【正文】 kkx???《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 73混合策略的定義 局中人 混合策略就是定義在其純策略集 上的一個概率分布。 局中人 的 混合策略集 記為 ： （ ） 記 為博弈 的一個 混合策略組合 。 i iSiiX( ) ( ) ( ) ( ) ( )121{ ( , , ) , | 0 , 1 , 2 , , , 1 }imi i i i ii i m i k i kkX x x x x x k m x?? ? ? ? ??12( , , )nx x x x? G《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 74混合策略下 n 人非合作博弈三要素 (1)局中人的集 ； (2)每個局中人 有一個 混合策略的集 其中 滿足（ ）； (3)每個局中人有一個 支付函數(shù) 并設 是局中人 的支付函數(shù) 在混合策略局勢 下得到的期望支付。 在混合策略的情形下 ， 一個 人非合作博弈可以用下面的記號來表示： },2,1{ nN ??i( ) ( ) ( )12{ } { ( , , , ) } , 1 , 2 ,ii i ii i mX x x x x i n? ? ?)()(2)(1 , imiiixxx ?( ) , 1 , 2 , ,iiP P s i n??)( xEE ii ? i12( , , )nx x x x?}]{},{,[ ii PXNG ?niP《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 75混合策略納什均衡點和均衡結果 設 是 人非合作博弈 的一個混合策略局勢。如果對于每一個 和每個 ，有 : ， ， （ ） 則稱 是 （在混合策略下）的一個 混合策略納什均衡點 ， 為對應的 均衡結果 。 為混合策略 下局中人 的期望收益。 { ( )}iEx?12( , , , )nx x x x? ? ? ?? nGNi?iixX?( || ) ( )i i iE x x E x??? ni ,2,1 ???x G()iEx 12( , , , )nx x x x? i《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 76 混合策略納什均衡點的存在性定理 定理 混合策略納什均衡點的充分必要條件 定理 混合策略納什均衡點的存在性 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 77定理 設 是 人非合作博弈。 是 的一個混合策略納什均衡點的充分必要條件是：對于每個局中人 和每個純策略 ，有 。 （ ） 這里 是將局中人 的混合策略 換成一個純策略 后的期望支付。 定理 }]{},{,[ ii PXNG ? n ?x Gi ()ikisS?()( || ) ( )ii k iE x s E x???()( || )iikE x s? iix?()iks《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 78定理 必要性。 顯然成立。 充分性。 設（ ）式成立，即對于每個 有 ， （ ） 設 是局中人 的任意一個混合策略。（ ）中 個不等式兩端依次乘以 ，得到 ， （ ） 對 從 1到 求和： （ ） （ ）式中的左端就是 ，右端的和式等于 1。 由此可知， 是 的混合策略納什均衡。 i)()||( )( ?? ? xEsxE iiki imk ,2,1 ??( ) ( ) ( )12{ , , } ,ii i ii m ix x x x X?? iim)(ikx)()()( )()||( ikiikiki xxExsxE ?? ? imk ,2,1 ??k im??????? ii mkikiikikmii xxExsxE1)()()(1)()||(( || )iiE x x?( || ) ( )i i iE x x E x??? ni ,2,1 ???x G《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 79定理 每個 人非合作博弈 必有 混合策略納什均衡 n }]{},{,[ ii PXNG ?《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 80定理 證明：設 是 的任意混合策略局勢。對于每個 的每個純策 ， ，定義 對于每個 ，定義 12( , , , )nx x x x? GiN? ()iks1, 2 , , ikm?()( ) m a x { 0 , ( ) ( ) }iik i k ix E x s E x? ??() () , 1 , 2 , , , 1 , 2 , ,ikix k m i n??()()1()1 ( )iii k ikk mikkxxyx?????? ?() 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 81定理 (續(xù) ) Brouwer 不 動 點定理：定 義 在有限 維歐 式空 間緊 凸集 S上 從 S映入其本身的連續(xù) 映射必有不 動 點 。 易知， , 所以 是局 中人 的一個混合策略。 是 的連續(xù)函數(shù)，所以 是 的連續(xù)函數(shù)。根據(jù) Brouwer 不動點定理，存在不動點 ， 其中 ，使得 ( ) ( )10 , 1 , 2 , , , 1imiik i kky k m y?? ? ?? ( ) ( ) ( )12( , , , )ii i iimy y y y?( ) ( ) ( )12( , , , )ii i iimy y y y? xi12( , , , )ny y y y?x* * * *12( , , , )nx x x x?* ( ) * ( ) * ( ) *12( , , , ) , 1 , 2 , ,ii i ii m ix x x x X i n? ? ?( ) * *( ) **1() , 1 , 2 , , , 1 , 2 , ,1 ( )iii k i kkimikkxxx k m i nx????? ? ?? ?() 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 82定理 (續(xù) ) 該不動點就是博弈 的混合策略納什均衡的證明 —— 首先，對于任意的混合策略局勢 ，每個局中人 必有一個純策略 ，使得 ，且 因此，對于 ，局中人 的策略 中必定包含一個 ，使得 ， 從而 。 由（ ）有： 。 () G12( , , , )nx x x x?i ()ihs () 0ihx ?()( ) ( )ii h iE x s E x?* ( 1 ) * ( 2 ) * ( ) *( , , , )nx x x x? i *ix( )* 0ihx ? * ( ) *( ) ( )ii h iE x s E x?* ( ) *( ) ( ) 0ii h iE x s E x??*( ) 0ih x? ?《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 83定理 (續(xù) ) 其中 。由此可得 : 。 而由 的定義，所有的 都是非負的，所以從上式可知，對于每個 ， 。因此根據(jù)（ ）式，有 ,即 。 上式對于每個 成立。由定理 ， 是 的混合策略納什均衡。 ( )* 0ihx ? *1( ) 0im ikkx????*()ik x? *()ik x?1, 2 , , ikm? *( ) 0ik x? ?* ( ) *( ) ( ) 0 , 1 , 2 , ,ii k i iE x s E x k m? ? ?* ( ) *( ) ( ) , 1 , 2 , ,ii k i iE x s E x k m??1, 2 , ,in? *x G 對于上述局中人 的策略 ，由（ ）式有： i ()*ihx( ) * * ( ) *( ) ***11()1 ( ) 1 ( )iiiii h ih hh mmik ikkkx x xxxx????????????《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 84167。 雙矩陣博弈的納什均衡 ※ 雙矩陣博弈納什均衡的求解 ※ 例 含一個參數(shù) 的 雙矩陣博弈 ※ 例 小偷與守衛(wèi)的博弈 22?22?a 22?《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 85 雙矩陣博弈納什均衡的求解 ※ 存在策略占優(yōu)時納什均衡的求解 ※ 不存在策略占優(yōu)時納什均衡的求解 22?《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 86存在策略占優(yōu)時納什均衡的求解