【正文】 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） S ( , )uv??1 ( , , ) m a x{ | ( , ) , }u S u v u R u v S v v? ? ?? ? ? ?21( , , ) m a x { | ( , ) }m S u v v R u v S?? ? ? ?1 ( , , ) m a x{ | ( , ) , }v S u v v R u v S u u? ? ?? ? ? ?11( , , ) m a x { | ( , ) }m S u v u R u v S?? ? ? ?2 ( ) m in{ | ( , ) }u S u R u v S? ? ?2 ( ) m i n{ | ( , ) }v S v R u v S? ? ?圖 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 61 定義 設(shè) 是平面 上的凸集， 稱為 的 理想點(diǎn) 。 定義 設(shè) 是平面 上的凸集， 稱為 的 最小期望點(diǎn) 。 定義 設(shè) 是平面 上的凸集，點(diǎn) 稱為 的 最小妥協(xié)點(diǎn) 。 定義 設(shè) 是平面 上的凸集，由 ， 和 所圍成矩形稱為含 的最小矩形。其對(duì)角線交點(diǎn)稱 最小矩陣的中心。 S 2R 11( , , ) ( ( , , ) , ( , , ) )M S u v u S u v v S u v? ? ? ? ? ??S 2R 12( , , ) ( ( , , ) , ( , , ) )m S u v m S u v m S u v? ? ? ? ? ??SS 2R1 1 1 2( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )( , )22u S u v m S u v v S u v m S u v? ? ? ? ? ? ? ???SS 2R12,u u u u?? 1vv? 2vv?SS《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 62 納什談判解初始參考點(diǎn)除了前面介紹的 1和 2之外還可以有 下列的選取法： 3. 采用 的 最小期望點(diǎn) 作為新的初始參考點(diǎn)； 4. 采用 的 最小妥協(xié)點(diǎn) 作為新的初始參考點(diǎn)； 5. 包含 的 最小矩形的中心 作為新的初始參考點(diǎn)。 SSS《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 63例 例 設(shè)有一凸集，由曲線 和 圍成。記 (1) 為 初始參考點(diǎn) ， 為納什談判解；（ 2） 為 最小期望點(diǎn) ， 為以 為初始參考點(diǎn)所得的納什談判解；（ 3） 為 最小妥協(xié)點(diǎn) ， 為以 為初始參考點(diǎn)所得的納什談判解；（ 4） 為含 的 最小矩陣的中心 ， 為以 為初始參考點(diǎn)所得的納什談判解。 經(jīng)計(jì)算有： 。 則得到 不同的納什談判解 ： 分別如右圖所示。 u u? ? ? 0u?(0,0)O N eEecc CfS Ff1 2 1 1 2 21 5 , 5 , 5 , 1 0 , 0 0u u m v m v? ? ? ? ? ? ?，( 0 , 0) , ( 5 , 0) , ( 10 , 5 ) , ( 5 , 5 )O e c f? ? ? ?( 9. 34 , 8. 11 )N (1 0 .7 7 , 6 .6 7 )E( 9. 08 , 8. 33 )F (1 1 .0 8 , 6 .3 1 )C《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 64167。 其它談判解 ※ RKS談判解 ※ RKS談判解的公理體系 ※ 定理 談判解的唯一性定理 ※ 例題求解 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 65RKS談判解 RKS談判解 （ RaiffaKalaiSmorodinsky bargaining solution ） ,它由 Raiffa（ 1957）提出，而由 Kalai和 Smorodinsky對(duì)該模型進(jìn)行公理化。 設(shè)兩人談判問題的可達(dá)集 H為凸集， 為初始參考點(diǎn)， 是 H的理想點(diǎn)。作一條連接 和 的直線，該直線與可達(dá)集 H的邊界相交交點(diǎn) 稱為 RKS談判解 設(shè) 2人談判解的可達(dá)集 H是 一個(gè)凸集 ， 為談判的 初始參考點(diǎn) ， 兩個(gè)局中人可 接受的 RKS談判解結(jié)果為 ， 令 。 ( , )uv?? 11( , )uv( , )uv?? 11( , )uv?( , )uv??( , )uv( , ) ( , , )u v H u v? ???vuv *u *M?0vuv*u*M?0《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 66RKS談判解的公理體系 公理 1（個(gè)體合理性） ； 公理 2（可行性） ； 公理 3（帕累托最優(yōu)性） 若有 ，且 ，則一定有： ； 公理 5（線性變換的無關(guān)性） 設(shè) D是由線性變換從 H得到，即 如果 ，則一定有： 公理 6（對(duì)稱性） 若 ，必有 ，則當(dāng) ，則 有： 。 公理 7（單調(diào)性） 若 ，則 ),(),( ??? vuvu( , )u v H?( , )u v H? ),(),( vuvu ?( , ) ( , )u v u v?1 1 2 2 1 2{( 39。, 39。) | 39。 , 39。 , 0 , 0 , ( , ) }D u v u u v u u v H? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?( , ) ( , , )u v H u v? ???1 1 2 2 1 1 2 2( , , ) ( , )T u v u v? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?( , )u v H? ( , )v u H? ?? ? vuvu ?TH? ( , , ) ( , , )T u v H u v??? ? ? ??《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 67 定義 滿足上述 Kalai和 Smorodinsky提出公理體系下的 ，稱為 RKS談判解 。 ( , )uv《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 68定理 談判解的唯一性定理 設(shè)二人談判問題的結(jié)果集 H為凸集， 為談判的初始參考點(diǎn)，則存在唯一滿足上述公理體系的 RKS談判解 。 在 RKS談判解中，兩個(gè)人的收益效用轉(zhuǎn)換稱為可自由配置（ free disposal） 。 ( , )uv??( , ) ( , , )u v H u v? ???《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 69例題求解 我們對(duì)例 RKS談判解的計(jì)算。在此，我們?nèi)匀? 若局中人 1是公司老板，其收益為 ，增加的效用 。局中人2為雇員，其收益為 ，在原有 10萬元的基礎(chǔ)上，其增加的效用為 （其中 取 1）。他們對(duì) 10萬元盈利進(jìn)行分配。同前面分析一樣，二人可達(dá)集 H如上圖所示，其 H的右上曲線函數(shù)為： 。 0uv????x ux?yl n( 10 ) l n( 10 )vy? ? ? c20ln10uv ??uv0l n 210M?《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 70 該談判問題的理想點(diǎn) 。 RKS談判解 可以對(duì)下面方程組求解得到： 其中后一個(gè)是連接初始參考點(diǎn)（ 0， 0）和理想點(diǎn) 的直線方程。經(jīng)求解可得 。即兩人談判的可分配數(shù)為： （萬元）， （萬元） (1 0 , ln 2 )M ?20ln10l n 2 10uvuv?? ???? ???(10, ln 2) ?5 .4 3x ? 4 .5 7y ?《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 71 對(duì)例 RKS談判解 計(jì)算； 該博弈的結(jié)果集 H為 中（ 6， 1），（ 1， 3），（ 2， 4）和（ 4， 1） 4個(gè)結(jié)果所圍成的凸集，初始參考點(diǎn)仍取為納什均衡結(jié)果點(diǎn)： 。 圖 凸集 H的中帕累托邊界直線為： 而連接初始參考點(diǎn) 和理想點(diǎn) 的直線為： ，因此 RKS談判解 為下列方程組的解： 經(jīng)求解： 2R**( , ) ( 132 / 35 , 187 / 70) ( 7, 7 )uv ??3 4 2 2uv??** 2 2 1 1( , ) ( , )75uv ?22 22( , )57M ? 105 140 22uv??3 4 2 21 0 5 1 4 0 2 2uvuv???????( , ) ( 132 / 35 , 187 / 70) ( , )uv ?? 0 2 4 624Muv( 1 , 3 )( 2 , 4 )( 4 , 1 ) ( 6 , 1 )《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 72167。 威脅 ※ 例 對(duì)納什談判解的質(zhì)疑 ※ 有效威脅的兩個(gè)條件 ※ 納什建議進(jìn)行討價(jià)還價(jià)的三個(gè)步驟 ※ 含威脅的納什討價(jià)還價(jià)解求解思路 ※ 定理 均衡威脅策略的存在性定理 ※ 定理 納什仲裁值 的唯一性定理 ※ 例 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 73例 對(duì)納什談判解的質(zhì)疑 一個(gè)工廠的工人有兩種選擇，要么工作，要么不工作。如果工作，他將得到能夠維持他生存的薪水，