【正文】 nd dashuchenmi=c。 clc clear fid=input（‘輸入待加密的明文 ：’，‘ s’）； f=abs(fid)。 p=input(‘輸入第一個大素數 ： ’ )； q=input(‘輸入第二個大素數 ： ’ )； e=input(‘輸入加密密鑰 ： ’ )； n=p*q。 fain=(p1)*(q1)。 d=moni(e,fain)。 for i=1:length(f) miwen(i)=setstr(dashuchenmi(f(i),e,n))。 end for i=1:length(f) mingwen(i)=setstr(dashuchenmi(miwen(i),d,n))。 end miwen mingwen 實驗結果： 輸入待加密的明文： 2106 輸入第一個大素數： 43 輸入第二個大素數： 59 四川理工學院畢業(yè)論文 13 輸入加密密鑰： 13 密文 = 2321 明文 = 2106 第 4 章 RSA 的安全性分析 14 第 4 章 RSA 的安全性分析 對 RSA 常見的攻擊方法 RSA 的安全性依賴于對一種特殊形式的數 pqn? （ qp, 為素數）進行分解的困難行 . 常見的攻擊方法有： （ 1） 分解 n 攻擊 RSA 體制最直接的方式就是試圖分解模數 n ，得到 qp, ，求出 )(n? ，從而由 e和 )(n? 求出解密密鑰 d ，今天對大整數進行分解最有效的三種算法是二次篩法，橢圓曲線分解算 法和數域篩法； 目前 1024bit 以上的 RSA 被認為是符合安全性要求的 . （ 2） 對 d 的值直接猜測 實踐證明這是一種窮搜索法 （ 3） 直接猜測 )(n? 事實上，這并不比分解 n 容易，因為若能猜出 )(n? ，則由 ??? ? ????pqn qppqn 1)(? 很容易求出 n 的分解， 但已證明這種算法等 價于分解 n . （ 4） 小指數攻擊 當加密指數 e 較小時，可以加快運算速度，但易受攻擊如果采用不同的模數 n 及相同的 e 值，對 2/)1( ?ee 個線性相關的消息加密，則存在一種攻擊方法，如果消息相同，則用 e 個消息就夠了 . 如：三個用戶的加密密鑰 e 均為 3，而有不同的模數 321 , nnn ，這里要求 321 , nnn 兩兩互素 ，若要同時 向這三個用戶發(fā)送廣播消息 m ，先對 m 分別進行加密，計算 333232131 m o d,m o d,m o d nmmmc ??? 這里 ? ?321 ,m in nnnm ? ，密碼分析者截獲到這三個密文后，由于 321 , nnn 兩兩互素，可用中國剩余定理 ，求出 3213 m od nnnmc ? 由于 ? ?321 ,m in nnnm ? ，故 3213 nnnm ? ，因此有 3 cm? ，得到明文 m ， 防止這種攻擊的方法，對于短的消息，可用獨立的隨機值填充，使其足夠長，即消息 m滿足 3213 nnnm ? ，這樣就可以防止小指數攻擊 . （ 5） 定時攻擊 定時 攻擊通過觀察解密所需時間來確定解密密鑰，但如果 d 的二進制表示中 1 的數四川理工學院畢業(yè)論文 15 目較多時，則解密需要的運算時間也較長 。 RSA 的參數選擇 1. n 的確定： n 的確定可以歸結為如何選定 qp, ，對于 qp, ，有以下一些要求： （ 1） qp, 要足夠大 一般選取 200~100 位十進制數，并要判定其位素數 （ 2） qp, 之差要大 若 qp, 之差較小，不妨設 qp? ，則 2/)( qp? 也較小，由 4/)(4/)( 22 qpqppqn ????? 當 2/)( qp? 很小時， 4/)( 2qp? 接近 n ，從而 2/)( qp? 接近 n 可以逐個檢驗大于n 的整數 x ，直到找到一個 x ，使得 nx?2 是一個平方數， 22 ynx ?? ，則由： ??? ?? ?? yqp xqp 2/)( 2/)( 推出??? ?? ?? yxq yxp 為避免這種情況，在 RSA 算法中，通常選擇 qp, 為強素數 . （３ ） 1?p 與 1?q 的最大公約數要小 2. e 和 d 的選擇 首先， e 要滿足 1))(,( ?ne? ，同時，為了減少計算量，可令 e 的二進制表示中 1的數目盡量小，同時，用 e 求 出的 d 也不能太小，否則易受攻擊 . 四川理工學院畢業(yè)論文 16 結束語 由于 RSA 在計算機網絡，尤其是電子商務中 有著廣泛的應用，因此， RSA 成為了研究得最為廣泛的公鑰算法，從提出到現在，經歷了各種各樣的考驗，逐漸被人們接受，普遍被認為是目前最為優(yōu)秀的公鑰方案之一。 本文對 RSA 做出了簡單的介紹，包括其產生背景，主要應用，數學原理，具體算法，安全性分析，并給出了其在 MATLAB 軟件上的實現。 RSA 涉及的知識極為廣泛 ，不但要求有深厚的專業(yè)知識，還有很多其它內容，比如對當代 網絡 背景的了解 ， 對 計 算機 基礎知識的掌握 ， 對 MATLAB 軟件 的熟練運用 等。同時，也注重專業(yè)知識的應用，強調學以致用。 由于自己的能力有限，無法對這方面內容進行深入的研究，再加上對專業(yè)知識掌握的深度不夠，因此，在完成該論文時遇到了很多困難。 比如，在給出程序代碼時，由于對 MATLAB 軟件不太熟悉，很難進行編程 。 所以 ，本文難免有很多不足之處，但我堅信，“一份耕耘，一份收獲”。困難能讓我們學到更多，更好的鍛煉自己。 參考文獻 17 參考文獻 [1]楊曉元，魏立線 .計算機密碼學 [M].西安，西安交通大學出版社 [2]朱文余，孫琦 .計算機密碼應用基礎 [M].北京，科學出版社 [3]閔嗣鶴，嚴士健 .初等數論 [M].北京，高等教育出版社 [4] 李海濤，鄧櫻， 基礎及應用技巧 [M].北京，國防工業(yè)出版社 [5]李曉輝 .公鑰密碼體制與 RSA 算法 [J].福建電腦 .2022 [6]劉棟梁，陳艷萍 .RSA 密碼體制在電子商務中的安全應用 [J].大眾科技 .2022 [7]段曉萍，李燕華 .非對稱密碼體制 RSA 的原理與實現 [J].內蒙古大學學報 .2022 致謝 18 致 謝 大家 都知道寫論文是一件很繁瑣的事情，在這一次寫論文的過程中，遇到了很多問題，比如理論知識的進 一步學習， MATLAB 軟件知識的進一步學習，論文的安排，文獻的查找等，所以完成比較困難，但在張金山老師的指導下，在同學的幫助和鼓勵下，順利完成了畢業(yè)論文 。在此，對 張金山老師 和 同學們 表示衷心的感謝！