋123)＝1111(a－b)＝3333，∴a－b＝3，即a＝b＋3.∵m是四位“格調(diào)數(shù)”，∴1≤a≤6，∴1≤b＋3≤6，∴1≤b≤3，∴b為1，2或3，則a為4，5或6，∴m為4567，5678或6789；(2)q是“發(fā)財(cái)數(shù)”．∵t＝100a＋10(a＋1)＋(a＋2)＝111a＋12，∴k＝100(a＋2)＋10(a＋1)＋a＝111a＋210，∴q＝k－t＝(111a＋210)－(111a＋12)＝210－12＝198，∵198247。18＝11，∴198是18的整倍數(shù)，即198是“發(fā)財(cái)數(shù)”，∴q是“發(fā)財(cái)數(shù)”．25. 解：(1)7；證明：設(shè)這個(gè)四位“兩頭蛇數(shù)”為1ab1，由題意得：1ab1－3ab＝1001＋100a＋10b－30a－3b＝1001＋70a＋7b＝7(143＋10a＋b)∵a、b為整數(shù)，∴143＋10a＋b為整數(shù)，∴一個(gè)四位的“兩頭蛇數(shù)”與它去掉兩頭后得到的兩位數(shù)的三倍能被7整除；(2)∵16的真因數(shù)有：1，2，4，8.∴1＋2＋4＋8＝15，∵15＝1＋3＋11，∴16的“親和數(shù)”為33.設(shè)這個(gè)五位“兩頭蛇數(shù)”為1x4y1，由題意得：為整數(shù)，∴315＋30x＋為整數(shù)，∴10x＋10y＋6＝66，∴x＋y＝6，∵0≤x≤9，0≤y≤9，且為整數(shù)，x＜y∴或或.∴這個(gè)五位“兩頭蛇數(shù)”為10461或11451或12441.26. 解：(1)22；17＋5m.【解法提示】將3個(gè)數(shù)：2，8，7，做一次“差變?cè)鰯?shù)列”，得到的數(shù)字為2，6，8，－1，7，所有數(shù)字的和為2＋6＋8＋(－1)＋7 ＝22；∵將數(shù)串a(chǎn)，b，c做一次“差變?cè)鰯?shù)列”得到a，b－a，b，c－b，c，所有數(shù)字和的增加量M＝(a＋b－a＋b＋c－b＋c)－(a＋b＋c)＝c－a，∴將一個(gè)數(shù)串每做一次“差變?cè)鰯?shù)列”，所有數(shù)字的和的增加量相同，均為原數(shù)最后一個(gè)數(shù)與第一個(gè)數(shù)的差∵數(shù)串2，8，7中，7－2＝5.∴每做一次“差變?cè)鰯?shù)列”，所有數(shù)字的和增加5，∴做m次“差變?cè)鰯?shù)列”后，所得數(shù)字的和為2＋8＋7＋5m，即17 ＋5m.(2)∵數(shù)串：x，8，y，∴做100次“差變?cè)鰯?shù)列”，所得數(shù)字的和為x＋8＋y＋100(y－x)＝－99x＋101y＋8，根據(jù)題意得－99x＋101y＋8 ＝216，即y＝，∵y是整數(shù)，∴208＋99x是101的正整數(shù)倍，當(dāng)208＋99x＝101時(shí)，x無(wú)正整數(shù)解；當(dāng)208＋99x＝2101時(shí)，x無(wú)正整數(shù)解；當(dāng)208＋99x ＝3101時(shí)，x無(wú)正整數(shù)解；當(dāng)208＋99x＝4101時(shí)，x無(wú)正整數(shù)解；當(dāng)208＋99x＝5101時(shí)，x＝3，此時(shí)y＝5，滿(mǎn)足題意；經(jīng)檢驗(yàn)，在0≤x≤9中，有且只有x＝3，y＝5滿(mǎn)足題意，∴x＝3，y＝5.27. 解：(1)1001，9999；(2)設(shè)這個(gè)“和平數(shù)”為abcd，則d＝2a，a＋b＝c＋d，b＋c＝12k，∴2c＋a＝12k，即a＝8，d＝12(舍去)，16(舍去)，①當(dāng)a＝d＝4時(shí)2(c＋1)＝12k，可知c＋1＝6k且a＋b＝c＋d，∴c＝5，則b＝7，②當(dāng)a＝d＝8時(shí)，2(c＋2)＝12k，可知c＋2＝6k且a＋b＝c＋d，∴c＝4，則b＝8.綜上所述，這個(gè)數(shù)為2754848.(3)設(shè)任意一組“相關(guān)和平數(shù)”為abcd，badc(a，b，c，d分別取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0)，則abcd＋badc＝1100(a＋b)＋11(c＋d)＝1111(a＋b)，即任意一組“相關(guān)和平數(shù)”之和是1111的倍數(shù)．28. 解：(1)若“矩?cái)?shù)”m＝k(k＋1)是3的倍數(shù)，則k(k＋1)是3的倍數(shù)，k是正整數(shù)．當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，k＋1是偶數(shù)，則k(k＋1)是能被3整除的偶數(shù)，∴k(k＋1)是6的倍數(shù)；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，則k(k＋1)是能被3整除的偶數(shù)，∴k(k＋1)是6的倍數(shù)．綜上所述，若“矩?cái)?shù)”m是3的倍數(shù)，則m一定是6的倍數(shù)．(2)根據(jù)題意，得p＝t(t＋1)，q＝s(s＋1)，D(p，q)＝t(t＋1)－s(s＋1)＝30，即t2＋t－s2－s＝30，∴(t－s)(t＋s＋1)＝30.∵t，s是正整數(shù)，t＞s，∴t－s，t＋s＋1是正整數(shù)，且t＋s＋1＞t－s.∵30＝130＝215＝310＝56，∴ 或 或 或，解得 或或 或，∵t，s是正整數(shù)，∴符合條件的是 或 或∴＝或＝＝或＝＝.∵＞＞，∴的最大值為.29. 解：(1)設(shè)這個(gè)k類(lèi)自然數(shù)為x(x＋k)(x＋2k)，∵＝＝＝28x＋3k為整數(shù)，∴任意一個(gè)三位k類(lèi)自然數(shù)與它百位上的數(shù)字之和一定能被4整除；(2)設(shè)k類(lèi)四位自然數(shù)的千位數(shù)字為x，則百位為x＋k，十位為x＋2k，個(gè)位為x＋3k，∵此k類(lèi)自然數(shù)t是成年數(shù)，∴根據(jù)成年數(shù)的定義有：{[1000(x＋3k)＋100(x＋k)＋10(x＋2k)＋x]－[1000x＋100(x＋k)＋10(x＋2k)＋x＋3k]}＝＝k為整數(shù)，則k必為偶數(shù)，∵1≤x≤9，0≤x＋3k≤9，∴－9≤3k≤8，即－3≤k≤，∴k＝－2或0或2，∵F(t)＝(x＋x＋2k)2－(x＋k＋x＋3k)2＝－8kx－12k2(1≤x≤9)，∴當(dāng)k＝－2時(shí)，F(xiàn)(t)＝16x－48，若x＝1，則F(t)有最小值161－48＝－32；當(dāng)k＝0時(shí)，F(xiàn)(t)＝0；當(dāng)k＝2時(shí)，F(xiàn)(t)＝－16x－48，若x＝9，則F(t)有最小值－169－48＝－192；綜上，F(xiàn)(t)最小值是－192.30. (1)解：由調(diào)和數(shù)的定義有：a＋4＋3＝2＋b＋c，得a＝b＋c－5，∵這兩個(gè)三位調(diào)和數(shù)之和是17的倍數(shù)，∴＝6a＋b＋14＋為整數(shù)，∴必為整數(shù)，∵a＝b＋c－5，∴，即＝－b＋1＋為整數(shù)，∴為整數(shù)，∵0≤b≤a≤9，0≤c≤9，∴－11≤8b－c－2≤70，則8b－c－2＝0或17或34或51或68，由8b－c－2＝0得c＝8b－2，∵0≤c≤9，∴0≤8b－2≤9，∴≤b≤，∴；由8b－c－2＝17得c＝8b－19，∵0≤c≤9，∴0≤8b－19≤9，∴2≤b≤3，∴；由8b－c－2＝34得c＝8b－36，∵0≤c≤9，∴0≤8b－36≤9，∴4≤b≤5，∴(舍去)；由8b－c－2＝51得c＝8b－53，∵0≤c≤9，∴0≤8b－53≤9，∴6≤b≤7，∴(舍去)；由8b－c－2＝68得c＝8b－70，∵0≤c≤9，∴0≤8b－70≤9，∴8≤b≤9，∴(舍去)；綜上所述，這兩個(gè)調(diào)和數(shù)分別是243和216或343和235；(2)證明：由調(diào)和數(shù)定義可得，x＋y＝m＋n①，∵A與B之和是B與A之差的3倍，∴10x＋y＋10m＋n＝3(10m＋n－10x－y)，∴20x＋2y＝10m＋n②，②－①，得19x＋y＝9m，即18x＋x＋y＝9m，∴m＝2x＋，∵1≤x≤9，0≤y≤9，A≠B，∴x≠m，x與y也不可能同時(shí)等于9，∴1≤x＋y18，∵m＝2x＋為不為0的整數(shù)，∴為整數(shù)，∴1≤x＋y18，∴x＋y＝9，∴y＝－x＋9.