注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試培訓(xùn)資料--無(wú)窮級(jí)-資料下載頁(yè)
2025-01-13 01:35本頁(yè)面
【正文】 , 得原方程的通解 21 d),( CxCxy ?? ? ?例 6. 求解 yxyx ????? 2)1(2,10 ??xy 3 0 ?? ?xy解 : 代入方程得 pxpx 2)1( 2 ???分離變量 積分得 ,ln)1(lnln 12 Cxp ???,3 0 ?? ?xy利用 ,31 ?C得 于是有 )1(3 2xy ???兩端再積分得 23 3 Cxxy ???利用 ,10 ??xy ,12 ?C得133 ??? xxy因此所求特解為 ),( yyfy ???? 型的微分方程 令 ),( ypy ??xpydd???則xyypdddd ??故方程化為 設(shè)其通解為 ),( 1Cyp ?? 即得 分離變量后積分 , 得原方程的通解 例 7. 求解 代入方程得 兩端積分得 ,lnlnln 1Cyp ?? ,1 yCp ?即故所求通解為 解 : xpy dd???則 xyyp dddd? ypp dd?定理 1. 是二階線性齊次方程的兩個(gè)線 性無(wú)關(guān)特解 , 則 )()( 2211 xyCxyCy ??數(shù) ) 是該方程的通解 . 例如 , 方程 有特解 且 常數(shù) , 故方程的通解為 21ta ny xy??二階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu) ),(0 為常數(shù)qpyqypy ??????,02 ??? qrpr特征方程 : xrxr eCeCy 21 21 ??實(shí)根 xrexCCy 1)( 21 ??)s inc o s( 21 xCxCey x ??? ??特 征 根 通 解 二階線性常系數(shù)齊次微分方程求解 例 9. 032 ?????? yyy求方程 的通解 . 解 : 特征方程 ,0322 ??? rr 特征根 : ,3,1 21 ??? rr因此原方程的通解為 例 10. 求解初值問(wèn)題 0dd2dd22??? ststs,40 ??ts 20dd ???tts解 : 特征方程 0122 ??? rr 有重根 ,121 ??? rr因此原方程的通解為 tetCCs ??? )( 21利用初始條件得 ,41 ?C于是所求初值問(wèn)題的解為 22 ?C*例 11. 的通解 . 解 : 特征方程 ,0522 ??? rr 特征根 : ir 212,1 ??因此原方程通解為 )2s i n2c o s( 43 xCxCey x ??例 12. .3 2線性方程數(shù)齊次為一個(gè)特解的二階常系寫出以 xxey ?解：因 xxey 23?是一個(gè)特解，所以 2?? 是特征 方程的重根，故特征方程為： 0440)2( 22 ?????? rrr所對(duì)應(yīng)微分方程為 044 ?????? yyy二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) )(* xy設(shè) 是二階非齊次方程 的一個(gè)特解 , )(*)( xyxYy ??Y (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解 , 定理 2. 則 是非齊次方程的通解 . ② ①
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