【正文】 ?????對上式分別利用一階電路的結(jié)論，得y( t ) = xbbtt d)e(21110221 ???? = )]e([210 tta???式中 a0 = ?1?2。7．電路的狀態(tài)方程，實(shí)際上是用一組一階微分方程表述電路時(shí)域方程的一種形式。這組方程便于用計(jì)算機(jī)求解。若選擇電容電壓和電感電流為狀態(tài)變量，對含有電感的回路列寫KVL 方程，對含有電容的節(jié)點(diǎn)列寫 KCL 方程，最后消去非狀態(tài)變量，就可以得到狀態(tài)方程的一般形式。例 54 如圖 55(a)所示電路，開關(guān)未合時(shí)電路已處穩(wěn)態(tài)，在 t = 0 時(shí)，開關(guān)合上。試求t 0 時(shí) uC( t )。圖 55解 由電路(b)，可得初始狀態(tài)uC( 0? ) = Uo = 5ViL( 0? ) = Io = 10A由電路(c)，依 KCL 和 KVL，得方程66+ 2uC = itd+ 2i + uC = 0消去電流 i，則有uC?( t ) + 4uC?( t ) + 5uC( t ) = 0 ( t ? 0)可得特征根?1,2 = ?2 ? j方程解的一般形式為uC( t ) = Ke?2tcos( t + ? ) ( t ? 0)又邊界條件uC( 0+ ) = uC( 0? ) = K cos? = 5= K( ?sin? ) ? 2 K cos?d?t = ?2 uC( 0+ ) + iL( 0+ ) = 0可解得K = 5cos? = 1故電壓uC( t ) = 5 e?2tcos( t + ? ) ( t ? 0)例 55 如圖 56 所示 RLC 串聯(lián)電路，試求其階躍響應(yīng) i( t )。圖 56解 方法一（經(jīng)典法） 。對電路列關(guān)于 i( t )的微分方程為Ri + L = ?( t )??Cd1對上式兩端求導(dǎo)一次，得i?( t ) + 2 + 2i = ?( t )t其特征方程的根67?1,2 = ?1 ? j則解的一般形式為i( t ) = e?t( K1cos t + K2sint ) + B因?yàn)閠 = 0 時(shí) ，L 是開路的，故 i = 0t = ? 時(shí)， C 是開路的，故 i = 0，B = 0故i( t ) = e??t( K1cos t + K2sint )又i( 0 ) = K1 = 0i = e??tK2sint= K2 = 10d?t故i( t ) = e??t sint = e?t sint ( t ? 0)方法（二） （算子法） 。由于電路的算子方程為( p2 + 2p + 2 ) i( t ) = ?( t )故i( t ) = ?( t )12?= ?( t ))21??p= ][= e21tp?最后得i( t ) = xtd1210???? = e?t sint68 第 5 章習(xí)題解析51 如圖電路，t 0 時(shí)已處于穩(wěn)態(tài)。在 t = 0 時(shí)開關(guān)從 “1”打到“2” ，試求 t ? 0 時(shí)的電流 i( t )，并畫出其波形。題 51 圖解 因?yàn)樵?t 0 時(shí)，電容已充電完畢，相當(dāng)于開路，所以i( 0? ) = A = 10A218?uC( 0? ) = 18 i( 0? ) = 180V在 t 0 時(shí)，等效電阻R0 = [ + 4] ? = 10?918??故時(shí)常數(shù)? = R0C = 10 50 10?6s = 所以uC( t ) = 180 V ( t ? 0 )?t?e最后i( t ) = uC( t ) =6 A ( t ? 0 )1846???t?52 如圖電路在開關(guān)打開前已處于穩(wěn)態(tài)。求 t ? 0 時(shí)電感中電流 iL( t )。題 52 圖69解 因?yàn)樵?t 0 時(shí)，電感相當(dāng)于短路，所以iL( 0? ) = （ ） A = 8A5206)/(1??故iL( 0+ ) = iL( 0? ) = 8A等效電阻R0 = ?521??= 20?故時(shí)常數(shù)? = s= 30???RL最后得iL( t ) = 8 A ( t ? 0 )?t?e53 試求圖示電路的起始值 iC( 0+ )、u L( 0+ )和 i( 0+ )。設(shè) t 0 時(shí)電路已穩(wěn)定。題 53 圖解 由題可以得到 t = 0? 和 t = 0+ 時(shí)的等效電路如題 53 解圖所示。題 53 解圖由題 53 解圖 (a)，得70uC( 0? ) = V= 8V4831??RiL( 0? ) = A= 1A48231SU由題 53 解圖(b)，得uC( 0+ ) = 8V， iL( 0+ ) = 1A故uL( 0+ ) = US ? R3 iL( 0+ ) = 4ViC( 0+ ) = = 1A2Cu?i ( 0+ ) = iC( 0+ ) + iL( 0+ ) = 2A54 已知圖示電路中，R = 1?，電壓表讀數(shù)為 3V，電壓表內(nèi)阻為 5k?。試求開關(guān)在 t = 0 瞬間打開時(shí)電壓表兩端的電壓。題 54 圖解 在 t 0 時(shí)，電感中電流iL( 0? ) = A= 3A13S?RU則在 t = 0+ 時(shí)，流過電壓表的電流為iL( 0+ ) = 3A故電壓表兩端電壓為U = ?iL( 0+ ) 5000 = ?15000V55 試求圖示電路的受激響應(yīng) u( t )。題 55 圖71解 求受激響應(yīng)時(shí)，應(yīng)假設(shè) u( 0? ) = 0。由于u( t ) = ?( t ) ? 2i( t )i( t ) = C du?可得微分方程u? ( t ) + u( t ) = ?( t )214因而u( t ) = = ( 1 ? ) ( t ? 0 )xtde)(4202??? 2et或者利用主教材公式（522 ） ，其中 a = ，b = ，故4u( t ) = ( 1 ? ) = ( 1 ? ) ( t ? 0 )b?te22et56 已知圖示電路中 ，R 1 = R2 = 1k?，L = 20mH，U = 10V，i( 0? ) = 0，試求 t ? 0 時(shí)的i( t )和 uL( t )。題 56 圖解 可用三要素法求解如下：i( 0+ ) = i( 0? ) = 0i( ? ) = A= 5mA211??RU? = s = 10?s032??L則i( t ) = i( ? ) + [i( 0+ ) ? i( ? )] ?t?e = 5( 1 ? ) mA?te進(jìn)而有uL( t ) = L = 500 Vtid?t?e7257 如圖所示，t 0 時(shí)電路已穩(wěn)定，試用三要素法求響應(yīng) uC( t )。題 57 圖解 由題意，得三要素：uC( 0+ ) = uC( 0? ) = 0uC( ? ) = 12 V= 6V2?? = R0C = ( 10 + 40 ) s = 5s從而得uC( t ) = uC( ? ) + [uC( 0+ ) ? uC( ? )] ?t?e= 6( 1 ? ) A ( t ? 0 )5et58 如題 58 圖所示，(a)為“積分電路” ，(b)為“微分電路” 。試用三要素法分別求(a)和(b) 的輸出 u2( t )，并畫出其波形。題 58 圖解 （a）由已知，得uC( 0+ ) = 0V1073uC( ? ) = 10V? = RC = 1000 2 10?6 s= 2ms故u2( t ) = 10( 1 ? )?te當(dāng) t = 1ms 時(shí)，則u2( 1ms ) = 10( 1 ? e? )V = 此后，電容放電，經(jīng) 1ms 后，當(dāng) t = 2ms 時(shí)，有u2( 2ms ) = u2( 1ms ) = ? V= ?t?當(dāng) t = 3ms 后，電容又充電，起始值為 ，則有u2( t ) = 10 + ( ?10 ) ?te當(dāng) t = 3ms 時(shí)，有u2( 3ms ) = [10 + ( ?10 ) e? ] V= 其電壓波形如題 58 解圖 1 所示。題 58 解圖 1（b）由題知，得三要素：u2( 0+ ) = 0u2( ? ) = 10V? = R0C = (R1 + R2)C = ?s故當(dāng) 0 t 10?s 時(shí)，有u2( t ) = u2( 0+ ) = 10?t?e?t?當(dāng) t = 5? = 6?s 時(shí)，u 2( t ) = 0。當(dāng) 0 ? t ? 20?s 時(shí)，電容反方向放電。C 上已充的電壓為 12V，故有u2( 10+ ) = = ?10V)12(12??R74從而在 10?s t 20?s 內(nèi)，有u2( ? ) = 0當(dāng) t = 16?s，即又經(jīng) 5?時(shí)， u2 = 0，以后周期重復(fù)。故可得題 58 解圖 2 所示波形。u2( t ) = ?10 ??s10et題 58 解圖 259 試畫出圖示有源微分電路的 u2( t )的波形。題 59 圖解 由運(yùn)放的特性，可得u2( t ) = ?RC = ?tud1t1故得電壓和電流的波形如題 59 解圖所示。題 59 解圖510 根據(jù)圖示的積分電路和輸入信號 u1 波形，試畫出 u2 的波形。75題 510 圖解 由運(yùn)放的特性，且設(shè) uC( 0 ) = 0，則u2( t ) = ? xuxuRtt d)(d)(101????在 0 ? t ? 4s 內(nèi)，有u2( t ) = = ?2tt0在 4 t ? 8s 內(nèi)，有u2( t ) = u2( 4s ) + xtd)(01?= u2( 4s ) = ?8V以后再進(jìn)行充電和保持。其波形如題 510 解圖所示。題 510 511 （略）512 如圖為某晶體管延時(shí)繼電器輸入等效電路。已知 R1 = R2 = 20k?，C = 200?F，U S = 24V。設(shè) t = 0 時(shí)開關(guān)斷開，電壓源對電容充電，當(dāng)電容電壓上升至 uC = 4V 時(shí)，繼電器開始工作。試問開關(guān) K 斷開后，繼電器延時(shí)多久才能開始工作？題 512 圖276解 由題知，uC( 0+ ) = uC( 0? ) = 0開關(guān)斷開后，uC( ? ) = US = A= 12V21R?4R0 = = 10k?故? = R0C = 10 10?3 200 10?6 s = 2s 從而得uC( t ) = uC( ? )(1 ? )?te設(shè)當(dāng) t = t0 時(shí) uC 達(dá) 4V，則有uC( t0) = 12(1 ? ) = 4V?0t解得t0 = ? ln s412ln)(0C??t = 2 = 即繼電器經(jīng)過 的延時(shí)后才能開始工作。513 在示波器和電視機(jī)等電子設(shè)備中廣泛地使用著鋸齒波發(fā)生電路，其產(chǎn)生的鋸齒波電壓成為顯示屏上的電壓掃描線。如圖所示即為簡單的鋸齒波形成電路模型。設(shè) US = 12V，R 1 = 250k?，R 2 = 20?，C = ?F。開關(guān) S 打開前電路已達(dá)穩(wěn)定。當(dāng) t = 0 時(shí)開關(guān)斷開，經(jīng)過 5ms 時(shí)，開關(guān)再閉合；當(dāng) uC = 0V 時(shí)再將開關(guān)斷開，如此重復(fù)下去，可得到一個(gè)鋸齒波系列。試求 uC( t )的變化規(guī)律，并畫出其波形。題 513 圖解 在開關(guān)斷開前，電容電壓為uC( 0? ) = US = ? 0V21R?12053??77即有uC( 0+ ) = uC( 0? ) = 0當(dāng)開關(guān)打開后，其穩(wěn)定值uC( ? ) = US = 12V電容充電時(shí)（掃描正程）時(shí)常數(shù)為?01 = R1C = 250 103 10?6 = 25ms故得uC( t ) = US (1 ? ) = 12 (1 ? e?40t ) V （0 ? t ? 5ms）01e?t開關(guān)重新閉合，開始鋸齒波的逆程（掃描回程） 。當(dāng) t = 5ms 時(shí)，uC( 5ms ) = 12 (1 ? ) V= ??即以此值開始回掃。這時(shí)的時(shí)常數(shù)為?02 = C ? R2C = 20 10?6 s= 2?s12?故回掃函數(shù)uC( t ) = = V02315e???t )105(3e???t電壓變化波形如題 513 解圖所示。題 513 解圖514 在圖示電路中，D 為壓控開關(guān)器件。已知 US = 100V，R = 2k?，C = ?F。當(dāng)uC 上升到 80V 時(shí) D 導(dǎo)通，其電阻忽略不計(jì)；當(dāng) uC 下降到 20V 時(shí) D 斷開。如此產(chǎn)生了周期電壓。試求 uC( t )并畫出其波形。題 514 圖78解 由題意得三要素法：uC( 0+ ) = uC( 0? ) = 0VuC( ? ) = 100V? = RC = 2022 10?6 s= 1ms設(shè) t = t1 時(shí)，壓控器件 D 開始導(dǎo)通，則當(dāng) 0 ? t ? t1 時(shí)，有uC( t