【導(dǎo)讀】衿襖芆莇螅羃莈薂蟻肈蒞薇羈膀薀羆羀莂莃袂罿蒅蠆螈羈膄蒁蚄羈芆蚇薀羇荿蒀袈肆肈蚅螄肅膁蒈蝕肄芃蚃薆肅蒅蒆羅肂膅荿袁肂芇薅螇肁莀莇蚃肀聿薃蕿腿膂莆袇膈芄薁螃膇莆莄蠆膆膆蕿蚅膆羋蒂羄膅莀蚈袀膄蒃蒁螆膃膂蚆螞蝿芅葿薈衿莇蚄袇袈肇蕆螃袇艿蚃蝿袆莁薅蚅裊蒄莈羃襖膃薄衿襖芆莇螅羃莈薂蟻肈蒞薇羈膀薀羆羀莂莃袂罿蒅蠆螈羈膄蒁蚄羈芆蚇薀羇荿蒀袈肆肈蚅螄肅膁蒈蝕肄芃蚃薆肅蒅蒆羅肂膅荿袁肂芇薅螇肁莀莇蚃肀聿薃蕿腿膂莆袇膈芄薁螃膇莆莄蠆膆膆蕿蚅膆羋蒂羄膅莀蚈袀膄蒃蒁螆膃膂蚆螞蝿芅葿薈衿莇蚄袇袈肇蕆螃袇艿蚃蝿袆莁薅蚅裊蒄莈羃襖膃薄衿襖芆莇螅羃莈薂蟻肈蒞薇羈膀薀羆羀莂莃袂罿蒅蠆螈羈膄蒁蚄羈芆蚇薀羇荿蒀袈肆肈蚅螄肅膁蒈蝕肄芃蚃薆肅蒅蒆羅肂膅荿袁肂芇薅螇肁莀莇蚃肀聿薃蕿腿膂莆袇膈芄薁螃膇莆莄蠆膆膆蕿蚅膆羋蒂羄膅莀蚈袀膄蒃蒁螆膃膂蚆螞蝿芅葿薈衿莇蚄袇袈肇蕆螃袇艿蚃蝿袆莁薅蚅裊蒄莈羃襖膃薄衿襖芆莇螅羃莈薂蟻肈蒞薇羈膀薀羆羀莂莃

　　

【正文】 20，交叉兩直線的同面投影可能相交，但各投影的交點(diǎn)不符合點(diǎn)的投影規(guī)律。交叉兩直線上對(duì)該投影面的一對(duì)重影點(diǎn)的投影?？捎盟鼇?lái)判斷這兩直線的相對(duì)位置。 4．直角投影定理 （ 1）定理： a）空間兩條互相垂直的直線，如果其中一條為某一投影面的平行線，則它們?cè)谠撏队懊? 上的投影仍互相垂直； b）逆定理也 成立； c）垂直交叉的兩直線仍具有上述特性。 （ 2）定理的應(yīng)用：（ P22） 167。2 —4 平面的投影 由初等幾何學(xué)可知，不在一條直線上的三點(diǎn)、一條直線和線外一點(diǎn)、兩平行直線、兩相交直線可決定一平面；在投影圖上可利用幾何元素來(lái)表示平面。但是形體上任何一個(gè)平面圖形都有一定的形狀、大小和位置。從形狀上看，常見的平面圖形有三角形、矩形、正多邊形等直線輪廓的平面圖形。 平面的表示方法 1．不在一條直線上的三點(diǎn)； 2．一條直線和線外一點(diǎn)； 3．兩平行直線； 4．兩相交直線； 5．任意一平面圖形。 圖 2—21幾何元素表示平面 平面形在三面投影體系中的特性 平面形的投影一般仍為平面形，特殊情況下為一條直線。 平面形投影的作圖方法是將圖形輪廓線上的一系列點(diǎn)（多邊形則是其頂點(diǎn)）向投影面投影，即得平面形投影。三角形是最簡(jiǎn)單的平面形，如圖 2—25所示，將△ABC 三頂點(diǎn)向三投影面進(jìn)行投影的直觀圖和三面投影圖。其各投影即為三角形之各頂點(diǎn)的同面投影的連線。其它多邊形的作法與此類似。又此可見，唨平面形的投影，實(shí)質(zhì)上仍是以點(diǎn)的投影為基礎(chǔ)而得的投影。 圖 2—22一 般位置平面的投影 圖 2—23投影面平行面的投影特性 平面形在三面投影體系中的位置可分為三種： 1．一般位置平面 ——對(duì)于三個(gè)投影面都傾斜平面 對(duì)三個(gè)投影面都傾斜的平面，稱為一般位置平面，如圖圖 2—22所示。一般位置的三角形平面的投影情況，由于它對(duì)三個(gè)投影面都傾斜，所以三個(gè)投影仍為三角形，且不反映實(shí)形，都比實(shí)形縮小了。 由此得到一般位置平面的投影特性： （ 1）類似性 ——在三個(gè)投影面上的投影均為相仿的平面圖形，且形狀縮??； （ 2）判斷 ——平面的三面投影都是類似的幾何圖形 ，該平面一定是一般位置平面。 2．投影面平行面 ——平行于一個(gè)投影面的平面 平行于一個(gè)投影面也即同時(shí)垂直于其它兩個(gè)投影面的平面，稱為投影面平行面。如圖 2—23 所示，投影面平行面有三種：水平面（ ∥ H 面）、正平面（ ∥ V面）、側(cè)平面（ ∥ W面）。 三種投影面平行面的投影特征： （ 1）真實(shí)性 ——如平面用平面形表示，則在其所平行的投影面上的投影，反映平面形的實(shí)形； （ 2）積聚性 ——在另外兩個(gè)投影面上的投影為直線段（有積聚性）且平行于相應(yīng)的投影軸； （ 3）判斷 ——若在平面形的投影中，同時(shí)有兩個(gè)投影分別積聚成平行 于投影軸的直線，而只有一個(gè)投影為平面形，則此平面平行于該投影所在的那個(gè)投影面。該平面形投影反映該空間平面形的實(shí)形。 2． 投影面垂直面 ——垂直于一個(gè)投影面的平面 圖 2—24投影面垂直面的投影特性 僅垂直于一個(gè)投影面，而與另外兩個(gè)投影面傾斜的平面，稱為投影面垂直面。如圖 2—24所示。投影面垂直面有三種：鉛錘面（ ⊥ H面）、正垂面（ ⊥ V面）、側(cè)垂面（ ⊥ W面）。 三種投影面垂直面的投影特征： （ 1）積聚性 ——在其所垂直的投影面上的投影為傾斜直線段，該傾斜直線段與投影軸的夾角，反映 該平面對(duì)相應(yīng)投影面的傾角； （ 2）相仿性 ——若平面用平面形表示，則在另外兩個(gè)投影面上的投影仍為平面形，但不是實(shí)形； （ 3）判斷 ——若平面形在某一投影面上的投影積聚成一條傾斜于投影軸的直線段，則此平面垂直于積 聚投影所在的投影面。 平面內(nèi)的直線和點(diǎn) 167。2 —5 換面法 一、 換面法概述 當(dāng)直線或平面相對(duì)于投影面處于特殊位置（平行、垂直）時(shí)，它們的投影反映線段的實(shí)長(zhǎng)、平面的實(shí)形及其與頭面的傾角。 當(dāng)直線或平面和投影面處于一般位置時(shí)，則它們的投影不具備上述特性。 換面法的目的，就在于將直線或平 面從一般位置變換為和投影面平行或垂直的位置，以便于解決它們的度量和定位問題。 1．換面法的基本概念 換面法就是保持空間幾何元素不動(dòng)，用一個(gè)新的投影面替換其中一個(gè)原來(lái)的投影面，使新投影面對(duì)于空間幾何元素處于有利于解題的位置。然后找出其在新投影面上的投影。 2．新投影面的選擇原則 （ 1）新投影面必須和空間的幾何元素處于有利于解題的位置； （ 2）新投影面必須垂直于一個(gè)原有的投影面； （ 3）在新建立的投影體系中仍然采用正投影法。 二、 點(diǎn)的換面 點(diǎn)是一切幾何元素的基本元素。因此在研究換面時(shí)，首先從點(diǎn) 的投影變換來(lái)研究換面法的投影規(guī)律。 1．點(diǎn)的一次換面 （ 1）換 V面 圖 225（ a）表示點(diǎn) A在原投影體系 V/H中，其投影為 a和 現(xiàn)令 H面不動(dòng)，用新投影面 V1 來(lái)代替 V面， V1 面必須垂直于不動(dòng)的 H面，這樣便形成新的投影體系 V1/H， O1X1是新投影軸。 ，點(diǎn) 是新投影，點(diǎn) 是舊投影，點(diǎn) a是新、舊投過(guò)點(diǎn) A向 V1 面作垂線，得到 V1 面上的新投影 a1 是新的投影體系中的兩個(gè)投影，將 V1 面繞 O1X1軸旋轉(zhuǎn)到與 H面重影體系中的共有的不變投影。 a和 a1 合的位置時(shí)，就得到圖 225（ b）所示的投影圖。 由于在 （ a） （ b） （ c） 圖 225點(diǎn)的一次變換（換 V面） 新投影體系中，仍采用正投影方法，又在 V/H投影體系和 V1/H體系中，具有公共的 H 面，所以點(diǎn) a 到 H 面的距離（ Z 坐標(biāo)）在兩個(gè)題詞體系中是相等的。所以有如下關(guān)系： ⊥ O1X1軸； ，即：換 V面時(shí) Z坐標(biāo)不變。 a1 由此得出點(diǎn)的投影變換規(guī)律是： ① 點(diǎn)的新投影和 不便投影的連線，必垂直于新投影軸； ② 點(diǎn)的新投影到新投影軸（ O1X1）的距離等于被替換的點(diǎn)的舊投影到舊投影軸（ OX）的距離，也即換 V面時(shí)高度坐標(biāo)不變。 換 V面的作圖方法和步驟如圖 225（ c）所示： ① 在被保留的 H投影 a附近（適當(dāng)?shù)奈恢茫┳?O1X1軸； ，點(diǎn) 即為所求。 ② 由 H投影 a向新投影軸 O1X1作垂線，在此垂線上量取 a1 （ 2）換 H面 換 H面時(shí)，新就投影之間的關(guān)系與換 V面類似，也存在如下關(guān)系： ⊥ O1X1軸； ，換 H面是 Y坐標(biāo)不變。 其作圖方法和步驟與換 V面類似 225（ c），可依此類推，此略。 2．點(diǎn)的二次換面 由于應(yīng)用換面法解決實(shí)際問題時(shí)，有時(shí)一次換面還不便于解題，有時(shí)還需要二次或多次變換投影面。如圖 327 表示點(diǎn)的二次換面，其求點(diǎn)的新投影的作圖方法和原理與一次換面相同。 但要注意：在更換投影面時(shí)，不能一次更換兩個(gè)投影面，為在換面過(guò)程中二投影面保持垂直，必須在更換一個(gè)之后，在新的投影體系中交替地再更換另一個(gè)。如 226（ a）所示，先由 H1 代替 H面，構(gòu)成新的投影體系 V/H1， O1X1為新坐標(biāo)軸；再以這個(gè)新投影體系為基礎(chǔ)，以 V2 面 代替 V 面，又構(gòu)成新的投影體系V2/H1， O2X2為新坐標(biāo)軸。 二次換面的作圖步驟如圖 226（ b）所示： （ 1）先換 H面，以 H1 面替換 H面，建立 V/H1新投影體系，得新投影 a1，而 ，作圖方法與點(diǎn)的一次換面完全相同； ，而 ，（ 2）再換 V面，以 V2 面替換 V面，建立 V2/H1新投影體系，得新投影 a2 作圖方法與點(diǎn)的一次換面類似。 （ 1） （ 2） 圖 226點(diǎn)的二次換面 注：根據(jù)實(shí)際需要也可以先換 V 面，后換 H 面，但兩次或多次換面應(yīng)該是 V 面和 H 面交替更換，如： VVVV→1→1→3?? 。 HHH2H2 三、幾個(gè)基本作圖問題 1．將一般位置直線變換為投影面的平行線 如圖 227（ a）為把一般位置直線 AB變換為投影面平行線的情況。用 V1 面代替 V 面，使 V1 面 ∥ AB 并垂直于 H 面。此時(shí)， AB 在新投影體系 V1/H 中為正平線。圖 227（ b）為投影圖。作圖時(shí)，先在適當(dāng)位置畫出與不變投影 ab平行的新投影軸 O1X1（ O1X1∥ ab），然 后根據(jù)點(diǎn)的投影變換規(guī)律和作圖方法，求出 、 ， 。 反應(yīng)線段 AB 的實(shí)長(zhǎng)， ， A、 B 兩點(diǎn)在新投影面 V1 上的新投影 a1再連接直線 a1則 a1即 a1b1 和新投影軸（ O1X1軸）的夾角即為直線 AB對(duì) H面的傾角 α，如圖 227（ b）并且新投影 a1。 如圖 227（ c）所示若求線段 AB 的實(shí)長(zhǎng)和與 V 面的傾角 β，應(yīng)將直線 AB 變換成水平線（ AB∥ H1 面）也即應(yīng)該換 H 面，建立 V/H1 新投影體系，基本原理和作圖方法同上。 （ a） （ b） （ c） 圖 227將一般位置直線變換為投影面平行線 2．將投影面的平行線變換為投影面垂直線 將投影面平行線變換為投影面的垂直線，是為了使直線積聚成一個(gè)點(diǎn)，從而解決與直線有關(guān)部門的度量問題（如求兩直線間的距離）和空間文質(zhì)彬彬問題（如求線段面交點(diǎn)）。應(yīng)該選擇哪一個(gè)投影面進(jìn)行變換，要根據(jù)給出的直線的位置而定。即選擇一個(gè)與已知平行線垂直的新投影面進(jìn)行變換，使該直線在新投影體系中成為垂直線。 如圖 228（ a）表示將水平線 AB變換為新投影面的垂直線的情況。圖 228（ b）表示投影圖的作法：因所選的新投