【正文】 8．6 光柵的復振幅透過率為 t（x）= cos 2πf0 x 把它放在4f 系統(tǒng)輸入平面P1上，在頻譜面P2上的某個一級譜位置放一塊λ/ 2位相板，求像面的強度分布。答：將復振幅透過率函數變換為 t（x）= cos 2πf0 x = [1+cos 2πf0 x ] / 2 其頻譜為 T（fx）= ? [t（x）] d（fx）+ ? [cos 2πf0 x] = d（fx）+ d（fx f0）+ d（fx+ f0） 其中第一項為零級譜，后兩項以次為+1級和1級譜。設將λ/ 2位相板放在+1級譜上，其透過率表達為 H（fx）= exp（jπ） 則頻譜面P2后的光振幅變?yōu)? T’= TH = d（fx）+ d（fx f0）exp（jπ）+ d（fx+ f0） = d（fx） d（fx f0）+ d（fx+ f0）像平面光場復振幅為 t’（x）= ? 1 [T’] = exp（j2πf0x3）+ exp（j2πf0x3） = j sin（2πf0x3） 像平面強度分布為I = 231。 t’（x）231。2 = t’（x） t’（x）? =[1 j sin（2πf0x3）][1+ j sin（2πf0x3）] =+ sin2（2πf0x3） 像平面得到的仍是一周期函數，其周期縮小1倍，振幅減小4倍，本底也有所變化，并且出現(xiàn)圖形的橫向位移，位移量為1/2周期。8．7用照相機拍攝某物體時，不慎因手動攝下重疊影像，沿橫向錯開距離b。為改善此照片質量，試設計一個逆濾波器，給出濾波函數。答：假設橫向錯開距離的中點為坐標原點，且手動是勻速的，則手動造成的重疊影像相對應的模糊缺陷點擴散函數可以表示為而傳遞函數為 逆濾波器所要求的濾波函數為因為不是復函數，制作并不困難，但是如果考慮手動是個變速運動，點擴散函數不在可以用函數表示，逆濾波器要考慮用（）相應的方法制作。8．8 在用一維正弦光柵實現(xiàn)兩個圖象相加或相減的相干處理系統(tǒng)中，設圖象A、B置于輸入平面P1原點兩側，其振幅透過率分別為：tA（x1 l，y1）和 tB（x1+ l，y1）；P2平面上光柵的空間頻率為f0，它與l的關系為：f0 = l /λf，其中λ和f 分別表示入射光的波長和透鏡的焦距；又設坐標原點處于光柵周期的1/4處，光柵的振幅透過率表示為： 試從數學上證明： 1）在輸出平面的原點位置得到圖象A、B的相減運算； 2）當光柵原點與坐標原點重合時，在輸出平面得到它們的相加運算。證明：（1），只是在本題中輸入面坐標為，光柵面即頻譜濾波面坐標，為了使輸出為原圖像而不是放大或縮小的圖像相加減需，同時為統(tǒng)一用下標表示光場平面坐標。不失一般性，假設對輸入面的垂直照明光束為振幅為1的平面波，因而輸入面上出射的光場復振幅分布即為經過透鏡做傅立葉變換平面上得到的光場復振幅分布為：式中 且 通過原點置于周期的1/4處的光柵以后，透過的光場復振幅分布為：這是因為，進一步展開應當有六項，但其中四項將含有帶變量的指數項，在做第二次傅立葉變換時會產生不位于面中心的函數，與圖像卷積產生不在原點處的圖像，可以不予考慮，余下兩項為：再經過的傅立葉反變換得到： 常系數對于圖像相減不產生影響，因此在面原點處得到的是圖像A和B的相減結果。（2）當光柵原點與坐標原點重合時，振幅透過率為輸出面上相應兩項為因而得到相加減運算。證畢。8．9 如何實現(xiàn)圖形O1和O2的卷積運算？畫出光路圖并寫出相應的數學表達式。 答：第一步，制作O1的傅里葉變換全息圖，光路如下： (x1，y1) L (x2，y2) O1 R b H f f全息圖H的透過率為tH = | m1 |2 + R02 + R0m1（fx，fy）exp_[ j 2πfx b] +R0m1?（fx，fy）exp_[ j 2πfx b] 其中m1= ? [O1]，R0為平面參考波的振幅，b為參考點源的橫向位移量。第二步，進行卷積運算。在4f系統(tǒng)中，將O2置于輸入平面（x1，y1），全息圖置于頻譜平面（x2，y2），如圖 x1,y1 x2,y2 L1 H L2 O1H O2 O2(x1,y1) O2幾何像 O1? O2 f1 f1 39。 f2 f2 39。 x3,y3 頻譜面后的光場為 UH39。= ? [O2]tH= m2{| m1 |2 + R02 + R0m1（fx，fy）exp_[ j 2πfx b] +R0m1?（fx，fy）exp_[ j 2πfx b]}輸出平面光場為 O2? ? 1[ tH] = R02O2 + O1 HO1? O2 + R0O1(x3b，y3)?O2 + R0O1?(x3b，y3)?O2式中第三項即為O1 和O2的卷積運算，位置在x3 = b處。8．10 在4f系統(tǒng)中用復合光柵濾波器實現(xiàn)圖象的一維微分 ?g / ?x ，若輸入圖象g在x方向的寬度為l，光柵頻率應如何選取？答：設復合光柵的空間頻率為f0和f0+d，則濾波的結果使像平面上得到兩套物的三重像，兩個正一級像的位相差等于π，它們離零級像的角間距qq2分別由下式確定 sin q1 = f0l， （1） sin q2 =（ f0 +d）l （2）因而正一級像離零級像的線間距分別為l1 = sin q1f （3）l2 = sin q2f （4） 其中f是透鏡焦距。分析可知，得到微分結果的條件是 l1 l2 l / 2 （l為物的寬度） （5）將（1）、（2）兩式代入（3）、（4）兩式，再代入（5）式，得到l1 l2 = d l f l / 2d （6）因而復合光柵的空間頻率差應滿足（6）式關系，才能得到微分圖像。8．11 用4f系統(tǒng)通過匹配濾波器作特征識別，物g（x，y）的匹配濾波器為G*（fx，fy），當物在輸入平面上平移后可表示為g（x a， y b），求證此時輸出平面上相關亮點的位置坐標為xi = a，yi = b。證明：，匹配濾波器置于濾波平面fx上，根據（）（）式有匹配濾波器的振幅透過率當物在輸入面上平移后形成的輸入光場為則在4f系統(tǒng)的濾波平面上有序的輸入頻譜為通過匹配濾波器以后成為再通過第二個透鏡在傅立葉反變換，在如圖的倒置X‘0坐標中光場分布為方括號內為g(x,y)的自相關，與卷積說明該自相關即相關亮點的峰值將位于的位置上。證畢。8．12 用一個單透鏡系統(tǒng)對圖象進行θ調制假彩色編碼，如圖855所示。已知調制物Om 的光柵空間頻率為100線/mm，物離透鏡的距離為20cm，圖象的幾何寬度為6 6cm，試問透鏡的孔徑至少應多大，才能保證在頻譜面上可進行成功的濾波操作。（—）。 L 頻譜面 O39。 白光 Om d f（）答：設：f0 = 100線/mm，d = 20cm，ab = 66cm，lmax= 650．0nm，lmin= 444．4cm，而調制物Om的最大線度為 2l =（a2+b2）1/2 = 6√2cm l = 3√2cm欲在頻譜面上進行成功的濾波操作，必須使所有物點的一級衍射波都能進入透 鏡，最大衍射角θmax應與lmax相應，即 sinθmax / f0 = lmax由幾何關系得到 sinθmax = [（f / 2） l ] / d 所以有 f = 2 [df0lmax + l ]代入數據，得 f = 110．85mm @ 111mm故透鏡孔徑至少應達到111mm，才能保證在頻譜面上進行成功的濾波操作。54