無窮級數(shù)練習(xí)題-資料下載頁
2025-03-25 03:29本頁面
【正文】 ，于是原級數(shù)的收斂域?yàn)?已知函數(shù) 試計(jì)算下列各題： ； 【解】用分段積分法，分部積分法和換元積分法，分別可得 ；；；利用以上結(jié)果，有2設(shè)有兩條拋物線和，記它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對值為。（1）求這兩條拋物線所圍成的平面圖形的面積；（2）求級數(shù)的和。【解】（1）用與分別表示兩條拋物線與與有兩個(gè)交點(diǎn)與，如圖令 ，容易求得，利用定積分還可求得兩拋物線圍成的平面圖形的面積。 （2） 因?yàn)? ，于是 故 2設(shè)，求【解】由 ，有令，因其收斂半徑，且，故在內(nèi)有 于是 令，即得 從而 2已知滿足（為正整數(shù)），且，求函數(shù)項(xiàng)級數(shù)之和。【解】由已知條件可知滿足一階線性微分方程 其通解為 由條件，得，故從而 記，其收斂域?yàn)闀r(shí)，有 故 由與在的連續(xù)性知，上述和函數(shù)公式在處也成立，于是，當(dāng)時(shí)，有2（1）驗(yàn)證函數(shù)滿足微分方程；利用的結(jié)果求冪級數(shù)的和函數(shù)?！窘狻? 因?yàn)閮缂墧?shù) 的收斂域是，因而可在上逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù)，得 ， ，所以 （2）與相應(yīng)的齊次微分方程為,其特征方程為 ，特征根為因此齊次微分方程的通解為 設(shè)非齊次微分方程的特解為 ，將代入方程 可得 ，即有 于是，方程通解為 當(dāng)時(shí)，有于是冪級數(shù)的和函數(shù)為2求冪級數(shù)的和函數(shù)及其極值。【解】 將等式 逐項(xiàng)求導(dǎo)，得 上式兩邊從到積分，有 由于，故得到了和函數(shù)的表達(dá)式 令，可求出函數(shù)有惟一駐點(diǎn)，因?yàn)? ，可見在點(diǎn)處取得極大值，且極大值為2設(shè)級數(shù)的和函數(shù)為，求：所滿足的一階微分方程；的表在式。【解】 易見，且冪級數(shù)的收斂域?yàn)?，在上逐?xiàng)求導(dǎo)，得 因此是初值問題 ，的解。 方程 的通解為由初始條件 求得故 ，因此和函數(shù)2求冪級數(shù)在區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)【解】 不難發(fā)現(xiàn)，從而，只需求當(dāng)時(shí)和函數(shù)的表達(dá)式，注意 其中 逐項(xiàng)求導(dǎo)，得 將上式兩端的改寫成，并分別從到求定積分，可得 又因，于是 綜合以上討論，即得24
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