【正文】 8．6 光柵的復(fù)振幅透過(guò)率為 t（x）= cos 2πf0 x 把它放在4f 系統(tǒng)輸入平面P1上，在頻譜面P2上的某個(gè)一級(jí)譜位置放一塊λ/ 2位相板，求像面的強(qiáng)度分布。答：將復(fù)振幅透過(guò)率函數(shù)變換為 t（x）= cos 2πf0 x = [1+cos 2πf0 x ] / 2 其頻譜為 T（fx）= ? [t（x）] d（fx）+ ? [cos 2πf0 x] = d（fx）+ d（fx f0）+ d（fx+ f0） 其中第一項(xiàng)為零級(jí)譜，后兩項(xiàng)以次為+1級(jí)和1級(jí)譜。設(shè)將λ/ 2位相板放在+1級(jí)譜上，其透過(guò)率表達(dá)為 H（fx）= exp（jπ） 則頻譜面P2后的光振幅變?yōu)? T’= TH = d（fx）+ d（fx f0）exp（jπ）+ d（fx+ f0） = d（fx） d（fx f0）+ d（fx+ f0）像平面光場(chǎng)復(fù)振幅為 t’（x）= ? 1 [T’] = exp（j2πf0x3）+ exp（j2πf0x3） = j sin（2πf0x3） 像平面強(qiáng)度分布為I = 231。 t’（x）231。2 = t’（x） t’（x）? =[1 j sin（2πf0x3）][1+ j sin（2πf0x3）] =+ sin2（2πf0x3） 像平面得到的仍是一周期函數(shù)，其周期縮小1倍，振幅減小4倍，本底也有所變化，并且出現(xiàn)圖形的橫向位移，位移量為1/2周期。8．7用照相機(jī)拍攝某物體時(shí)，不慎因手動(dòng)攝下重疊影像，沿橫向錯(cuò)開距離b。為改善此照片質(zhì)量，試設(shè)計(jì)一個(gè)逆濾波器，給出濾波函數(shù)。答：假設(shè)橫向錯(cuò)開距離的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且手動(dòng)是勻速的，則手動(dòng)造成的重疊影像相對(duì)應(yīng)的模糊缺陷點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)可以表示為而傳遞函數(shù)為 逆濾波器所要求的濾波函數(shù)為因?yàn)椴皇菑?fù)函數(shù)，制作并不困難，但是如果考慮手動(dòng)是個(gè)變速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)不在可以用函數(shù)表示，逆濾波器要考慮用（）相應(yīng)的方法制作。8．8 在用一維正弦光柵實(shí)現(xiàn)兩個(gè)圖象相加或相減的相干處理系統(tǒng)中，設(shè)圖象A、B置于輸入平面P1原點(diǎn)兩側(cè)，其振幅透過(guò)率分別為：tA（x1 l，y1）和 tB（x1+ l，y1）；P2平面上光柵的空間頻率為f0，它與l的關(guān)系為：f0 = l /λf，其中λ和f 分別表示入射光的波長(zhǎng)和透鏡的焦距；又設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)處于光柵周期的1/4處，光柵的振幅透過(guò)率表示為： 試從數(shù)學(xué)上證明： 1）在輸出平面的原點(diǎn)位置得到圖象A、B的相減運(yùn)算； 2）當(dāng)光柵原點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)，在輸出平面得到它們的相加運(yùn)算。證明：（1），只是在本題中輸入面坐標(biāo)為，光柵面即頻譜濾波面坐標(biāo)，為了使輸出為原圖像而不是放大或縮小的圖像相加減需，同時(shí)為統(tǒng)一用下標(biāo)表示光場(chǎng)平面坐標(biāo)。不失一般性，假設(shè)對(duì)輸入面的垂直照明光束為振幅為1的平面波，因而輸入面上出射的光場(chǎng)復(fù)振幅分布即為經(jīng)過(guò)透鏡做傅立葉變換平面上得到的光場(chǎng)復(fù)振幅分布為：式中 且 通過(guò)原點(diǎn)置于周期的1/4處的光柵以后，透過(guò)的光場(chǎng)復(fù)振幅分布為：這是因?yàn)椋M(jìn)一步展開應(yīng)當(dāng)有六項(xiàng)，但其中四項(xiàng)將含有帶變量的指數(shù)項(xiàng)，在做第二次傅立葉變換時(shí)會(huì)產(chǎn)生不位于面中心的函數(shù)，與圖像卷積產(chǎn)生不在原點(diǎn)處的圖像，可以不予考慮，余下兩項(xiàng)為：再經(jīng)過(guò)的傅立葉反變換得到： 常系數(shù)對(duì)于圖像相減不產(chǎn)生影響，因此在面原點(diǎn)處得到的是圖像A和B的相減結(jié)果。（2）當(dāng)光柵原點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)，振幅透過(guò)率為輸出面上相應(yīng)兩項(xiàng)為因而得到相加減運(yùn)算。證畢。8．9 如何實(shí)現(xiàn)圖形O1和O2的卷積運(yùn)算？畫出光路圖并寫出相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 答：第一步，制作O1的傅里葉變換全息圖，光路如下： (x1，y1) L (x2，y2) O1 R b H f f全息圖H的透過(guò)率為tH = | m1 |2 + R02 + R0m1（fx，fy）exp_[ j 2πfx b] +R0m1?（fx，fy）exp_[ j 2πfx b] 其中m1= ? [O1]，R0為平面參考波的振幅，b為參考點(diǎn)源的橫向位移量。第二步，進(jìn)行卷積運(yùn)算。在4f系統(tǒng)中，將O2置于輸入平面（x1，y1），全息圖置于頻譜平面（x2，y2），如圖 x1,y1 x2,y2 L1 H L2 O1H O2 O2(x1,y1) O2幾何像 O1? O2 f1 f1 39。 f2 f2 39。 x3,y3 頻譜面后的光場(chǎng)為 UH39。= ? [O2]tH= m2{| m1 |2 + R02 + R0m1（fx，fy）exp_[ j 2πfx b] +R0m1?（fx，fy）exp_[ j 2πfx b]}輸出平面光場(chǎng)為 O2? ? 1[ tH] = R02O2 + O1 HO1? O2 + R0O1(x3b，y3)?O2 + R0O1?(x3b，y3)?O2式中第三項(xiàng)即為O1 和O2的卷積運(yùn)算，位置在x3 = b處。8．10 在4f系統(tǒng)中用復(fù)合光柵濾波器實(shí)現(xiàn)圖象的一維微分 ?g / ?x ，若輸入圖象g在x方向的寬度為l，光柵頻率應(yīng)如何選?。看穑涸O(shè)復(fù)合光柵的空間頻率為f0和f0+d，則濾波的結(jié)果使像平面上得到兩套物的三重像，兩個(gè)正一級(jí)像的位相差等于π，它們離零級(jí)像的角間距qq2分別由下式確定 sin q1 = f0l， （1） sin q2 =（ f0 +d）l （2）因而正一級(jí)像離零級(jí)像的線間距分別為l1 = sin q1f （3）l2 = sin q2f （4） 其中f是透鏡焦距。分析可知，得到微分結(jié)果的條件是 l1 l2 l / 2 （l為物的寬度） （5）將（1）、（2）兩式代入（3）、（4）兩式，再代入（5）式，得到l1 l2 = d l f l / 2d （6）因而復(fù)合光柵的空間頻率差應(yīng)滿足（6）式關(guān)系，才能得到微分圖像。8．11 用4f系統(tǒng)通過(guò)匹配濾波器作特征識(shí)別，物g（x，y）的匹配濾波器為G*（fx，fy），當(dāng)物在輸入平面上平移后可表示為g（x a， y b），求證此時(shí)輸出平面上相關(guān)亮點(diǎn)的位置坐標(biāo)為xi = a，yi = b。證明：，匹配濾波器置于濾波平面fx上，根據(jù)（）（）式有匹配濾波器的振幅透過(guò)率當(dāng)物在輸入面上平移后形成的輸入光場(chǎng)為則在4f系統(tǒng)的濾波平面上有序的輸入頻譜為通過(guò)匹配濾波器以后成為再通過(guò)第二個(gè)透鏡在傅立葉反變換，在如圖的倒置X‘0坐標(biāo)中光場(chǎng)分布為方括號(hào)內(nèi)為g(x,y)的自相關(guān)，與卷積說(shuō)明該自相關(guān)即相關(guān)亮點(diǎn)的峰值將位于的位置上。證畢。8．12 用一個(gè)單透鏡系統(tǒng)對(duì)圖象進(jìn)行θ調(diào)制假彩色編碼，如圖855所示。已知調(diào)制物Om 的光柵空間頻率為100線/mm，物離透鏡的距離為20cm，圖象的幾何寬度為6 6cm，試問透鏡的孔徑至少應(yīng)多大，才能保證在頻譜面上可進(jìn)行成功的濾波操作。（—）。 L 頻譜面 O39。 白光 Om d f（）答：設(shè)：f0 = 100線/mm，d = 20cm，ab = 66cm，lmax= 650．0nm，lmin= 444．4cm，而調(diào)制物Om的最大線度為 2l =（a2+b2）1/2 = 6√2cm l = 3√2cm欲在頻譜面上進(jìn)行成功的濾波操作，必須使所有物點(diǎn)的一級(jí)衍射波都能進(jìn)入透 鏡，最大衍射角θmax應(yīng)與lmax相應(yīng)，即 sinθmax / f0 = lmax由幾何關(guān)系得到 sinθmax = [（f / 2） l ] / d 所以有 f = 2 [df0lmax + l ]代入數(shù)據(jù)，得 f = 110．85mm @ 111mm故透鏡孔徑至少應(yīng)達(dá)到111mm，才能保證在頻譜面上進(jìn)行成功的濾波操作。54