數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)多目標(biāo)規(guī)劃-資料下載頁(yè)
2025-01-15 04:40本頁(yè)面
【正文】 層次分析法計(jì)算的根本問(wèn)題是如何計(jì)算判斷矩陣的最大特征根其對(duì)應(yīng)的特征向量 .一般來(lái)說(shuō) ,計(jì)算判斷矩陣最大特征根及其對(duì)應(yīng)特征向量 ,并不需要追求較高的精確定度 .這是因?yàn)榕袛嗑仃嚤旧硐喈?dāng)?shù)恼`差范圍 .應(yīng)用層次分析法給出的層次中各種元素優(yōu)先排序權(quán)值從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)是表達(dá)某種定性的概念 .因此 ,從實(shí)用性來(lái)看 ,往往希望使用較為簡(jiǎn)單的近似算法 .下面介紹二種稱之為方根法和和積法的近似算法 . (2)計(jì)算 Mi的 n次方根 Vi n ii MV ?(3)對(duì)向量 V=(V1,V2,…,V n)T規(guī)一化 ,即 ???njjiiVVW1則 W=(W1,W2,…,W n) 方根法的步驟如下 : (1)計(jì)算判斷矩陣 B每一行元素的乘積 Mi. nibMnjiji ,...,2,1,1?? ??(4)計(jì)算判斷矩陣的最大特征根 m ax????ni iinWBW1m a x)(?式中 (BW)i表示向量 BW的第 i個(gè)分量 . 容易證明： 當(dāng)正互反矩陣 為一致性矩陣時(shí)，方根法可得到精確的最大特征值與相應(yīng)的特征向量。 nnijaA ?? )(證明：設(shè) 為一致性矩陣， 為其最大特征值， 為相應(yīng)的特征向量，且是歸一化的。 nnijaA ?? )(max?Tnuuuu ),.. .,( 21?由于 jiij uuan ?? ,m a x?令 njiusnnjj ,2,1,/11?? ???????????suaM innjjii //11????????????顯然，歸一化后， 于是用公式 Tnuuuw ),( 21 ????ni iiwAwn 1)(1 ，求得的最大特征值為 n。 例題 某廠準(zhǔn)備購(gòu)買一臺(tái)計(jì)算機(jī) ,希望功能強(qiáng) ,價(jià)格低 ,維護(hù)容易 .現(xiàn)有 A,B,C三種機(jī)型可供選擇 .其中 A的性能較好 ,價(jià)格一般 ,維護(hù)需要一般水平 。B的性能最好 ,價(jià)格較貴 ,維護(hù)也只需一般水平 。C的性能差 ,但價(jià)格便宜 ,容易維護(hù) .首先構(gòu)成分析層次 ,如圖 購(gòu)置一臺(tái)滿意的計(jì)算機(jī) 功能強(qiáng) 價(jià)格低 易維護(hù) C B A 對(duì)于三個(gè)準(zhǔn)則 (S1,S2,S3)關(guān)于目標(biāo) G的優(yōu)先順序 ,根據(jù)討論 ,該廠在計(jì)算機(jī)應(yīng)用上首先要求功能強(qiáng) ,其次要求易維護(hù) ,再次才是價(jià)格低 .其判斷矩陣如下表 1 3 1/3 S3 1/3 1 1/5 S2 3 5 1 S1 S3 S2 S1 G 用方根法計(jì)算這三個(gè)準(zhǔn)則關(guān)于目標(biāo)的排序權(quán)值如下 : 1,113,。13,151321333??????????????????WWWVVVMMM一致性檢驗(yàn)結(jié)果為 : 3 3 ,0 1 9 ,0 3 8 a x ????? CRCI?同樣 ,三個(gè)方案對(duì)于各個(gè)準(zhǔn)則的判斷矩陣以及運(yùn)算所得的結(jié)果分別見表 W 1 1/8 1/2 C 8 1 4 B 2 1/4 1 A C B A S1 , a x ???? CRCI?對(duì)準(zhǔn)則 S1(功能強(qiáng) )來(lái)說(shuō) : 對(duì)準(zhǔn)則 S2(價(jià)格低 )來(lái)說(shuō) : W 1 8 3 C 1/8 1 1/4 B 1/3 4 1 A C B A S2 1 5 ,0 0 9 ,0 1 8 a x ???? CRCI?對(duì)準(zhǔn)則 S3(易維護(hù) )來(lái)說(shuō) : W 1 5 3 C 1/5 1 1 B 1/3 1 1 A C B A S3 2 5 ,0 1 4 ,0 2 9 a x ???? CRCI?層次總排序的結(jié)果 : 總排序權(quán)值 C B A C B A S3 0 8 ??CR從以上結(jié)果可知 ,B型計(jì)算機(jī)從綜合評(píng)價(jià)來(lái)看是最滿意的備選機(jī)型 . 和積法： 步驟： ⅰ 、求（每列歸一化） （ i， j=1， 2…n ） ⅱ 、行求和 （ i， j=1， 2…n ） 再歸一化： （ i= 1， 2， … ， n） ⅲ 、 ???nkkjijij aab1???njiji bM1???njjii MMW1????niii WAWn1m a x )(1?例： 1 3 1 ⅰ 3/7 3/7 3/7 ⅱ M1=9/7 A= 1/3 1 1/3 B= 1/7 1/7 1/7 M2=3/7 1 3 1 3/7 3/7 3/7 M3=9/7 Mj=3 w2=1/7 Aw=(9/7， 3/7， 9/7)T w3=3/7 λmax=3 顯然，當(dāng) A是一致陣時(shí)， λmax=n，對(duì)歸一化的 w aij=wi/wj ∴ w1=3/7 ⅲ ??31j容易證明： 當(dāng)正互反矩陣 為一致性矩陣時(shí)，和積法可得到精確的最大特征值與相應(yīng)的歸一化特征向量。 nnijaA ?? )(證明：設(shè) 為一致性矩陣， 為其最大特征值， 為相應(yīng)的特征向量，且是歸一化的。 nnijaA ?? )( max?Tnuuuu ), .. . ,( 21?由于 jiij uuan ?? ,m a x?A矩陣各列的和， njuua nk jknk ij,2,1,/11??? ????列向量歸一化得： ? ?? ????? nk ink kikjijijnjiuuuaab1 1,...,2,1,//由于 bij與下標(biāo) j無(wú)關(guān)，即說(shuō)明當(dāng) A為一致性矩陣時(shí)，求得的 bij對(duì) j=1,2,…,n 都相同，于是 ，同時(shí)易知最大特征值是 injiji ubnw ?? ?? 11n?m a x?二、殘缺判斷與群組決策： 殘缺判斷及處理方法： 應(yīng)用 AHP進(jìn)行決策時(shí)，每個(gè)準(zhǔn)則應(yīng)有一個(gè)判斷矩陣，需進(jìn)行 [n(n1)] / 2 次兩兩比較 (判斷矩陣的上或下三角 )。 當(dāng)層次很多，因素復(fù)雜時(shí)，判斷量很大，可能出現(xiàn)某個(gè)參與決策的專家對(duì)某些判斷缺少把握，或不想發(fā)表意見，使判斷矩陣殘缺。 ⑴ 可接受的殘缺判斷矩陣 若任一殘缺元素都可通過(guò)已給出的元 素間接獲得的殘缺判斷矩陣。 根據(jù)一致性的條件：間接獲得的元素 指，若 aij缺少可由 aij=aikakj或更一般地 aij=aik ak k ak k …a k j得到。
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